Skrivning i matematik gennem et start-skoleår – en elev Konferencen Faglighed og skriftlighed SDU 22 marts 2012 [udgave til hjemmeside] 1 Lena Lindenskov Institut for Uddannelse og Pædagogik, (DPU) Århus Universitet i KBH lenali@dpu.dk

I: Kontekst Øget interesse for skriftlighed i og på tværs af fag Bestandige betingelser Forandrede betingelser ….Især fra 2008 Fem dokumenter

På alle niveauer foregår der didaktiske overvejelser om skrivning Fx på mit Institut for Uddannelse og Pædagogik (DPU), Århus Universitet i København indgår der skrivning på Kandidatuddannelse i Didaktik som redskab for læring og for formativ og summativ evaluering bl.a. med overblikspapirer undervejs på moduler med matematik i fagdidaktisk perspektiv Bl.a. med blogs og case-synopser undervejs på modul Almen-didaktik

Skriftlighed i matematik er underlagt nogle bestandige betingelser Skrivning af tal og andre symboler til kommunikation af matematisk mening starter før skrivning af bogstaver og verbalord (fylogenetisk som ontogenetisk) Matematik er det fag i grundskolen med mest skrivning, målt på elevtid og tegnmængde Skrivning i matematik er anerkendt middel til styrket matematikfaglig læring og til evaluering af matematikfaglig læring

Skriftlighed i matematik er underlagt nogle forandrede betingelser Der er forandrede behov for matematikkompetence i ’det nye tekstsamfund’ med nye teknologiske hjælpemidler Skrivning i matematik som middel til at styrke (specifikke dele af) generel skrivekompetence foreskrives for første gang i bekendtgørelser for HF/gymnasiet i bilag 2/bilag4. Der er forandrede rammer for tid og indhold af skriftlige afleveringer i gymnasiets matematikundervisning Fra afleveringer hver uge i startåret i 1980’erne til 15 afleveringer i 2010 - 2011 Fra 2008 omtaler undervisningsvejledninger et udvidet repertoire på fem typer skriftlige arbejder

Undervisningsvejledningen STX B, 2008 Fem typer skriftlige arbejder Med følgende formål traditionelle matematikopgaver matematikrapport over projekter og emner redigerede noter udformning af skriveordrer og kommentering af besvarelser formidlingsopgaver at opøve eleverne i problemløsning, fra det simple til det mere komplicerede at opøve elevernes evne til skriftlig formidling forbedre notatteknik

Der foreligger fem dokumenter om skriftlighed i matematik Fire til elever Et til lærere Dokumenter med fem kvalitetspinde Bedømmelseskriterier for skriftlig eksamen stxA Bedømmelseskriterier for skriftlig eksamen stxB Råd om arbejdet med skriftlig matematik til daglig og til eksamen. "Håndbog i skriftlig matematik” stx A "Håndbog i skriftlig matematik” stx B På http://uvmat.dk/skrift/index.htm Opgavesamling om modellering: A: Opgaver fra folkeskolens afgangsprøve. B: Gymnasieversioner af opgaverne i kategori A C: Eksamensopgaveversion af opgaverne i kategori A, som de kunne se ud på B-niveau i gymnasiet På www.silkeborg-gym.dk

II Delprojektets design To problemfelter En elev I et forløb over et år Elevens interesser og opfattelser

Delprojektet analyserer to relaterede problemfelter At opøve skrivekompetence gennem at skrive i matematikundervisningen At opøve matematisk kompetence gennem at skrive i matematikundervisningen

Elevens forholden sig til lærerkommentarer til afleveringer I interview fortæller eleven: hvis der er mange lærerkommentarer, ignorerer eleven dem hvis der er en mindre række lærerkommentarer, og især hvis der er konkrete forslag, så bruger eleven dem MEN i matematik er eleven alligevel glad for at få mange lærerkommentarer, og eleven forventer at kunne bruge dem i lignende fremtidige opgaver

Elevens oplevelse af matematik samt af form og indhold i skriftlighed Fra elevinterview: Eleven oplever, at det er sjovt i matematik Eleven mener, at skriftligt arbejde giver opmærksomhed på måden at formulere sig på Eleven ser store fordele ved skriftlighed som et godt supplement, nemlig at det skriftlige arbejde giver bedre mulighed for at overveje, tænke, undersøge og overveje sine formuleringer.

III Resultater Typer af skriftlige arbejder Typer sprog Skriveordrens forventninger og intentioner Elevens konklusioner Lærerkommentarens genstand Kompleksitet i anvendelsesopgaver Udvikling af elevens skriveridentitet Elevens læring gennem året

Typer skriftlige arbejder, der afleveres gennem året Læreren beskriver de 15 afleveringer som: - 9 traditionelle - 3 rapporter (Oktober, December, April) - 1 test (Marts) - 1 opsamling, redigerede noter (Januar) - 1 repetition (Maj)

Afleveringer sammenlignet med bestemmelser for Mat B Udover bestemmelserne test, opsamling, repetition Der mangler fra bestemmelserne udformning af skriveordrer og kommentering af besvarelser formidlingsopgaver

15 afleveringer i alt 8 med fuldt tilgængelige data

De 15 afleveringer over for de 8 afleveringer De 15 fordeler sig med 7 i efteråret, 8 i foråret De 8 fordeler sig med 1 (den første) fra efteråret, 7 fra foråret 2011 Det giver mulighed for analyser af de 8 samlede konstellationer hver for sig og gennem skoleåret Og af analyser af delvise data fra 15 afleveringer gennem skoleåret

Analyser af Fordelinger af verbal- og symbolsprog Skriveordrens forventninger og intentioner Elevens konklusioner Lærerkommentarens genstand Kompleksitet i anvendelsesopgaver Udvikling af elevens skriveridentitet – genre Elevens læring gennem året

Verbal og symbolsprog i elevtekst og lærerkommentar

Verbal og symbolsprog i elevtekst og lærerkommentar I lærerkommentar Næsten halvdelen består af symboler En femtedel af elevteksten fyldes af tal, Verbalord udgør godt en tredjedel af elevteksten En fjerdedel af verbalordene er matematiske Ingen symboler Ingen tal Kun verbaltekst En fjerdedel af verbalordene er matematiske

Hvilke forventninger opridser den skriftlige skriveordre? Om særlige repræsentationsformer og notation? Om præcision? Om faglig redegørelse? Om dokumentation? Om argumentation? Om layout? Om konklusion?

Forventninger udtrykkes ikke eksplicit i skriftlig skriveordre Forventninger kan være udtrykt mundtligt. I optakt til aflevering 1 siger læreren, at eleverne skal gøre det så godt de kan og bruge det de har med fra folkeskolen. I optakt til aflevering 4 siger læreren, at eleverne skal prøve at skrive med sådan en tekst som hører til en autoriseret aflevering i matematik.

Forventninger udtrykkes i verber og hv-ord Skriveordre 2, en samling enkelt- stående opgaver Tegn – den rette linje Opskriv – en ligning for hver af tre linjer Hvor mange – m3 vand Hvor mange – liter vand Hvor meget – kan der spares Vil det kunne betale sig Gang – parenteser ud Reducer - udtrykket Reducer - udtrykkene

Forventninger udtrykkes i verber og hv-ord Skriveordre 13, en rapport Giv en definition – med dine egne ord Opskriv - renteformlen Forklar - begreberne Opstil og bevis - formlerne Anvend - til at løse case og krimigåde Afgør om

Forventninger i verber og hv-ord Skriveordre 15 repetition Bestem – linjens ligning Bestem – skæringspunkt Beregn – vinklerne Beregn – arealet Bestem – kvartilsættet Udregn – frekvenserne Bestem – forskrift Bestem – konstant Løs - ligning

Forventninger skrivekompetence? Man kan som matematiklærer overveje hvordan bydeform og hv-ord giver potentialer og begrænsninger for at skrivning i matematik kan støtte elevernes udvikling af generel skrivekompetence?

Verbalsprog i elevtekst 1’s konklusioner Enten intet verbalsprog, kun tal eller tal og symboler Eller ”Nu har jeg fundet….” Eller ”Allan giver 110 kr,…..” Eller - ved kognitive snublestene - længere verbale udtryk som ”Y skulle efter arket være 2,4. Men da 4,40 og 2,4 ikke er det samme tal, påviser dette at 4,40 ikke ligger på m linjen” Så det kan være fordelagtigt for læringsprocessen at opleve og formulere sig om kognitive snublestene [Se Lindenskov, 2003. Kan det være rigtigt at regne forkert og forkert at regne rigtigt]

Mange udtryk for ”jeg handler” i elevtekst til samling enkelte opgaver Elevtekst i aflevering 1 Elevtekst i aflevering 9 31 jeg og mine (procedurer, begreber, resultater) Fx ’Så nu går jeg i krig med at finde samme x’ 1 argument uden jeg: dette påviser 29 ord, 73 tal, 175 matematiske tegn på første side Ingen jeg og mine 3 vi 1 man 26 ord, 93 tal, 110 matematiske tegn på første side

Lærerkommentarer har varieret verbal-sprog, er faktuelle og henvendt til eleven Lærerkommentar til aflevering 3 Lærerkommentar til aflevering 13 Formlen og beviset er to forskellige ting Korrigerer konventioner: tilføj af ’A,B and C’ påpeger hverdagsbrug af lighedstegn Beviset er desværre ikke helt fuldført. Pointen er… Øh ja men hvor er grafen? Ja,…., men….. Hvad mener du helt præcist? Det er nu ikke nok at vise…. Hvis…, kunne du også bare Hvordan er du kommet frem til denne ligning?

Et eksempel på en opgave med sådanne data fra folketingsvalg 2010: Parti Antal stemmer A 881.037 B C F K O V Y Ø Uden for 549

Der er konflikt mellem lærer- og elev- tolkninger af opgavens meningsfuldhed Skriveordre: Gør rede for,… hvorfor der er deskriptorer, der ikke kan benyttes (om partiers stemmetal valget 2007) Elevyekst: ….dette er variansen spredningen. Det er (ligesom gennemsnittet) ikke særlig vigtigt i forhold til et folketingsvalg Lærerrespons: Nej, du kan ikke udregne varians, da observationerne ikke har en værdi målt i tal. Du er kommet til at bruge hyppighederne som observationernes værdi

Lærer- og elevtolkninger af opgavens meningsfuldhed mødes ikke Eleven tolker skriveordren ud fra, hvad det er meningsfyldt for politikere at få af viden om stemmetal Læreren tolker skriveordren ud fra, hvad beregningsalgoritmen forudsætter om de givne data om stemmetal

Hvilken kompetence i argumentation dokumenteres i elevteksten? Aflevering 1, samling af enkeltstående opgaver Aflevering 3, rapport Elevbesvarelse: jeg skal bruge bevisformel for a Lærerrespons: Det er nu bare formlen du bruger. Den hedder ikke bevisformel. Elevbesvarelse: Bevisformel for a: Til at bevise formlen a,…. Lærerrespons: Formlen og beviset er to forskellige ting

Elevteksternes udvikling gennem året Ved årets start Ved årets afslutning både matematisk brug og hverdagsbrug af af lighedstegn jeg som grundled uformel reportage fra eget studerekammer, alá facebook temporale forbindende småord (så, nu o.lign.) kun matematisk brug af lighedstegn vi, man og substantiver som grundled formel autoriseret besvarelse logiske forbindende småord (dermed o.lign.)

TAK for opmærksomheden Nu er det tid til: Forståelsesspørgsmål til oplægget Gruppearbejde om en skriveordre, elevtekst og lærerrespons Samlet diskussion af brugbarhed for praksis og forslag til videre analyser

IV Gruppearbejde Om karakterisering af tekster Diskussion af tekster med hensyn til typer af sprog med hensyn til sammenhængs-småord Diskussion af tekster

Karakterisér eksempel på skriveordre og elevtekst Verbalsprog – matematisk, hverdag, andre fag Tal Symboler – matematiske, hverdag, andre fag Forbindende småord – generelle, logiske, rumlige, temporale, kausale

Karakterisér lærerrespons Om præcision Om uddybningsgrad Om begrebsforståelse Om valg af metode og procedurer Om elevtekst og om eleven

V Afsluttende diskussion af brugbarhed for praksis og forslag til videre analyser Bekræftelse på at det synes givende at se på skriveordre, elevtekst og lærerrespons som en helhed, som det gøres i forskningsprojektet at det synes givende at se på forløb, fx gennem et år, som det gøres i forskningsprojektet Et ønske om at der skabes mere forskningsviden om Hvilke potentialer og ulemper kan dokumenteres ved brug af CAS-værktøjer i afleveringer, og hvordan imødegås eventuelle ulemper?

V Afsluttende diskussion af brugbarhed for praksis og forslag til videre analyser Hvilke forskelle giver det formativt, hvorvidt lærerrespons indeholder karakterbedømmelse eller ej? sammenligning med præstationer ved tidligere afleveringer eller ej? Elevers udbytte ved henholdsvis skriftlig og mundtlig matematik Hvordan adskiller elevteksters udvikling over et år, alt efter om der er tale om ’traditionelle opgaver’ eller andre genrer Hvordan kan man karakterisere unge i dag’s læring sammenlignet med den læring, der fandt sted blandt unge, dengang lærerne var unge