Ole Togeby Nordisk Institut Aarhus Universitet Matematiksemiotik Ole Togeby Nordisk Institut Aarhus Universitet

Matematiksemiotik I. Tegn II. Vise – bevise – overbevise Plan I. Tegn II. Vise – bevise – overbevise III. Enhedstegn og leddelte tegn IV. Dobbelt leddelte tegn V. Billede – matematik - sprogtekst

Matematiksemiotik I. Tegn I dette tekststykke findes der tre typer af tegn: Sproglige tegn Matematiske formler Geometriske figurer De tre typer af tegn indgår i samme kommunikative henvendelse, men fungerer som bærer af mening på hver deres måde, og udfylder når de kombineres i én henvendelse forskellige funktioner i forhold til helheden.

Begrebet tegn I. Tegn Fælles for alle tre typer af tegn er at de er lavet for at kommunikere mening, dvs. gøre meningen fælles for flere mennesker der udveksler tegnene med hinanden (Dretske 1995). Et tegn defineres som noget manifest der for nogen angiver noget som det er udformet til at angive.

Peirce’s tegn I. Tegn Læg mærke til at dette ikke er den definition som nogen måske kender som Peirce’s definition: Et tegn (en repræsentamen) defineres som noget der for nogen står for noget i en vis henseende eller egenskab. Det er også Peirce der skelner mellem tre typer af tegn: ’ikoner’, ’indekser’ og ’symboler’. Ikoner (billeder) kaldes her enhedstegn Symboler (tekster) kaldes her leddelte tegn Indekser er ikke tegn efter min definitionen

Eksempler på tegn I. Tegn Selv om sprogbrugen tillader at man siger det, falder mørke skyer der er tegn på regn altså ikke ind under denne definition på ‘tegn’, for skyerne er ikke udformet til at angive regn. Det er kriterielt for tegn både at de er repræsentationer og at de er kommunikative Og en røgsøjle fra en skorsten er et indeks, men ikke tegn på hvilken vej vinden blæser – fordi skorstenen ikke er udformet for at vise vindens retning og derfor ikke er kommunikativ. . Derimod er en vejrhane et tegn på hvilken vej vinden blæser, for den er udformet til at angive vindretningen.

Forestille og ligne I. Tegn Tegn er efter definitionen kun noget der er udformet af en for at forestille, angive eller betegne noget for en anden. Sprogbrugen bekræfter dette: Et maleri kan forestille en pibe. En sky kan ligne en pibe, men ikke forestille en pibe; på den måde skelner vi i sproget alligevel mellem maleriet, der er et tegn der forestiller noget som det er udformet til at forestille, og skyen, der ikke er et tegn, men bare noget der tilfældigvis ligner noget andet. Et billede er således ikke et tegn fordi det ligner, men fordi det er udformet til at ligene noget andet end sig selv.

a2 + b2 = c2 Eksempler på tegn I. Tegn De tegn der skal behandles her er billeder, der er genstande i rummet som forestiller motivet øjeblikkeligt og hele tiden. En tekst er altid en begivenhed i tiden, der kan beskrive forløb i tiden i den omtalte situation (bilisterne skal passe på når de ser skiltet). Skrevne tekster er så også genstande i rummet. En matematisk formel er, som den skrevne tekst, en genstand i rummet og skal læses i tiden, men den betegner ikke til forløb i tiden på samme måde som teksten gør. Matematiske sandheder gælder altid. a2 + b2 = c2

Tekst – billede - formel I. Tegn Komplekse kommunikationsenheder der på en gang består af tekster og billeder, og eventuelt også af matematiske formler. Sådanne kommunikative henvendelser kan være tekster med billeder, billeder med tekster, eller matematiske formler med billeder og tekster.

Tekst med billeder I. Tegn Hvis teksten er hovedsagen, og den kommunikative henvendelse er en tekst med billeder, er (motivet i ) billedet blot en gengivelse af et emne i teksten en fremstilling af et emne i teksten, Illustration af noget fiktivt af noget er generisk en metaforisk udfoldelse af et emne i teksten. en metonymisk eksemplifikation af noget i teksten

Billede som gengivelse af noget virkeligt John F. Kennedy og Jacqueline Kennedy forlader Capitol efter hans indsættelse som USAs præsident 20.1.1961. Ved nomineringen som demokraternes presidentkandidat året før udtalte Kennedy, at man stod ved en ny grænse, New Frontier, og det blev et slogan for hans politiske program. I indsættelsestalen appellerede han til alle amerikaneres offervilje med udtalelsen: “Ask not what your country can do for you, ask what you can do for your country”.

Billede som fremstilling af noget fiktivt Villy Sørensens bog 1982: Ragnarok. En gudefortælling bringes der til kapitlet Tors fisketur, illustrationen tegnet af Andy Li Jørgensen.

Billedet som fremstilling af noget generisk Benny Génsbøl (1991) 1997: Nordens Fugle, København 12 Bøger. side 142:

Billedet som metaforisk udfoldelse af et emne Fra en brochure fra Tele Sønderjylland, hvori de beskriver sig selv om en solid, flittig og fleksibel samarbejdspartner. Her fra Winni Johansen: Kultursignaler i tekst og billede - kultur og kommunikation i danske og franske præsentationsbrochurer

Billedet som eksempel på noget metonymisk Prøv at bestemme hvad dette billede forestiller, og hvilken funktion det har i den sammenhæng det forekommer i! En reklame for Estée Lauder i Alt for Damernenr. 16, 15. april 2003, side 4

Billedet som dekoration Dansk Noter 3 1997 , Ole Togeby: Sprogvidenskab, en artikel som handler om metaforer, bringes tre billeder fra en skolekomedie på Aalborg Katedralskole med titlen Hotel Hunger:

Billeder med tekst I. Tegn Hvis billedet er hovedsagen, og henvendelsen er billede med tekster til, er teksterne blot: tærskeltekster (paratekster), dvs. forankring til kommunikationssituationen af billedet eller af motivet, en udpegning og kategorisering af billedets motiv, eller en forlængelse af det i tid, rum eller mentalt rum.

