Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM v/ Poul Hjorth og Steen Markvorsen

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 MØRK ER NOVEMBER Mørk er november og løvfaldet slut, vandet begynder at fryse, lyset fra solen og blomsterne brudt, da må vort hjerte selv lyse. Synge vil vi, legen er magt, mer end beregning, forstand og foragt, værn mod det sorte og tomme. Om der svæver dødeligt dræ, vil vi dog elske og plante et træ, frugter kan uspået komme. -Thorkild Bjørnvig

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Synopsis 1.Den Kongelige Danske Funktionsundersøgelse 2.Et eksempel a’la Feynman 3.Brand! 4.Integrator 4 5.Kritik der Automatik 6.Solsikker 7.Sperner’s Lemma (hvis der er tid)

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Den Kongelige Danske Funktionsundersøgelse

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Funktionsundersøgelse i én nøddeskal 1.En konkret funktion f(x) er givet på et reelt interval 2.Vis, at intervallet er begrænset og afsluttet (hvis det er det!) 3.Vis, at f(x) er mindst to gange differentiabel (hvis den er det!) 4.Tegn grafen for f(x) og grafen for f’(x) 5.Find fortegnsintervallerne for f(x) og for f’(x) 6.Find ekstremumspunkterne for f(x) og de tilhørende ekstremumsværdier 7.Find f’’(x) i ethvert ekstremumspunkt for f(x) 8.Find største- og mindste-værdi for f(x) 9.Find integralet af f(x), dels ubestemt dels bestemt (over intervallet)

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Funktionsundersøgelse i én nøddeskal En Maple-inspektor (*)(*)

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Et eksempel a’la Feynman

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Livredning

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Livredning

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Livredning

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Livredning

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Livredning

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Livredning

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Livredning

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Livredning

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Livredning

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM modellering Livredning mm. med Maple Find (mindste) redningstid og tilsvarende redningsvej Verificér Snell’s brydningslov Maplesession (*)(*)

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM relevans Variabel (differentiabel) brydningsindex: f(y)

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM relevans Ray Tracing

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM: Alle kneb Visualisér, eksperimentér, opdag, forstå!

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM: Alle kneb Visualisér, eksperimentér, opdag, forstå!

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Brand!

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Brand!

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Skovbrande i Canada ( >200 ha, )

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Brand! Attack:

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Brand! Strategi:

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Brand! Head-, Flank-, and Back-Fire

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Grassland Fire Tikokino, Central Hawkes Bay, New Zealand, 1991

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Brand! Elliptiske øvelser I Ligning Parametrisering Omkreds Foliering Areal

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Brand! Uden vind

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Brand! Med vind

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Brand! Med variabel vindretning (360 graders drejning)

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i Matematik1 på DTU Integrator4 – en flervariabel Inspektor Eksempel (*)(*)

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Kritik der Automatik

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Integrator 4 i praksis Lad en flade F være givet som skæringen mellem cylinderen {(x,y,z) \in R^3 | x^2 + y^2 \le 4} og den plan der er givet ved ligningen 3x -2y + z = 1. Bestem fluxen af vektorfeltet V = (z-y^2, 3x+sin(y), x(z+1)) igennem fladen F.

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Lad en flade F være givet som skæringen mellem cylinderen {(x,y,z)| x^2 + y^2 < 4} og den plan der er givet ved ligningen 3x -2y + z = 1. Bestem fluxen af vektorfeltet V = (z-y^2, 3x+sin(y), x(z+1)) igennem fladen F. ?

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Integrator 4 er et fantastisk redskab til kurve- flade og rumintegration med brug af Maple -- Integrator 4 har stærk XM karma. Imidlertid forudsætter effektiv brug af Integrator 4 en grad af sikkerhed mht parameter-repræsentation af flader, en sikkerhed som ikke altid er til stede. Dette afspejler efter min mening et generelt problem vi ofte står overfor med computer-hjulpen XM: Det enkelte systems præmisser mht brugerens forkundskaber og brugerens reaktionsmønstre er ikke uniformt afspejlet hos de reelle brugere. Jeg er optimist: vi kan modvirke dette problem ved at være bevidst om det, og (naturligvis) ved at bruge computer-assistance til at klargøre hvordan matematiske objekter repræsenteres i computeren.

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Det værste XM forsøg jeg har været udsat for - Det bedste XM forsøg jeg har udsat andre for -

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Keep it simple. ‘Risikoen for afsporing øges eksponentielt med antallet af bevægelige dele’. Undgå ‘rene’ computer-iscenesættelser. Flex ud & ind af computer-assistance. Udnyt matematikkens ‘forunderlige uforfærdethed’, dens ældgamle charme og dens ‘urimelige effektivitet’.

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Frugter kan uspået komme.

