VEKTORER AM 2006

Definitioner m.m. A B a En vektor er en samling af pile med samme længde og samme retning Vektorer betegnes fx a eller AB Vektorer med parallelle retninger er ensrettede eller modsat rettede Længden af en vektor betegnes med |.. | |a| |AB| En vektor med længden 0 kaldes nulvektoren og betegnes og har ingen retning. Alle andre vektorer kaldes egentlige vektorer o

Hvor mange repræsentanter er der for vektoren ? Nu har jeg fattet det

Hvor mange repræsentanter var der for vektoren ? Klik dit svar! 1 2 3 4 5 6 7

Hvor mange repræsentanter er der for vektoren ?

Hvor mange forskellige vektorer er repræsenteret her? Nu ved jeg det!

UPS – det var forkert! Prøv igen!

Klik dit svar! 1 2 3 4 5 6 7

r a b + r b a + r a b + r b a + r b a + Addition af vektorer Pilen fra ’s basis til ’s spids er en repræsentant for sumvektoren Anbring en repræsentant for en repræsentant for med start i spidsen af Tegn en repræsentant for + Overvej, at trekantsuligheden gælder – hvornår gælder ”=”? Tegn en repræsentant for Overvej, at de to trekanter er kongruente r a b + r b a + r a b + r b a + ”Kræfternes parallelogram”: r b a + Den kommutative lov: Trekantsuligheden:

b + r a Den associative lov: (a + b) + c (”plusparenteser” kan bare slettes) r a b + (a + b) + c I begge tilfælde går vektoren fra ’s start til ’s spids, altså b+c a + (b + c) a + b + c

a a a a Multiplikation af vektorer med et tal ta t = 0 Hvad tror du 0  skal betyde? a Havde du luret den? t >0 Giv et bud på betydningen af t generelt, hvis t er positiv (længde og retning) t og er ensrettede og Nemlig! Hvad tror du 2  skal betyde? a Hvilken længde og retning får den? t< 0 Vektoren drejet 180 - samme længde, men modsat rettet, idet vi så får a Hvad tror du - skal betyde? a Giv et bud på betydningen af t generelt, hvis t er negativ (længde og retning) t og er modsat rettede og .

Øvelse 1 Tegn repræsentanter for vektorerne til højre

Subtraktion af vektorer Har du et velkvalificeret gæt på, hvad det skal betyde? Har du også et bud på, hvordan man skal finde en repræsentant for denne differensvektor? Overbevis dig selv om, at den sidste metode også giver en repræsentant for differensvektoren.

Distributive love (”gange ind i parentes”) – Uden bevis! Øvelse 2 Tegn over på et stykke papir Passer det med reglerne – hvornår er 1., 2. og 3. i anvendelse?

Opløsning af en vektor efter to givne (ikke-parallelle) retninger Vektor er nu blevet opløst i de to Komposanter og , der har de to givne retninger Tegn to linier med den ene retning gennem hhv. vektorens basis og spids - gentag med den anden retning Tag en repræsentant for vektoren Derved fremkommer et ”kræfternes parallelogram” Indtegn de to Komposanter, dvs. de to vektorer, som den oprindelige vektor er Resultant (sumvektor) for Retning 2 = + Retning 1

Opløsningens entydighed Sætning Opløsning af en vektor i komposanter efter to givne retninger er entydig Beviset gider jeg ikke se!

Bevis for entydighed af opløsning Overvej, at  l og  l   l Lav to opløsninger efter de to retninger Hvilken betydning får det for , når de to retninger ikke er parallelle (og de to vektorer er ens)? Overvej at nedenstående gælder og, at  m og  m   m Retning 1 = + = + Retning 2 m l = +  = + Dvs. at de to opløsninger er én og samme.

Vigtige småting r a b t | , Û = × =   En enhedsvektor er en vektor med længden 1 En enhedsvektor er? En ortonormeret basis er et vektorpar ,hvor og er enheds-vektorer (normeret), der står vinkelret på hinanden (orto). Ortonormeret basis betyder? r a b t | , Û = × =   hvor Når to egentlige vektorer er parallelle gælder? Hvis en vektor opløses efter retningen af to andre vektorer og , kan skrives som? Hvis en vektor opløses efter retningen af to andre vektorer og , gælder = +

Øvelse 3 Opløs i komposanter efter retningerne af og = + = + = +

Linearkombinationer Øvelse 4 Bestem tallene s og t, så = s  + t  = + = + = -0.9  + 0.25  Skriv på formen s  + t  Skriv på formen s  + t  Skriv på formen s  + t  = 2.1  - 3  = - + 0.7  = - + 0.7 

Koordinater for vektorer Tag en ortonormeret basis a1 kaldes 1.koordinaten og a2 kaldes 2.koordinaten for vektoren Opløs efter de to basisretninger

Fik du en smaddergod idé? Øvelse 5 Bestem koordinatsættet for vektoren Øvelse 6 Indlæg en ortonormeret basis og bestem koordinatsættet for alle vektorerne i Øvelse 1 & Øvelse 2 Fik du en smaddergod idé?

Regler for regning med koordinater t er en konstant Sætning Bevis Def. på koord.sæt! Kommutativ lov Def. på koord.sæt! Associativ lov Distr. love 1. & 3. Def. på koord.sæt! Distr. lov 1 Distr. lov 3

Øvelser Øvelse 5 Check koordinatsættene for vektorerne i Øvelse 1 (dias 12) og Øvelse 2 (dias 14) ved koordinatregning! Øvelse 6 Indlæg en ortonormeret basis. Bestem koordinatsættene for vektorerne i Øvelse 4 (dias 20). Check ved koordinatregning, om de aflæste linearkombina-tioner passer nogenlunde.