Forankring af billedet Tærskeltekst: Anna Ancher 1883, 86,

Forankring af motivet Tærskeltekst: Pigen ved i Køkkenet Anna Ancher: Pigen i Køkkenet, 1883, 86, Den Hirshsprungske Samling.

Udpegning og kategorisering af billedets motiv Tærskeltekst: John F. Kennedy og Jacqueline Kennedy forlader kapitol efter hans indsættelse som USAs præsident 20.1.1961.

En udpegning og kategorisering af billedets motiv Tærskelteksten angiver hvad der er fokus og dermed motivet i billedet og kategoriserer det (dvs. angiver hvad figuren forestiller). Pigen i køkkenet. (og ikke fx Lys gennem vinduet)

En udpegning og kategorisering af billedets motiv Hvad forestiller dette billede? Tærskeltekst: Johannes Døberen Michelangelo Merisi da Caravaggio: Johannes Døberen, 1610, Galleria Borghese, Rom

En forlængelse af det i tid, rum eller mentalt rum.

Tekst – billede - formel I. Tegn Hvis den matematiske formel er hovedsagen, er den sproglige tekst en tærskeltekst der ved udpegning fastlægger de matematiske udtryks semantik (fx Betragt trekanten ABC i figur 1, hvor D er højden nedfældet på AB), og billedet (af trekanten) en eksemplificerende illustration af den generiske verden som de matematiske udtryk ved den sproglige tærskeltekst fastsat til at henvise til).

Matematik I. Tegn

Matematik angiver ikke forløb i tid I. Tegn Sproglige tekster kan angive tidsforløb i den omtalte situation: Solen stod op og fuglene begyndte at synge betyder ikke det samme som Fuglene begyndte at synge og solen stod op Det kan matematisk formler ikke: a2 + b2 = c2 Betyder det samme som c2 = a2 + b2 Det skyldes at verberne i de matematiske formler, lighedstegnene, ikke er bøjet i tid (og altid er statiske og ikke dynamiske), således som verberne i sproglige sætninger altid er, i eksemplet i datid.

Matematiske formler er kompositionelle I. Tegn Fortolkningen af et billede er bestemt funktionelt, dvs. oppefra og ned: meningen med enheden er bestemt af meningen med den helhed (situation) som den indgår i og af dens funktion i denne. Fortolkningen af en matematisk formel er bestemt kompositionelt, dvs. nedefra og op: meningen med en helhed er bestemt som summen af meningen med delene og meningen med måden de er kombineret på. Fortolkningen af en sproglig tekst er bestemt både kompositionelt og funktionelt, dvs. både nedefra og oppefra, både op og ned. Fortolkningen af helheden er både bestemt af summen af meningerne med delene og måden de er kombineret på, og samtidig af meningen med den helhed (situation) som den indgår i, og af dens funktion heri.

Matematiske formler er entydige I. Tegn Den matematiske formel er ved sin kompositionalitet nedefra og op fuldstændig entydig, således at mulighederne for misvisninger er små (men dog mulige, fx ved antallet af decimaler). Meningen er syntaktisk. 32 + 42 = 52

Billeder er flertydige I. Tegn Billeder er ved deres funktionalitet oppefra og ned flertydige; de kan være mere eller mindre detaljerede og realistiske (er Frankrig en femkant?), men altid med mulighed for misvisning. Det er fx ikke let at male et ansigt som ikke både synes at være i det ene humør eller det andet (smiler Mona Lisa?). Meningen er semantisk. Som enhedstegn har billeder ingen kompositionalitet, men kun funktionalitet.

Kompositionalitet og funktionalitet I. Tegn Kompositionalitet er det forhold at meningen med en enhed afhænger af summen af meningen af delene i den og meningen med måden de er kombineret på. Funktionalitet er det forhold at meningen med en enhed afhænger af meningen med den helhed som den indgår i, og af dens funktion i denne.

Enhedstegns funktionalitet I. Tegn Dette kan kategoriseres som to streger. Men når helheden er tydelig, er det to øjne

Enhedstegns funktionalitet I. Tegn Og hvis helheden bliver en anden, bliver de to streger pludselig to sure øjne i stedet for to glade øjne.

Funktionalitet I. Tegn Tolkningen af delene er afhængig af opfattelsen af helheden: øjnene - som på begge ansigter ret beset ikke er andet end to tankestreger - må på det første ansigt opfattes som smilende, mens øjnene på det andet ansigt er sure - selv om de er identiske. Opfattelsen af delen af et billede afhænger således af opfattelsen af helheden.

Definition – indlæring - biologi I. Tegn Der er forskelle på de situationer hvori betegningsrelationen oprettes. Ækvivalensen mellem de sproglige ords lydlige udtryk og mening indføres når barnet lærer sit modersmål, og ækvivalensen mellem bogstav og lyd indlæres når barnet lærer at skrive. Den matematiske definition er en der forekommer i selve den matematiske tekst hvor den fungerer, en tekst som i princippet (dvs. hvis man ikke bruger sorte bokse) begynder forfra hver gang, nemlig ved at indføre det aksiomatiske system. Ligheden mellem et billede og det det skal forestille, er noget den enkelte opdager. Lighed er biologisk funderet, på en måde som hverken gælder ækvivalens eller definition, som begge er konstruerede og konventionelle.