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Solsikker

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Se de smukke spiraler i solsikkens blomsterstand

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Hvordan vokser frøene frem ? Hvert frø vokser frem i midten og skubbes ud mod randen efterhånden som frøstanden vokser

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Det næste frø dannes i en retning som er drejet en vinkel v fra det foregående. Dette frø bevæger sig også ud mod randen. v

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Næste frø dannes igen med en vinkel v fra det foregående, osv. v

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Hvilken brøkdel af 360° er denne vinkel v ? Så ville en sådan v ikke pakke frøene særlig godt - der ville blive afstand mellem ‘strålerne’. Hvis vinklen var en ‘pæn’ (brøk) del af 360, fx1/9 af 360°

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Et irrationalt tal vil undgå denne ‘stråle’ effekt. Men nogle irrationale tal er bedre end andre. For et endeligt antal frø vil der alligevel dannes stråler hvis det irrationale tal er tæt ved et simpelt rationalt tal.

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Hvis fx vinkel v er en anelse mindre end 1/2 af 360° : Nærhed ved simple brøker vil resultere i spiraler, hvor antallet af arme fortæller om den simple brøks nævner.

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Hvis det simple rationale tal er større end v buer spiralerne med uret ≈ 3/5 ≈ 5/8 Hvis det simple rationale tal er mindre end v buer spiralerne mod uret

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Det gælder om at finde et v der så lidt som muligt tillader en rational tilnærmelse. Der findes et tal der i denne forstand er det mest irrationale tal på hele tallinjen. Netop dette tal vil give den allerbedste pakning af frøene, med mindst tendens til stråler og spiraler.

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Dette tal har været kendt siden oltiden Tallet har et væld af smukke talteoretiske egenskaber. Det er selvfølgelig = 0, Det bruges allerede meget i gymnasieprojekter

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Specielt er de bedste rationale tilnærmelser til tallet forhold mellem Fibonaccital: 1,2,3,5,8,13,21,....

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Synge vil vi Legen er magt

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM Sperner’s Lemma 1.Et hus med mindst et rum med kun én dør 2.Et spil, der finder sådan et rum 3.En fikspunkts-sætning og –algoritme vandpapiralgfundthm 4.En invers funktions-sætning 5.En sætning om implicit givne funktioner 6.En afbildningsgrad for kontinuerte afbildninger

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Slut Tak for opmærksomheden!

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i proces-orienteret læring G. Strang on eigenvectors and stuff directly from MIT

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i proces-orienteret læring A’la Archimedes

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i proces-orienteret læring A’la Archimedes

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i proces-orienteret læring En vindelfladekonstruktion

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i proces-orienteret læring Matematik 1 (semester på DTU) Ugeseddel Fladeintegration og Stokes’ sætning Projekt-opgaver, et eksempel Tema-opgaver, et eksempel

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i proces-orienteret læring Differentialgeometri (4. semester på DTU) Rumkurver, et eksempel Flader, et eksempel Gauss-Bonnet’s sætning, et eksempel

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i proces-orienteret læring Faldgruber og Kongeveje I Når standard-spørgsmål har automatiske svar – og det har de jo ofte – så giver standard-opgaver ikke nødvendigvis anledning til det berømte ”ryk”. Den matematiske handlekraft indskrænkes i den faldgrube til følgende: Den ”automatiske analyse” udføres ved at præparere et input efter en passende skabelon og dernæst aktivere en automat (ikke nødvendigvis en computer). Det kan for eksempel foregå som i `funktionsinspektoren´

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i proces-orienteret læring Faldgruber og Kongeveje II Kongevejen betrædes (som antydet i det sidstnævnte eksempel) hvis automaten ikke giver det forventede svar, fordi så bør overraskelsens moment straks benyttes til at forstå hvorfor. Eksperimentets betydning for den proces-orienterede læring er på den måde at give anledning til strukturelt betingede, konstruktive, spørgsmål til de ”automatiske svar” – spørgsmål, der opklarer mysterierne og peger fremad mod det udsagn, den sætning, som de derved samtidig er med til at understøtte og bevise. Det bliver så underviserens interessante opgave dels at vejlede forventningen og simpelthen skabe den, for så vidt den ikke findes i forvejen, og dels at fastholde og dramatisere mysteriet samt vejlede opklaringsprocessen.

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i proces-orienteret læring Faldgruber og Kongeveje III Som en anden Sherlock Holmes: Det er – som altid – i spændingsfeltet mellem mysterium og opklaring at ”rykket” træder i karakter. Det er ikke altid butleren der er morderen. Og apropos den analogi:

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i proces-orienteret læring

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i fremtiden I Visioner Eksperiment og bevis samarbejder i procesorienteret læring Bærbare PC til alle studerende En praktisk tilgang til XM-inspireret undervisning på tværs af fagene Helt andre og nye strukturelt motiverede opgaveformuleringer

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i fremtiden II G. Strang, MIT: EmMa, DTU:

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 XM i fremtiden III Matematik 1, generelt: Matematik 1, Maples: Matematik 1, ugeseddel 10: Matematik 1, en projekt-opgave: Matematik 1, en tema-opgave: Differentialgeometri, generelt: Differentialgeometri, om kurver, flader og Gauss-Bonnet:

Institut for Matematik Projekt XM 27. – 28. November 2006 Slut Tak for opmærksomheden!