Hvem har sagt det skulle være nemt? Men på den anden side Hvem har sagt det skulle være nemt? Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Hvordan tager vi hensyn til elevernes forskellige kompetencer i den daglige matematikundervisning? Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Den lille tanke Alle elever skal have mulighed for at tænke matematik Det fordrer, at eleverne kan anvende sprog og danne mentale billeder – auditive som visuelle - på matematikken Det betyder, at eleverne får mulighed for at anvende sproglige repræsentationsformer i begrebsdannelsen. at undervisningen skal give eleverne mulighed for at danne mentale billeder. at eleverne får mulighed for sprogligt at synliggøre deres forståelse og dermed give mening til undervisningsdifferentiering. at læreprocessen opfattes som en social proces medieret gennem kommunikation og sprog. Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Matematik og sprog - antagelsen Det er et centralt træk ved børns sprogproduktion, at den kan foregå i et hvilket som helst medium. Eleverne skelner ikke mellem det at skrive, illustrere, tegne eller bygge modeller af ting. ]Kress, G. (1998): ”Repræsentation, læring og subjektivitet: Et socialsemiotisk perspektiv” i Bjerg, J. (red.) i Pædagogik – en grundbog til et fag. Hans Reitzels Forlag, København. Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

1. Begreberne Hos mennesker mødes sprog og tænkning relativt tidligt i det enkelte barns udvikling og indgår i et dialektisk forhold, hvor de, om jeg så må sige, bliver hinandens støttepædagoger, idet tænkningen bliver sproglig, og sproget bliver intellektuelt. At tænkningen bliver sproglig vil sige, at tænkningen kan benytte sig af den begrebsmæssige systematik, sproget giver mulighed for. Mads Hermansen ”læringens univers” Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Begrebsudvikling Konkret erfaring Ord der beskriver erfaringen ”Se! Jeg har tre røde og to grønne kugler …” Tegninger der symboliserer erfaringen Kontekstafhængig Kontekstuafhængig Symboler der generaliserer erfaringen 3 + 2 = 5 Efter Høines 1997 Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Cummins model for sproglig kompetence Han taler om sprogforståelse på to niveauer a) Den er en del af sproget der anvendes til kommunikation Navnet er begrebet b) Der er en del af sproget, der er knyttet til elevens kognitive/skolemæssige aktivitet Egenskaberne er begrebet Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

3+2=5 1, 2, 3, 4, 5 Begrebsindhold Symboliserer Henviser til Konkret udtryk Konkret situation Repræsenterer Efter Høines Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

4 2 + Tællestrategier (back up) 4 + 5 = Tælle alt og forfra igen strategien. Eleven tæller først ”1,2,3,4” på fingrene på en hånd. Eleven fortsætter derefter med ”1” og på den anden hånd ”2,3,4,5”. Til sidst tæller eleven forfra igen ”1,2,3,4,5,6,7,8,9”. Tælle alt strategien. Eleven tæller fortløbende ”1,2,3,4” og fortsætter ”5,6,7,8,9”. Tælle videre strategien. Eleven tæller videre fra det første tal ”5,6,7,8,9”. Tælle ”spidser” strategi 4 2 x + Helhedsstrategier (retreival) Disse strategier går ud på at finde mønstre eller strukturer, der gør det muligt at ”se” eller tænke en løsning. 4 + 5 = ”Jeg ved det bare”. Eleven genkender umiddelbart opgaven og hiver facit frem fra langtidshukommelsen. Tvillingetal strategien. Eleven ved at 5+5=10. Det er så bare en mindre, da 4 er en mindre end 5. 4 + 6 = Overføringsstrategien. Eleven overfører fra det ene tal til det andet. Her overfører eleven 1 fra 6 til 4 – altså (4+1)+(6-1). Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008 9

Andreas’ ideer om kuglerne 3+2=5 Et sprog at tænke i Talesprog 1. ordens sprog 3+2=5 Symbolsprog 2. ordens sprog Talesprog 1. ordens sprog Et sprog at tænke i 1. ordens sprog 3+2=5 Talesprog 1. ordens sprog U. forståelse Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

? 3TE + 9E = 48T 563 + 119 = 682 At tænke og reflektere kræver forståelse Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