Med bestemmelig mening I. Tegn Sproglige tekster forstås i modsætning til billeder og matematik både kompositionelt og funktionelt. Læsningen af bogstaverne nedefra er sikker, således at alle læsere bliver enige om hvilke bogstaver der optræder, men genkendelsen af ord og syntaktiske konstruktioner er mere usikker og den semantiske og pragmatiske tolkningen er flertydig. Men op-ned-processen sikrer at meningen normalt er bestemmelig pragmatisk, syntaktisk og semantisk.

Med bestemmelig mening Udtrykket pas på er tvetydigt; det betyder enten ’tag dig i agt’, eller ’tag vare på’, og den grammatiske konstruktion kan forstås på to måder: børn kan enten være objekt eller en ny sætning. Skiltet kan altså kompositionelt betyde: ‘Tag dig i agt for (farlige) børn’. Funktionelt skal skiltet dog fungere som et hjemmelavet trafikskilt, så det skal nok snarere betyde: ‘Bilister skal køre langsomt, for der kan lege børn på dette sted’. Op-ned-processen sikrer at meningen er bestemmelig

II. Vise – bevise - overbevise Billeder bruger afsenderen i interaktion til at vise modtagerne hvordan sagen er, matematiske formler bruger afsenderen til at bevise at sagen er (sand) den sproglige tekst bruger afsenderen til at overbevise modtagerne om hvad sagen er

Evidens II. Vise – bevise - overbevise Opfattelsen af billeder er umiddelbar og evident, man skal normalt (der findes undtagelser) ikke tænke over hvad et billede forestiller, det man oplever som nyt ved et billede, er hvordan sagen ser ud. På billederne af de blå kvadrater og de røde trekanter, kan man umiddelbart se at de to kvadrater (a) og (b) er lige store, og man kan se at de fire trekanter i (a) er af samme størrelse som de fire trekanter i (b), og derfor må det blå areal i henholdsvis (a) og (b) være lige store. Det er noget der er så evident (dvs. selvindlysende) at man ikke behøver at bevise det.

Inference II. Vise – bevise - overbevise Sokrates’ argumentation i Menon er på den anden side slet ikke umiddelbar eller evident, men tværtimod inferentiel og kontroversiel. Det er noget slaven skal slutte sig til, tvunget af argumenter, og noget som han ikke tror på, før han bliver overbevist om det. Sokrates overbeviser slaven ved det som den tyske filosof Jürgen Habermas (1971) har kaldt ‘det bedre arguments mærkelige tvangløse tvang’ (og som Platon lader Sokrates kalde erindring).

Inference Argumentationvejen er følgende tre led: II. Vise – bevise - overbevise Argumentationvejen er følgende tre led: Slaven laver først følgende ræsonnement: Hvis man laver en linje dobbelt så lang, bliver figuren dobbelt så stor. Vi skal have et kvadrat der er dobbelt så stort. Ergo laver vi en linje der er dobbelt så stor. Sokrates viser så at dobbelt linje giver et firdobbelt kvadrat. Slaven laver derefter følgende ræsonnement: Hvis man forlænger linjen med sig selv, bliver kvadratet fire gange så stort. Vi skal lave et kvadrat der er dobbelt så stort. Ergo vi forlænger linjen med halvdelen. Sokrates viser at så får vi en figur der er 1/8 for stor. Sokrates laver så følgende ræsonnement (det er ikke slaven der får ideen): Hvis vi halverer fire kvadraterne får man to kvadrater. Vi skal have to kvadrater. Ergo halverer vi de fire kvadrater i det firdobbelte kvadrat. Og det kan så ikke modbevises, men er tværtimod den rigtige løsning.

Slavens 1. forsøg II. Vise – bevise - overbevise

Slavens 2. forsøg II. Vise – bevise - overbevise

Sokrates’ jordmodermetode II. Vise – bevise - overbevise

Slavens 3. ”forsøg” II. Vise – bevise - overbevise

Slavens 3. ”forsøg” II. Vise – bevise - overbevise

Erindring og pådutning II. Vise – bevise - overbevise (I parentes bemærket synes jeg at det er tydeligt at det ikke er slaven der erindrer sandheden; det er Sokrates der pådutter ham den ved at tegne diagonalerne i de fire kvadrater; dem kunne slaven ikke selv finde på. Det er netop det som store videnskabsfolk kan frem for andre: de har fantasi til at opstille de perspektivrige hypoteser om hvordan problemet skal løses. Slaven kan opstille de kedelige retlinede hypoteser, mens Sokrates kan opstille den hypotese der er på tværs. Og enhver der er skolet til det, kan dernæst deduktivt tjekke efter om en opstillet hypotese er sand eller ej).

Abduktion og deduktion II. Vise – bevise - overbevise De tre led i dette ræsonnement er ikke syllogismer (logisk nødvendige slutningsfigurer), men det som i den klassiske retorik hedder et entymemer (slutningsfigurer der giver sandsynlige, men ikke nødvendige konklusioner). De har nemlig alle form af abduktion og ikke deduktion (den tredje slutningsfigur er induktion ) Det Sokrates gennemfører, er det der kaldes den hypotetisk deduktive metode, og som består i at man først fremsætter en (kvalificeret) hypotese om hvordan tingene hænger sammen (og det er det man gør med abduktive ræsonnementer som dem af slaven og Sokrates der er kursiveret ovenfor), og derefter tjekker man efter - ved deduktive ræsonnementer - om det er rigtigt. Slavens hypoteser viste sig at være forkerte, mens Sokrates’ var rigtig.

