Separation af de variable

Præsentationer af emnet: "Separation af de variable"— Præsentationens transcript:

1 Separation af de variable
Sætning: Differentialligningen Hvor h er kontinuert i et interval I og g er kontinuert i et interval J og g(y)0 har de samme løsninger som ligningen:

2 Bevis: At en funktion er kontinuert betyder løst sagt, at den er sammenhængende. Man kan formelt skrive det: for alle x og x0 i definitionsmængden.

3 Bevis: At en funktion er kontinuert betyder løst sagt, at den er sammenhængende. Man kan formelt skrive det: for alle x og x0 i definitionsmængden. Vi har tidligere set at enhver kontinuert funktion har en stamfunktion (nemlig arealfunktionen – se sætning 2.1 side 204)

4 Bevis: At en funktion er kontinuert betyder løst sagt, at den er sammenhængende. Man kan formelt skrive det: for alle x og x0 i definitionsmængden. Vi har tidligere set at enhver kontinuert funktion har en stamfunktion (nemlig arealfunktionen – se sætning 2.1 side 204) Da h er kontinuert i et interval I må den have en stamfunktion i I. Vi kalder den H og kan så skrive:

5 Bevis: Noget helt tilsvarende gælder for funktionen
Den findes fordi vi har forudsat at g(y) er forskellig fra 0 (ellers kunne vi jo ikke dividere med det). Den er kontinuert fordi g(y) er det og 1/x også er kontinuert. Så er sammensætningen nemlig også kontinuert.

6 Bevis: Noget helt tilsvarende gælder for funktionen
Den findes fordi vi har forudsat at g(y) er forskellig fra 0 (ellers kunne vi jo ikke dividere med det). Den er kontinuert fordi g(y) er det og 1/x også er kontinuert. Så er sammensætningen nemlig også kontinuert.

7 Bevis: Noget helt tilsvarende gælder for funktionen
Den findes fordi vi har forudsat at g(y) er forskellig fra 0 (ellers kunne vi jo ikke dividere med det). Den er kontinuert fordi g(y) er det og 1/x også er kontinuert. Så er sammensætningen nemlig også kontinuert. Vi kalder stamfunktionen til for G(y) (bemærk navngivningen - G(y) er altså ikke er stamfunktion til g(y) men til ) Vi kan derfor skrive:

8 Bevis: For h og g har vi altså nu indført H og G så:

9 Bevis: For h og g har vi altså nu indført H og G så:
Vi omskriver nu den oprindelige differentialligning:

10 Bevis: For h og g har vi altså nu indført H og G så:
Vi omskriver nu den oprindelige differentialligning: Divider begge sider med g(y) (ok da det ikke er 0)

11 Bevis: For h og g har vi altså nu indført H og G så:
Vi omskriver nu den oprindelige differentialligning: Divider begge sider med g(y) (ok da det ikke er 0) Vi indsætter nu G og H og får:

12 Bevis:

13 Bevis: For at kunne genkende en differentieret sammensat funktion (om lidt) skifter vi notation og skriver f(x) i stedet for y :

14 Bevis: For at kunne genkende en differentieret sammensat funktion (om lidt) skifter vi notation og skriver f(x) i stedet for y : Venstre side genkender vi nu som differentiation af sammensat funktion (”den ydre differentieret evalueret i den indre gange den indre differentieret”)

15 Bevis: For at kunne genkende en differentieret sammensat funktion (om lidt) skifter vi notation og skriver f(x) i stedet for y : Venstre side genkender vi nu som differentiation af sammensat funktion (”den ydre differentieret evalueret i den indre gange den indre differentieret”)

16 Bevis: For at kunne genkende en differentieret sammensat funktion (om lidt) skifter vi notation og skriver f(x) i stedet for y : Venstre side genkender vi nu som differentiation af sammensat funktion (”den ydre differentieret evalueret i den indre gange den indre differentieret”) Vi rokerer lidt om på udtrykket:

17 Bevis:

18 Bevis: Nu skal vi bruge reglen for differentiation af en differens (bagfra)– man differentierer ledvist. (Det er den I f.eks bruger når I differentierer polynomier…)

19 Bevis: Nu skal vi bruge reglen for differentiation af en differens (bagfra)– man differentierer ledvist. (Det er den I f.eks bruger når I differentierer polynomier…) Vi har nu et udtryk (venstre siden), der når man differentierer det giver 0. Vi ved at kun konstanter opfylder dette og får: hvor c er en konstant.

20 Bevis: Nu skal vi bruge reglen for differentiation af en differens (bagfra)– man differentierer ledvist. (Det er den I f.eks bruger når I differentierer polynomier…) Vi har nu et udtryk (venstre siden), der når man differentierer det giver 0. Vi ved at kun konstanter opfylder dette og får: hvor c er en konstant. Nu vender vi tilbage til den oprindelige notation og skriver y o stedet for f(x):

21 Bevis:

22 Bevis: Der rokeres lidt rundt på udtrykket:

23 Bevis: Der rokeres lidt rundt på udtrykket:
Til sidst skriver vi lige udtrykket med g og h frem for G og H (se slide 8) Hermed har vi vist sætningen. Den oprindelige differentialligning kan løses ved at udregne integralerne i det sidste udtryk. Metoden kaldes separation af variable. Fra slide 8: