Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts :00-14:15 Auditorium F, bygn Matematiklaboratoriet, bygn. 1536

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor Hvad er svært ved beviser?  Udføre beviser på egen hånd på nær i standardsituationer  Bevisførelse ses som et mærkeligt ritual med tricks, der dumper ned ovenfra  Kan korrekt reproducere et bevis mundtligt eller skriftligt uden nødvendigvis at forstå, at beviset har betydning for sandhedsværdien af den beviste sætning  Et deduktivt bevis ses det samme som at undersøge noget for eet tilfælde  Vil selv afgøre om de tror en sætning er sand  Svært at se forskel på antagelser, teoremer og slutningsregler

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor Konflikt mellem intuition og formelt bevis  Elever lader sig i større grad overbevise af:  Intuition, empiri, eksempler  Eksempel: I en ligebenet trekant er vinklerne ved grundlinien lige store  Intuitivt klart – ser ikke nødvendigheden af et bevis  Eksempel: Summen af vinkler i en trekant er altid lig med summen af to rette vinkler  Ikke intuitivt klart – ser behov for bevis  Eksempel: Der er lige mange elementer i N og Z  Intuitivt forkert – tror de på beviset?

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor Kilder til elevernes problemer  Begrebsmæssig forståelse  Matematisk sprog og notation  At få begyndt på et bevis  For megen vægt på beviser i skreven form giver ikke alle elever en forståelse for bevisers rolle som noget der giver validitet  Meget anderledes end den type ræsonnement man bruger i dagligdagen

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor Hvorfor bruge beviser?  Central del af matematikken  Udvikler ræsonnementskompetencen, logisk tænkning  Giver metoder, værktøj og begreber til brug for problemløsning (ikke blot sætningen)  Forberedelse til (nogle) videregående uddannelser  Alment dannende Det står i læreplanen

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor Nogle overordnede ideer  Lade elever komme med uformelle beviser som de sammen med læreren oversætter frem og tilbage til formelt bevis (kan være nemmere for eleverne at få startet)  Benytte ofte spørgsmål som ”hvorfor er det sådant?” til at hjælpe eleverne tydeliggøre deres tænkning og udvikle standarder for matematisk ræsonnement  Udsætte dem for situationer hvor de overraskes og oplever et behov for en forklaring/et bevis

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor Idé: Induktiv proces  Ligner det matematikere gør  Fjerne bøgerne – give dem evt. ark at arbejde med  I grupper eller individuelt arbejde med egne formodninger (let stof), diskutere bevisstrategier og formulering af bevis.  Læreren er ordstyrer – Djævelens Advokat – konsulent  Reviewe et bevis ved at vise det på overhead for resten af klassen  To ting til overvejelse inden  Det tager ca. 2,5 så lang tid at komme gennem samme stof  Læreren skal være fleksibel

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor Blandt andet to typer beviser i undervisningen  Beviser der demonstrerer sandhed  Beviser der forklarer hvorfor noget er sandt Eksempel: Summen af de n første heltal er S(n) = n(n+1)/2

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor Studér disse senere

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor Fremad-baglæns metoden Eksempel:

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor

Anden information Bettina Dahl Søndergaard Lektor Afprøv et bevis på en anden måde  I beviset for produktreglen for differentiation indgår et ”trick” med at skrive 0 som - f(x 0 )g(x 0 + h) + f(x 0 )g(x 0 + h)  Lav beviset ved fremad-baglæns metoden  Overvej brugbarhed for eleverne  Se på arket med bevis der forklarer