Deduktion Deduktion: Modus ponens (at sætte grunden): II. Vise – bevise - overbevise Der kan skelnes mellem: deduktion (herunder mellem: modus ponens ‘at sætte grunden’ og modus tollens - ‘at hæve følgen’) induktion og abduktion: (ved abduktion ‘sætter man følgen’ eller ‘hæver grunden’) (Peirce 1994). Deduktion: Modus ponens (at sætte grunden): princip: Hvis det regner, er gaden våd oplysning: Det regner styrke: nødvendigvis konklusion (følgen): Gaden er våd

Deduktion Deduktion: Modus tollens (at hæve følgen): II. Vise – bevise - overbevise Deduktion: Modus tollens (at hæve følgen): princip: Hvis det regner, er gaden våd oplysning: Gaden er ikke våd styrke: nødvendigvis konklusion (ikke-grunden): Det har ikke regnet

Induktion Induktion: Oplysning: Det regnede i går og gaden blev våd II. Vise – bevise - overbevise Induktion: Oplysning: Det regnede i går og gaden blev våd oplysning: Det regnede i forgårs og gaden blev våd oplysning: Det regnede i mandags og gaden blev våd styrke: Sandsynligvis: Konklusion (princip): Hvis det regner bliver gaden våd

Abduktion Abduktion (ved at sætte følgen): II. Vise – bevise - overbevise Abduktion (ved at sætte følgen): princip: Hvis det regner, er gaden våd oplysning: Gaden er våd styrke: muligvis konklusion (grunden): Det har regnet eller

Abduktion Abduktion (ved at ved at hæve grunden): II. Vise – bevise - overbevise Abduktion (ved at ved at hæve grunden): princip: Hvis det regner, er gaden våd oplysning: Det regner ikke styrke: muligvis konklusion (benægtelse af følgen): Gaden er ikke våd

Bevis og relevans II. Vise – bevise - overbevise Sokrates beviser ikke at a2 + b2 = c2, men overbeviser slaven (og Menon) om at kvadratet af diagonalen i en ligebenet trekant er lig med summen af katedernes kvadrater. Og overbevisende tale foregår ved hjælp af det bedre arguments mærkelige tvangløse tvang. Den udøves her, som i næsten al anden argumentation ved abduktive argumenter, og ikke ved deduktive. De deduktive argumenter er dem der bruges i et bevis, men det som kan bevises, er sjældent både relevant og kontroversielt.

Empati og konsistens II. Vise – bevise - overbevise Sokrates’ facon med hele tiden at spørge slaven i stedet for at sige det hele selv - som Euklid gør i sit bevis - er blevet indbegrebet af prædagogisk fremgangsmåde, jordmodermetoden hvormed læreren får eleven til selv at føde ideen og ikke blot får den påtvunget. Så den sproglige tekst forudsætter empati, ikke blot følelsesmæssig empati, men også og i sær kognitiv empati (hvad ved modtagerne, og hvad ønsker de at vide?). Det kræver det matematiske bevis ikke, i dette skal afsenderen blot vide hvad der er blevet bevist indtil nu af ham selv, lige gyldigt om der er en modtager der har forstået det eller ej. Her kræves altså ingen empati, kun konsistens.

III. Leddeling og kompositionalitet III. Enhedstegn og leddelte tegn Tekster og matematiske formler er leddelte tegn (det som også kaldes digitale og som hos Peirce kaldes symbolske), dvs. inddelt i diskrete enkelttegn, hver især med enten- eller-betydning, som skal genkendes fra et inventar af konventionelle elementer (alfabetet eller talrækken med de matematiske funktionstegn).

Enhedstegn III. Enhedstegn og leddelte tegn Billeder er enhedstegn (det som kaldes også analoge eller ikoniske), dvs. uinddelte og kontinuerlige, og dermed med både-og- og mere-eller-mindre-betydning. (Peirce’s tredje tegntype, indeksikalske tegn, fx at mørke skyer er ‘tegn’ på regn (fordi der er et årsagsforhold imellem), er ikke et middel til kommunikation mellem to bevidste individer og derfor ikke efter den her anvendte definition et ‘tegn’.)

Enten-eller-betydning III. Enhedstegn og leddelte tegn Man kan selvfølgelig godt sige at billedet af Tordenskjold kan analyseres i delelementer, som fx næse, øjne og mund, men for det første er der ikke noget ‘hvidt’ mellem de enkelte elementer, som der er mellem bogstaverne i et ord, og mellem cifrene i et tal, og ikke noget ‘blanktegn’ mellem ‘ordene’ i et billede. Og for det andet er der ikke noget inventar af billedelementer som hver især har enten-eller-betydning. Enten er tegnet: [h] et ‘r’ eller et ‘n’ eller et ‘i’. Det kan ikke være alle delene på en gang, eller skiftevis det ene eller andet.

Den hermeneutiske cirkel III. Enhedstegn og leddelte tegn Når tekster kommunikeres (ytres og forstås), sker det for de personer der deltager i kommunikationen, i processer der både går nedefra og op og oppefra og ned. Når processen går nedefra og op, forstås delene før helheden: man læser teksten fra venstre til højre, ord for ord, sætning for sætning, og akkumulerer meningen med hvad man har læst indtil slutningen, hvor man skal prøve at forstå helheden. Men samtidig foregår der en proces oppefra og ned: man kan kun forstå meningen med en del, hvis man forstår hvilken funktion delen har i den helhed som den indgår i. Dette paradoksale forhold kaldes den hermeneutiske cirkel.