2. Billederne Vi kører tilsyneladende en indre simulering af de scenarier, vi får beskrevet … de seneste eksperimenter antyder endda, at simuleringen er en pinedød nødvendighed for at vi overhovedet kan forstå. Lone Frank ”Den femte revolution” Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Forestil dig en tetraede, nu skærer du toppen af med et vandret snit. Luk øjnene! Forestil dig en tetraede, nu skærer du toppen af med et vandret snit. Hvilken form har snittet? Tegn formen. Er du enig, med den der sidder ved siden af dig? Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Bla, bla, bla Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Antonio F. Damasio, Descartes’ fejltagelse, 2001 Det siges ofte, at tænkning består af meget andet end blot billeder, at den også består af ord og ikke-billedlige abstrakte tegn. Ingen vil naturligvis benægte, at tænkning omfatter ord og arbitrære tegn. Men denne påstand overser den kendsgerning, at både ord og arbitrære tegn bygger på topografisk organiserede repræsentationer og kan blive til billeder. De fleste af de ord, vi anvender i vores indre tale, før vi taler eller skriver en sætning, eksisterer som auditive eller visuelle billeder i vores bevidsthed. Hvis de ikke blev til om end aldrig så flygtige billeder, ville de ikke være noget vi kunne vide. Antonio F. Damasio, Descartes’ fejltagelse, 2001 Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Man tænker i billeder Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Der skal billeder på matematikken! 5 2 Kristian har centicubes, han har færre end Louise. Hvor mange centicubes har Louise? 5 - 2 = 3 Hvis eleverne ikke får billeder på matematikken, betyder det, at de har sværere ved at holde information i arbejdshukommelsen, de taber ”tråden”, fordi teksten bliver meningsløs Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

4 x 10 = 40; 3 x 8 = 25; 7 X 4 = 2 ”Der er 1 ø og 6 bølger. Palmen er 4 høj og der er 6 og der er 6 blade … det bli’r 40” ”Jeg ganger 3 gange 8 sammen, og tegner 3 ringe med 8 stjerner i hver, så tæller jeg dem sammen og så er jeg færdig” ”Jeg har lavet 28 firkanter 7 grupper med 4 i hver. Man kan egentlig godt sige at det er 7 flag – men så ville det ikke være en gangetegning” Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Lærer:. Nå Boris du har ikke fortalt noget endnu. Kan du Lærer: Nå Boris du har ikke fortalt noget endnu. Kan du fortælle os andre hvad du har tegnet! Boris: Hmmm ….. jeg har tegnet …. Cecilie: Du har tegnet nogle sten eller hvad? Boris: Ja! Lærer: Godt, godt … kan du fortælle os andre hvad det er du har lavet? Hvor er der nogle sten i hjørnerne og nogle i midten?? Boris: ………… Lærer: Kan du ikke prøve at sige lidt om hvad det er du har lavet. Hvorfor er der nogle sten i midten og nogle i hjørnerne? Boris: Øhmmmm ….. Lærer: Nå … !?! Det er også svært …… 5 x 5 25 Prvo sam napisao 5 X 5 nao sam da je to 25 pa sam nactao pet puta pet loptica. Først har jeg skrevet 5 X 5 og regnet ud at det bliver 25 og så har jeg tegnet 5 X 5 bolde. Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Relationer mellem repræsentationer Efter Eriksen Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

3. Forståelsen I denne bog har jeg søgt at blive bevidst om mine egne uddannelsesmål. Det vigtigste set fra mit ståsted er at danne elever der tilegner sig en ægte forståelse af de vigtigste fag og kundskabsområder. … hvis ikke eleverne forstår hvorfor de skal lære dette eller hint i skolen og hvis de ikke forstår hvordan de skal anvende den, når de går ud af skolen, er der en fare for at hele deres skolegang har været spild af tid. Howard Gardner ”Slik tenker og lærer barn” Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Tænkningen forløber i sproget Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Intuitivt gæt/overslag Forklaring på hvordan hun arbejder Mens Christine arbejder med opgaven foregår der mange tanker og overvejelser inde i hendes hoved. Hun arbejde problemløsende og løsningsmetoderne bringes i anvendelse løbende i takt med at problemerne opstår. Undervejs i dette forløb får hun arbejdet med: Intuitivt gæt/overslag Forklaring på hvordan hun arbejder Systematisering af data Opstilling af regnestykker (addition) Systematisering af tal data (gruppering af 9ere samt 8 - og 10 tallet) Opstilling af et regnestykke der indeholder addition og multiplikation Den kommunikative lov (20 x 9 er det samme som 9 x 20) Hovedregningsstrategier (at 10 x 20 – 20 er det samme som 9 x 20) Regnearternes hierarki (at man ganger før man plusser) Udregning af resultat (10 x 20 =200, 200 – 20 =180, 180 + 18 = 198) Refleksion over gæt og resultat Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Forløber tænkningen i sproget ? Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008 26

Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Man kan ikke træne sig til forståelse!! 21 -19 18 58 -35 23 28 - 8 20 49 -37 12 Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

”Functional fixedness” betegner den problemstilling ”at når en opgave løses gentagne gange med sammen løsningsstrategi, bliver denne forankret til opgavetypen på en sådan måde at alternative strategier udelukkes.” Wertheimer (1959) Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008 31

4. Læreprocessen I de fleste klasserom brukes samtale eller dialog mellom lærer og elev på en slik måte at det nær sagt framstår som en egen undervisningsmetode. Gjennom en samtale kan en ta opp lærestoff og bevisstgjøre eleven eller elevene på stoffet. Læreren kan lede samtalen, men ikke på en slik måte at elevene bare bliver mottagere av kunnskaben. Geir Botten ”meningsfylt matematikk” Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Lodsning L: Nå, du mangler at regne dette stykke. 14 x 3 = E: Hm…… L: Hvordan begynder du? E: Jeg begynder med fire gange tre. L: Ja, og det er? E: Ott … øh L: Hvad bliver det? E: Lad mig tænke. L: Fire gange tre, hvad er to gange fire? E: Sytt … Tretten … L: Hvad er to gange fire!! E: Tretten … nej det bliver fjorten. L: Nej, tænk dig nu om, du har otte plus fire. Hvad bli’r det? E: Otte plus fire???? L: Er du koncentreret? E: Otte plus fire er ….. tolv L: Hvad er så tre gange fire? E: Det ved jeg ikke L: Det bliver også tolv E: Ja, javist Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Spørgsmål der kan indlede en diskussion Prøv at forklare hvorfor du tror det? Hvordan er du kommet til det resultat? Hvordan kan man vide det? Overbevis resten af os om at det stemmer? Er der andre der har samme svar men en anden forklaring? Hvilke ligheder er der på jeres forklaringer? Hvilke forskelle er der på jeres forklaringer? Er det sandt i alle sammenhænge? Hvordan vil du vise det? Hvad ved du? Hvilke antagelser vil du gøre? Hvordan kan man vise det ved hjælp af en model? Spørgsmål der kan støtte eleverne i at formulere og løse problemer Hvad tror du er problemet? Hvad mangler du for at kunne løse problemet? Hvilke oplysninger mener du er overflødige? Hvilke forslag kunne man forestille sig? Prøv med et gæt! Hvordan kan man formulere problemet på en anden måde? Hvad nu hvis …? Hvordan kan man ændre på problemet for at få andre løsninger? Hvad kan du komme i tanke om fra tidligere, du kan tage i anvendelse? Hvilke sammenhænge kan du finde? Hvad har du arbejdet med før, der ligner dette problem? Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Et spørgsmål kunne for eksempel lyde: Hvad bliver 8 x 6? . Lukket spørgsmål Mange af de spørgsmål man traditionelt stiller eleverne I matematik har ofte kun et rigtigt svar Et spørgsmål kunne for eksempel lyde: Hvad bliver 8 x 6? . Når man spørgsmålet lyder ”hvad bliver 8 x 6” så er der kun et svar, og enten kender man svaret eller også kender man det ikke. Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Forestil dig at du har glemt hvad 8 x 6 er, men du ved at 5 x 6 er 30. Åbent spørgsmål Åbne spørgsmål giver mulighed for en række mulige svar og giver eleverne mulighed at ræsonnere. Overvej følgende spørgsmål: Forestil dig at du har glemt hvad 8 x 6 er, men du ved at 5 x 6 er 30. Hvordan kan man finde ud af hvad 8 x 6 er? Eksempler på besvarelser Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Hvad kaldes denne figur? Denne type af spørgsmål er lukkede fordi der forventes et bestemt svar. Enten ved man at figuren kaldes et kvadrat, eller også ved man det ikke. Der efterspørges et navn Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Hvad kan du fortælle om denne figur? Eksempler på besvarelser: Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Ved at give dem mulighed for at tænke matematik! Hvordan tager vi hensyn til elevernes forskellige kompetencer i den daglige matematikundervisning? Ved at give dem mulighed for at tænke matematik! Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008

Tak for, at I lyttede - og forhåbentlig tænkte med? Hvor svært kan det være? Århus, d.26 marts, 2008