CAS-værktøjer i gymnasieskolens matematikundervisning Gymnasielærerenes vurdering af CAS-værktøjernes effekt på elevernes algebraiske færdigheder og konsekvenserne deraf

Hvem er jeg? Christian Danielsen Kandidat fra Aarhus Universitet 2011, hvor jeg skrev speciale om brugen af CAS-værktøjer i gymnasieskolen Arbejder nu på Silkeborg Gymnasium, hvor jeg er i gang med mit pædagogikum Det kan evt. nævnes at jeg gik til undersøgelsen og var ret uforstående overfor, hvad gymnasieelever dog skulle bruge CAS-værktøjer til, om det ikke var bedre at de lærte den grundlæggende matematik, men at jeg i løbet af undersøgelsen fik et andet syn på værktøjerne og især efter jeg selv er begyndt at bruge dem sammen med eleverne. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Disposition Baggrund for undersøgelsen Metode og undersøgelsesdesign Resultaterne af undersøgelsen Studieforberedende undervisning? Baggrund: teori og andre undersøgelser Metode … Resultaterne: Lærernes holdning, elevernes holdning, elevernes evner, tidsforbruget Studieforberedende undervisning: Hvad vil universiteterne gerne have? Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Baggrund for undersøgelsen Teorier Piaget og konstruktivistisk læringsteori Teorien om didaktiske situationer Tidligere undersøgelser Karakterer Algebraiske evner Holdning til CAS-værktøjerne Husk at holde det kort så du ikke foregriber alt for meget Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Piaget Instrumentalisering Stor forskel på in- og output Personliggørelse af værktøjerne Stor forskel på in- og output Risiko for ”black-box”, hvor eleverne bliver afhængige af værktøjet Kræver reflekteret brug Større krav om dokumentation – ikke selvforklarende Ændring i forståelsen af faget til at omfatte CAS- værktøjerne. Elevernes operative skemaer skal til at indeholde CAS-værktøjerne. De skal altså i mange tilfælde tilpasses. Når det er sket er værktøjet blevet instrumentaliseret, fordi eleven har udviklet en viden om, hvordan man bruger det. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Teorien om didaktiske situationer Samspillet mellem personlig og officiel viden Lærernes viden er ikke formet af CAS-værktøjer, men det bliver elevernes Didaktiske og adidaktiske situationer Adidaktisk situation = elevernes selvstændige arbejde med en problemstilling Meget induktivt læringssyn CAS-værktøjernes indflydelse på den didaktiske kontrakt Devolution – handlingssituation – formuleringssituation – valideringssituation – institutionalisering. Når læreren skal give tilbagemelding på det arbejde eleverne har lavet kan der opstå problemer i forhold til at mediere mellem elevernes personlige CAS-skabte viden og den officielle ikke-CAS-skabte viden. Det bliver altså sværere at opfylde den didaktiske kontrakt for både lærere og elever. Overgang til tidligere undersøgelser Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Karakterer og CAS-værktøjer Tysk undersøgelse Generelt positiv indflydelse på elevernes test- karakterer Især elever der vælger matematik på lavt eller mellem-niveau opnår en fordel På højt niveau er der ikke altid en fordel at spore Schmidt et. al 2009 Eleverne valgte selv niveau og om de ville have CAS-værktøjer Ca. 2000 elever deltog i undersøgelsen Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

CAS-værktøjer og algebraiske evner Det væsentligste for at bibeholde niveauet i elevernes algebraiske evner er at eleverne skal kunne genkende ækvivalente udtryk Ball et al 2003 En undersøgelse viser også at der ikke kan ses en sammenhæng mellem brugen af CAS-værktøjer og elevernes algebraiske evner. Weigand & Bichler 2010 Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Holdning til CAS-værktøjer Undersøgelser peger på, at en negativ holdning til CAS-værktøjerne på et område fører til en mere negativ holdning på andre områder Man er altså enten meget positiv eller meget negativ overfor værktøjerne Forgasz og Griffith 2006 Pointeres og er noget vi skal vende tilbage til. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Metode og undersøgelsesdesign 4 hovedformål med undersøgelsen Lærernes holdning til brugen af CAS-værktøjer CAS-værktøjernes indvirkning på elevernes algebraiske evner Tidsforbrug på introduktion af CAS-værktøjerne sammenlignet med tidsforbrug på pensum generelt CAS-værktøjernes indvirkning på elevernes præstation til eksamen Kombination af interviewundersøgelse og spørgeskemaundersøgelse Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Interviewundersøgelsen 4 lærere fra 3 forskellige gymnasier i eller omkring Aarhus. Både mænd og kvinder Ingen helt unge lærere (44-59 år) Efterfølgende kodet meningskondenserende Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Spørgeskemaundersøgelsen Genbrug af udsagn fra interviewundersøgelsen 260 fuldstændige svar (altså ca. 10% af matematiklærerne) Krydstabuleres og testes for uafhængighed. I nogle tilfælde laves der GOF tests. Funnelling som tilgang til udformningen af spørgsmålene Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Metodetriangulering Brug af flere metoder på grund af egen begrænsede erfaring på området og manglende erfaring med strukturering af undersøgelser Interviewundersøgelse giver mulighed for tolkning af de statistiske resultater fra spørgeskemaundersøgelsen. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Resultater Lærernes holdninger til CAS-værktøjerne Lærernes vurdering af elevernes holdninger Lærernes vurdering af elevernes algebraiske færdigheder Lærernes vurdering af tidsforbruget på CAS- værktøjerne Husk igen at holde det kort. Det er de her emner vi kommer ind på. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Lærernes holdning til CAS-værktøjer Mere end 55% oplever at CAS-værktøjerne giver dem en klar pædagogisk fordel i undervisningen Kun 10% oplever det modsatte ”… det jeg gør, det er jeg siger, nu skal vi sådan og sådan og sådan – prøv at eksperimentere, og så sidder de jo i grupper, og så [knipser] knækker Adam koden, og så løber han lige rundt og viser. Det vil sige, at vi gør det til en fælles ting, hvor jeg sådan bliver nærmest coach- agtig, fordi jeg siger næsten ikke noget, jeg er ikke engang mentoragtig fordi jeg svarer helst ikke, så finder elevgruppen selv ud af, hvordan tegner vi de her vektorer og de er, tro mig, blændende …” Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Lærernes holdning til CAS-værktøjer CAS-værktøjerne kan altså skabe nye adidaktiske situationer. Kræver at eleverne har et grundlæggende kendskab til værktøjerne. Nemt for eleverne at etablere et grundlæggende kendskab til et af flere af de eksisterende værktøjer Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Lærernes holdning til CAS-værktøjer … jeg kan godt se, at det også pædagogisk giver nogle fordele, […], specielt på B-niveau, hvor de er meget spredt i niveau, at lige så snart de støder på et lidt kompliceret beregningsproblem, så får du den der spredning i klassen, hvor nogen gør sådan [knipser], og så er de færdige, og nogen de kan sidde i 10-20 minutter med det samme problem og stadigvæk ikke er færdige. Så på den måde giver det en pædagogisk fordel, ikke: at man siger – OK i får lige to minutter til at solve den her [knipser] og så fortsætter vi. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Lærernes holdning til CAS-værktøjer Specielt i niveaumæssigt spredte klasser kan CAS- værktøjerne give de svage elever et løft Stemmer overens med undersøgelse fra Thüringen der viser at det specielt er de elever der vælger matematik på lavt- og mellem-niveau der får en fordel af CAS-værktøjerne Stiller krav til læreren i forhold til, at den viden der genereres med CAS-værktøjerne skal institutionaliseres. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Lærernes holdning til CAS-værktøjer Klar sammenhæng mellem sikkerhed i brugen af værktøjerne og holdning til deres brug pædagogisk. Interviewpersonerne giver udtryk for at der er en usikkerhed forbundet med at kaste sig ud i det. Det kan være noget man bruger god tid på i faggruppen ”… det kan selvfølgelig også let have noget med mig at gøre, at jeg ikke er, hvad skal vi sige, dygtig nok, erfaren nok i at bruge det der medium sådan, at de får noget ud af det og ikke bare sidder og kigger på en tegnefilm eller sådan noget. […] Det er jo mange år, man har brugt på traditionel undervisning, og det er jo det, man selv er blevet oplært i i sin tid. Det andet der er sådan noget, der er mere selvstuderet røver ikke.” Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Lærernes holdning til CAS-værktøjer Kendskab til værktøjernes muligheder gør det også lettere at vurdere elevernes personlige viden i forhold til den officielle viden, når eleverne præsenterer den gennem et CAS-værktøj. Der var ingen sammenhæng mellem alder og holdning til brug af CAS-værktøjer. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Altså En vigtig forudsætning for at CAS-værktøjerne bliver en pædagogisk gevinst i undervisningen er at lærerne har en god forståelse for værktøjets muligheder og begrænsninger Værktøjerne giver til gengæld mulighed for nye adidaktiske situationer der giver mulighed for at flere elevtyper kan få succesoplevelser. Understreg især pointen om at viden omkring brugen er særligt vigtig i forhold til at få et godt resultat. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Elevernes syn på værktøjerne Generelt oplever lærerne at eleverne er glade for at bruge CAS-værktøjerne … Hvis de har mulighed for at bruge CAS-værktøjerne så bruger de dem 100%, …, Altså jeg har ikke nogen elever der afleverer delvist i hånden, med mindre computeren er gået ned Mere end 70% af lærerne er mener at eleverne generelt bliver gode til at bruge CAS-værktøjerne. Mere end 60% mener at det hurtigt bliver naturligt for eleverne at bruge CAS-værktøjerne. Bruges dog også til tider uhensigtsmæssigt Specielt de dygtigste elever giver udtryk for at de synes det er snyd at bruge værktøjerne Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Elevernes syn på værktøjerne En stor gruppe af lærerne (ca. 48%) vurderer at der er en stor midtergruppe af elever der synes matematik bliver sjovere når CAS-værktøjerne inddrages (35% svarer hverken eller) Igen bliver det altså vigtigt at læreren har et godt kendskab til værktøjet så man kan se, hvornår det giver mening at inddrage det i undervisningen. Husk at der kommer en mere generel opsamling til sidst. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Elevernes algebraiske færdigheder 80% mener at eleverne har dårlige algebraiske færdigheder når de kommer fra folkeskolen 80% mener at det er en fordel at lave noget håndregning inden maskinerne overtager Men kun 40% mener, at man ikke skal starte for tidligt med CAS-værktøjerne fordi eleverne skal være bedre til håndregning. Vi kan altså ikke slutte at lærerne entydigt mener at eleverne er blevet dårligere på grund af CAS- værktøjerne. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Elevernes algebraiske færdigheder CAS-værktøjerne risikerer at medføre en uselvstændiggørelse af især de svage elever 70% ønsker at kunne tage CAS-værktøjerne fra visse elever for at kunne få dem til at sætte sig ned og tænke. Manglende basiskunnen fra folkeskolen Manglende erfaring og uddannelse hos lærerne En kritik af CAS-værktøjerne som det ikke kun er mig der kommer med, men som bliver ført andre steder også. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Elevernes algebraiske færdigheder De klarer sig måske bedre til den mundtlige eksamen … så synes jeg faktisk det ser ud som om, at de er blevet bedre til at forestille sig fysisk, hvordan tingene, de ting de kan forestille sig er og det betyder at det går ikke så frygteligt i hegnet som det somme tider har kunnet gøre … Hvilket godt 57% er enige i Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Altså Eleverne glade for værktøjerne og bruger dem gerne og meget Lærerne vurderer ikke at elevernes dårligere algebraiske færdigheder skyldes introduktionen af CAS-værktøjer, men ønsker alligevel at kunne tage værktøjerne fra visse elever Igen: Det er meget vigtigt med en reflekteret brug af værktøjerne og det er vigtigt at lærerne kender værktøjets muligheder og begrænsninger. Henvis her igen til problematikken med uselvstændiggørelse og henvis til instrumentaliseringen af værktøjerne. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Tidsforbrug Klar sammenhæng mellem vurdering af tidsforbrug og holdning til CAS-værktøjerne. Stemmer overens med tidligere undersøgelser En positiv indstilling til værktøjerne sammen med bred viden om, hvordan de bruges kan altså være med til at gøre værktøjerne til et rigtig godt pædagogisk redskab Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

CAS-værktøjernes forcer Eleverne kan prøve ting de ikke kunne før Eksperimentel matematik Eleverne kan løse opgaver de ikke kunne før Dybere forståelse af visse emner Alle kan løse den samme typeopgave og efter lidt træning kan de gøre det hurtigt Flere elevgrupper kan få succesoplevelser i matematikundervisningen Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Faldgruber? Overfladelæring eller dybdelæring En undersøgelse kunne tyde på at CAS-værktøjerne tiltaler elevtyper der foretrækker overfladelæring Meget afhængig af brugen af værktøjet Nævn phd undersøgelsen og hvordan det var med den viden de to elever havde genereret Sammenlign med instrumentalisering Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Konklusion Både lærere og elever er glade for værktøjerne på STX Der er en klar sammenhæng mellem holdning til værktøjerne, egne evner med værktøjerne og vurdering pædagogiske fordele ved værktøjerne CAS-værktøjerne får ikke skylden for at eleverne er blevet dårligere rent algebraisk Tværtimod vurderes CAS-værktøjerne til at have en positiv indflydelse på elevernes mundtlige eksamen. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Universiteterne Blandede udmeldinger DTU og Aalborg universitet er begejstrede for at eleverne har fået CAS-kompetencer. Jf MatHit På matematik i Aarhus var de noget mere afdæmpede. Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Spørgsmål ? Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium

Litteratur Ball et al.2003 L. Ball, R. Pierce, K. Stacey: ”Recognising Equivalent Algebraic Expressions: An Important Component Of Algebraic Expectation for Working With CAS”, International Group for the Psychology of Mathematics Education, Cape town 2003 Schmidt et al. 2009 Karsten Schmidt, Anke Köhler og Wolgang Moldenhauer, Introducing a Computer Algebra System in Mathematics Education –Empirical Evidence from Germany, The international Journal for Technology in Mathematics Education, 2009, Vol. 16, no. 1 p. 11-26 Weigand & Bichler 2010 H. G. Weigand, E. Bichler: ”Symbolic Calculators in Mathematics Lessons – The case of Calculus”, The international Journal of technology in mathematics education, 2010, Vol. 17, no. 1 p. 3-15 Forgasz og Griffith 2006 H. J. Forgasz og S. Griffith, Computer Algebra System Calculators: Gender Issues and Teachers' Expectations, Australian Senior Mathematics Journal, vol. 20 no. 2 p18-30, 2006 Christian Danielsen - Silkeborg Gymnasium