Leddeling III. Enhedstegn og leddelte tegn Mens billeder ikke er leddelte, er matematiske formler leddelte. En matematisk formel som fx a2 + b2 = c2 består af 12 løbende diskrete tegn, men kun 6 forskellige tegn som hører til i inventaret af kendte elementer, nemlig talrækken og de matematiske tegn herunder ‘+’, ‘-‘, ‘=’ og blanktegn. Hvert tegn kan kombineres med andre tegn fra inventaret i en kæde efter syntaktiske regler så de udgør sætninger der har sandhedsværdi.

Matematiksyntaks III. Enhedstegn og leddelte tegn Tal og matematiske formler er et tegnsystem hvor hvert enkelt ciffer eller tegn svarer til et morfem i sproget. Disse matematiske tegn kan så kombineres efter regler der helt svarer til reglerne for kombination af morfemer og ord i sproget, dem man kalder morfologi og syntaks. Parallellerne er mange:

Flercifrede tal = komposita III. Enhedstegn og leddelte tegn Etcifrede tal, fx 1 og 5, svarer til substantiver, fx sten og bro; flercifrede tal, 15 og 51, svarer til sammensatte substantiver, komposita: stenbro og brosten, og det er rækkefølgen af de simple tegn der afgør hvad det sammensatte tegn tæller som.

Lighedstegn er verber III. Enhedstegn og leddelte tegn Af verber findes der i matematiske formler kun lighedstegn =, og tegn der bruges på samme måde, fx -, …, .. Her må man regne med at det der står til venstre for lighedstegnet, er emnet (som er det givne), og det der står til højre, er omsagnet (prædikativet), således at alle matematiske ligninger svarer til sætninger.

Regnetegnene er præpositioner III. Enhedstegn og leddelte tegn Regnetegnene +, -, × og ' svarer til præpositioner: 4 + 4 = 8 svarer til stenen i broen er en granitsten, hvor 4 + 4 tæller som et nominal der består af et substantiv, en præposition og et substantiv.

Funktionstegn er participier Funktionstegn i matematikken som 32 og√9 svarer til perfektum participium af verber, fx besat af ..., fundet, altså den besatte bro, en bro besat af fjenden, en sten fundet i mosen, udtryk der sammen med substantiver tæller som nominaler.

Matematisk tekst I Beviset for Pythagoras’ læresætning ved ensvinklede trekanter forekommer følgende formel: AC2 + BC2 = AB × AD + AB × BD = AB × (AD + DB) = AB × AB = AB2 Dette må betragtes som en slags matematisk ‘tekst’ der består af 4 sætninger efter hinanden: AB × AD + AB × BD = AB × (AD + DB) AB × (AD + DB) = AB × AB AB × AB = AB2

Matematisk periodebygning III. Enhedstegn og leddelte tegn Her er omsagnet for sætning 1, emnet for sætning 2, omsagnet for sætning 2 emnet for sætning 3 osv. Præcis som tekster organiseres af sætninger efter hinanden: Der var en gang en mand. Han boede i en spand, spanden var af ler ....

Matematiske relativsætninger III. Enhedstegn og leddelte tegn Man har så i formlen undgået gentagelser på samme måde som man kan i sproget kan undgå det ved at lave relativsætninger: Der var en gang en mand, som boede i en spand, der var af ler ... I Pythagoras-formlen er det første led der er det overordnede emne, og sidste led det overordnede omsagn: AC2 + BC2 = AB2 og resten kan opfattes som parentetiske relativsætninger.

Sorte bokse Et særligt interessant sted i teksten er følgende: III. Enhedstegn og leddelte tegn Et særligt interessant sted i teksten er følgende: Derfor er AB = AC AC AD , hvilket vi skriver som AC2 = AB × AD Dette er det man kan kalde en sort boks, nemlig det at forudsætte som kendt følgende matematiske ligning: A = C = A × D = B × C B D

Præsupposition III. Enhedstegn og leddelte tegn Det er noget der er bevist en anden gang, og som vi ikke gider at beskæftige os med nu. Det svarer til det der kaldes præsupposition i sproget. Det har man fx i verbalsubstantiver som: Opdagelsen af Amerika gav Europa store rigdomme. Her er det forudsat at Amerika er blevet opdaget, og det står som en sort boks som man må have som en af sine baggrundsantagelser, hvis man vil videre i teksten.

Præsuppositionsfejl III. Enhedstegn og leddelte tegn Hvis man som læser ikke har denne forudsætning som led i sine baggrundsantagelser, kommer man ud for en situationen som manden der blev spurgt: Hvornår er de holdt op at tæve Deres kone? (Ordene hvornår, holde op, Deres skaber alle sorte bokse af informationer som ikke meddeles, men præsupponeres). Hvis man blot ikke vidste det på forhånd, kan man lynhurtigt få det som en baggrundsantagelse, uden at nogen opdager det, og gå videre i teksten; men hvis man ikke blot ikke vidste det i forvejen, men heller ikke kan forstå det eller acceptere det som sandt, må man stoppe i læsningen og forståelsen af teksten. Det er da også på præcis ved denne sorte boks at ikke-matematikere står af i forståelsen af Henrik Kraghs bevis. (I parentes bemærket er det denne sorte boks Euklid mangler, dvs. som han ikke har bevist endnu på dette sted i i sin fremstilling, og det er derfor hans bevis for Pythagoras’ læresætning er så meget mere omstændelig end Henrik Kraghs. Han kan ikke bruge en sort boks som ikke er bevist endnu. )

IV. Dobbelt leddeling IV. Dobbeltleddeling Der er mange ligheder mellem matematiske formler og sproglige tekster: De består begge af en række mindstetegn (morfemer), der kombineres efter morfologiske og syntaktiske regler til sætninger som har sandhedsværdi. Der er dog også forskelle: sproglige tekster har to lag af leddelingeringer: under niveauet for morfemer (og ord) er der et lag med bogstaver eller fonemer, således at hvert morfem består af fikserede rækker af bogstaver. Sådan er tallene og de matematiske formler ikke i skrift (men det er de hvis man skal læse dem op).

Sprogets dobbelte leddeling Sproget har dobbelt digitalisering; der er to inventarer af elementer som det leddelte tegn (fx en ytring) kan være sammensat af: bogstaver (egl. fonemer eller grafemer): a, b, c, d, …. morfemer (rødder, derivativer eller fleksiver). Børn, pas, på Meningen med et ord er ikke bestemt kompositionelt som summen af meningen med delene og måden de er kombineret på, og bogstaverne har hverken nogen stabil betydning eller nogen funktionelt bestemt mening. Skrevne tal er leddelte tegn med enkelt artikulation. Inventaret består af ti taltegn (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9), og nogle regnetegn (+, -, x, /, √) og de kan så kombineres efter syntaktiske regler til fx: 1345, hvor helhedens mening er kompositionelt bestemt.

Lange talord IV. Dobbeltleddeling På sin vis indebærer sprogets dobbelte leddeling at sproglige tekster bliver meget lange sammenlignet med matematiske tekster 7345, skrives sprogligt: syvtusindtrehundredeogfemogfyrre, og det der matematisk skrives a2 + b2 = c2 skrives i sproget a i anden plus b i anden er lig c i anden Eller: kvadratet af a adderet til kvadratet af b er lig med kvadratet af c.

Dobbelt bogholderi IV. Dobbeltleddeling Alle de mange bogstaver kan forekomme overflødige og unødigt omstændelige. Cicero slog en streg, og det betød ‘et’, vi skriver en streg, og det betyder ‘et’. Cicero slog to streger, og det betød ‘to’, vi skriver to streger, og det betyder elleve. Hele den moderne matematik hviler på indførelsen af det systematiserede arabiske titalsystem. Amerikaneren Edward P. Forster fik i første tredjedel af 1900-tallet den ide at man kunne konstruere et sprog uden dobbelt bogholderi og med korte ord og sætninger blot man indrettede sproget lige som decimalsystemet.

Et enkeltleddelt sprog IV. Dobbeltleddeling Forster konstruerede kunstsproget ro, hvor duc betyder 'top', dic 'op', dum betyder 'bund', dim 'ned'. Hvert bogstav har altså sin betydning. Hvis man så lader det andet bogstav i et ord modificere det førstes betydning, kan man med brug af ord på op til 5 bogstaver få udtrykt over 200.000 betydninger. Tanken er i virkeligheden ikke så tosset. Vi kender den fra 20 spørgsmål til professoren: planterige, dyrerige, mineralrige eller begreb. Vi kender det også fra decimalklassedelingssystemet på vores biblioteker. Under 01,6 står fagbibliografier, under 57. står botanik, og under 01,657 står fagbibliografier om botanik. Og man finder det også i en begrebsordbog eller thesaurus.

Foster IV. Dobbeltleddeling En tekst med flere sætninger kunne så komme til at se således ud: Abze radap av el in suda, ace rokab eco sugem, ace rajda ec kep,ace va eco, uz in suda asi in buba. Ingen ord er over fem bogstaver og alligevel er meningen intakt. Selv om Foster arbejdede ihærdigt på at konstruere dette sprog med enkelt leddeling i 25 år, kom det aldrig til at fungere, og der har næppe overhovedet været kommunikeret for alvor ved hjælp af det. Det skyldes at vi netop har brug for al den overflødighed der er i bogstaverne for at kunne nå at processere al den mening som vi skal have ud af sproget. Dobbelt leddeling er en betingelse for at sproget kan fungere som mundtligt kommunikationsmiddel. Når matematik kan klare sig med enkelt leddeling, skyldes det at man ikke skal kunne kommunikere mening til andre mennesker live ved hjælp af matematiske formler, man skal blot for evigheden kunne bevise at de er sande.

Fonemer og morfemer IV. Dobbeltleddeling Naturlige sprog som dansk og kinesisk er dobbelt leddelte, dvs. de kan siges med ca. 40 forskelle leddelte fonemer (sproglyde) som kan genkendes fra et inventar af fonemer. Disse 40 fonemer kan så kombineres til de dobbelt leddelte morfemer og ord der har selvstændig mening, og som også skal genkendes fra et inventar, denne gang af morfemer og ord (ordforrådet).

Fonemer og morfemer IV. Dobbeltleddeling Danske og kinesiske sprogbrugere kender lige mange morfemtegn, nemlig omkring et halvt hundrede tusind. På skrift bruger kineserne ikke bogstaver der betegner enkeltlyde, som vi har på dansk, men skriver ordene med næsten lige så mange forskellige tegn som der er ord. Det danske skriftsprog virker ved at systemet af ord (morfeminventaret) og systemet af bogstaver (bogstavinventaret) ikke har noget med hinanden at gøre; forbindelsen er arbitrær. Man kan krybe i ly i en by, men man kan ikke krybe i læ bag en bæ.

Ordklasser IV. Dobbeltleddeling Foster (1908, 1910) foreslår nu det begrebslige landskab delt op på følgende måde: En initial vokal angiver ordklassen således: Ordklasser a pronouns ab _ I , ac _ you e verbs eba _ to be, el _ is, am i prepositions in _ in, iz _ among n negative, opposite nau _ nothingness, nel _ does not o "opposite to i" on _ out, oz _ except u conjunctions ud _ and, ur _ or w interrogation wabek _ ask, wuk? _ can? y affirmation yum _ must, yus _ should

RO: kategorier IV. Dobbeltleddeling En initial konsonant angiver kategorien således: Kategorier Eksempler ba thing (substances) babnac _ oxygen, bacra _ clay ca quantity cafab _ amount, calif _ very fa form fabel _ seem, fagam _ portrait ga quality gabav _ proclivity, gaceb _ classify ha having hab _ to have, hak _ keep ja relation jabal _ proportion, jabefu _ reference ka "verbs of force" kaf _ throw, kak _ kick la positive labic _ actually, lafof _ beautiful ma "opposite to la" maboc _ potential, mafof _ ugly pa instrument, tool padak _ wheel, paltaf _ scissors ra person radac _ boy, rafac _ girl sa "feelings in general" sabap _ mood, sapog _ angry ta time tal _ month, tam _ season va volition, the will vadis _ willingly, vakok _ diligent za number zac _ two, zakic _ doubly

Ro: underkategorier IV. Dobbeltleddeling Hver af disse kategorier kan så underinddeles ved at den efterfølgende vokal modificerer meningen, fx i et par af kategorierne således: Underkategorier Eksempler ba thing (substances) babnac _ oxygen, bacra _ clay be forms of matter bed _ liquid, bejab _ powder bi sky, weather bidab _ wind, bigal _ rain bo sense_affecting matter bocev _ shine, bojob _ loud bu geographical words Budval _ United States, bufab _ island la positive labic _ actually, lafof _ beautiful le vegetable anatomy lebak _ vine, lecab _ root li life libo _ alive, ligeb _ to eat lo opposite li lobod _ dead, logeb _ to fast lu plant names lugacad _ eggplant, lugacat _ tomato

mala IV. Dobbeltleddeling Og dernæst bruges resten af alfabetet til at betegne forskellige andre grammatiske forhold. Der er så kun tilbage med resten af bogstaverne i fembogstavsordene at fastlægge det af de enkelte ords betydning som måtte mangle efter de 3 første bogstaver så det kan læses i en ordbog. Eksempel: Ord med konsonanterne m_l betegner det vegetative (l) liv i dyr (m) (herunder mennesket). I ordbogen kan man så finde: mala: ‘ånde’, male: ‘drikke’, muli: ‘mad’, molid: ‘tænder’, molif: ‘mund’, molim: ‘mave’, malim: ‘fordøje’.

Teksten IV. Dobbeltleddeling Og her kommer så en tekst på ro, med kommentarer og oversættelse: Abze radap av el in suda, ace rokab eco sugem, ace rajda ec kep,ace va eco, uz in suda asi in buba.

Teksten Abze radap av el in suda, IV. Dobbeltleddeling Abze radap av el in suda, a (pronomen) b (jeg) + z(flertal) + e(genitiv) = ‘vor’ ra (person) + d + a + (nomen) + p = ‘far’ a (pronomen) + v = ‘som’ e (verbum) + l = ‘er’ i (præposition) + n = ‘i’ su (overmenneskelig) + d (sted) a (nomen) = ‘himmel’ ‘Vor fader, som er i himlen’

Teksten ace rokab eco sugem, IV. Dobbeltleddeling ace rokab eco sugem, a (pronomen) + c (du) + e (genitiv) = ‘dit’ ro (sige) + kab = ‘navn’ e (verbum) + c (optativ) o = ‘lad blive’ su (overmenneskelig) + gem = gjort religiøs ‘dit navn blive helliget’

Teksten ace rajda ec kep, a (pronomen) + c (du) + e (genitiv) = ‘dit’ IV. Dobbeltleddeling ace rajda ec kep, a (pronomen) + c (du) + e (genitiv) = ‘dit’ ra (person) + j (konge) da = ‘rige’ e (verbum) + c (optativ) = ‘lad være’ ke (bevægelse) + p (perfektum participium) = ‘kommet’ ‘dit rige komme’

Teksten IV. Dobbeltleddeling ace va eco, a (pronomen) + c (du) + e (genitiv) = ‘din’ va (vilje) =’vilje’ e (verbum) + c (optativ) o = ‘lad blive’ ‘din vilje ske’ uz in suda asi in buba u (konjunktion) + z = ‘som’ i (præposition) + n = ‘i’ su (overmenneskelig) + d (sted) a (nomen) = ‘himmel’ a (pronomen) + si = ‘således’ bu (geografisk) ba (substans) = jorden ‘som i himlen således på jorden’.

Umuligheden af et enkeltdigitaliseret sprog IV. Dobbeltleddeling Man ser at projektet mislykkedes fordi man ikke kan dele verden op efter decimalklassifikationssystemet. Tallegemet er så at sige en endimensional verden. Man ved altid om et tal er højere eller lavere end et andet, så man kan udtrykke denne endimensionale mening med morfologi og syntaks i enkeltleddeling. Men hele vores verdensbillede er multidimensionalt, så på tredje decimal betyder samme bogstav ikke det samme i to ord (hvad cifrene i tallene jo gør) og dermed går hele fordelen tabt.

Deiksis IV. Dobbeltleddeling For det andet kan sproglige tekster ved hjælp af deiktiske størrelser (som fx ordene jeg, mig, du, dig, her, der og bøjningsendelserne (mand)-en, (hus-e)-ne, (bo)-ede, (se)- r) angive den omtalte situations relation i tid og rum til kommunikationssituationssituationen jeg-her-nu. Det kan en matematisk formel ikke. Deiktiske størrelser er henvisning fra den omtalte verden til et element i kommunikationssituationen hvorfra man har henvist til den omtalte situation.

Omtalte tidsforløb IV. Dobbeltleddeling For det tredje kan man med en sproglig tekst beskrive forløb i tid i den omtalte situation: Han vågnede, stod op, lavede te, og spiste morgenmad. De fire handlinger i den omtalte situation opfattes som indtræffende efter hinanden i samme rækkefølge som de omtales i kommunikationssituationen. Dette gælder ikke for de fire ligninger i: AC2 + BC2 = AB × AD + AB × BD = AB × (AD + DB) = AB × AB = AB2. Alle fire udsagn handler nemlig om generisk tid, dvs. enhver tid, og derfor forekommer alle dele samtidig. Rækkefølgen de matematiske ligninger forekommer i formlen er alene bestemt af hvad modtagerne kender og ikke kender, ikke af til hvilken tid de er sande. Det skyldes at verberne i de matematiske formler, lighedstegnene, ikke er bøjet i tid, således som verberne i sproglige sætninger altid er, i eksemplet med morgenmaden: i datid.

V. Sammenfatning enhedstegn leddelt dobbelt leddelt Repræ billede matematik sentation sproglig tekst Kommu nikation mimik musik skriftlig eller mundtlig

V. Sammenfatning Billede matematik sprog V. Billede – matematik - sprog Billede matematik sprog Enhedstegn leddelt dobbelt leddelt Genstand genstand og handling handling Mangetydig entydig til at entydiggøre Konceptuel propositionel Interaktionel, informationel, prop. koncpt Ingen deiksis generisk OmSit deiksis Evident beviselig inferentiel … deduktion abduktion Funktionel kompositionel kompositionel og funktionel Vise bevise overbevise

Litteraturliste Litteraturliste Dretske, Fred 1995: Naturalizing the Mind, Cambridge Mass.: MIT Press. Gombrich, E.H (1977) 2002: Art & Illusion. A study in the psychology of pictoral representation, London: Phaidon Press Ltd. Habermas, Jürgen 1971: “Forberedende bemærkninger til en teori om den kommunikative kompetens”, oversat af Peter Widell og Niels Hornborg Jensen, i Henriksen, Carol (red) 2001: Can you reach the salt?, København: Roskilde Universitetsforlag Peirce, Ch.S. (1994): Semiotik og pragmatisme, på dansk ved Lars Andersen, udg. af Anne Marie Dinesen og Frederik Stjernfelt, København: Samlerens Bogklub Togeby, Ole, 1975: RO, Mål & Mæle 2. årg. nr. 3, Kbh.: Sigvaldis forlag Togeby, Ole 2001: "Den sproglige beskrivelse af fiktion og tekstart" i Heltoft, Lars og Carol Henriksen (red) 2001: Den analytiske Gejst. Festskrift til Uwe Geist på 60_årsdagen 23. september 2001, Roskilde: Roskilde Universitetsforlag, side 233_246. Togeby, Ole 2003: Fungerer denne sætning? Funktionel dansk sproglære, København: Gad. Togeby, Ole 2005: “Ole tegner og fortæller. Om den semiotiske forskel på billeder og tekst” i Tidsskrift for Sprogforskning Årg. 3 nr. 1, Århus: Statsbiblioteket, side 29-46. Togeby, Ole 2005: “Dette er (ikke) en pibe - billedtekster og tekstbilleder” i Widell, Peter og Mette Kunøe 2005: 10. møde om Udforskningen af Dansk Sprog. Aarhus Universitet 7.-8. oktober 2004, Århus: Aarhus Universitet, side 370-382. Watzlawick, Paul, Janet Helmick Beavin and Don D. Jackson 1968: Pragmatics of Human Communication. A Study of Interactional Patterns, Pathologies and Paradoxes, London: Faber and Faber.

Litteraturliste Litteratur om ro: Foster, Edward Powell : Ro, Cincinnatti: 1908 (8 p.) Foster, Edward P. 1910: Ro, an international language based on the classification of ideas , Cincinnati: The Ro Company, 1910 (39 p.) Foster, Edward P. 1913: Ru ro, outline of the universal language , Marietta, Ohio: World-Speech Press, 1913 (96 p.) Foster, Edward P. 1919: Dictionary of Ro the world language , Marietta, Ohio: World-Speech Press, 1919 (72 p.) Foster, Edward P. 1921: Roap, English key to Ro, Waverly, West Virginia: Ro Language Society, 1921 (32 p.) Foster, Edward P. 1928: Alphabet of ideas, or dictionary of Ro the world language Waverly, West Virginia: Roia, 1928 (160 p.) PM 8751.F5 Foster, Edward P. 1931: Ro-Latin-English vocabularium dictionary Waverly, West Virginia: Roia, 1931 PM 8751.F31 Foster, Edward P. 1932: English-Ro dictionary Waverly: Ro Language Society, 1932 (64 p.) Tidsskrifter udgivet af Foster: World-Speech , Marietta, Ohio monthly, 1912-1919, Roia , Waverly, West Virginia, 1923-1931 http://www.rick.harrison.net/langlab/ro1.html