Lineære funktioner AM/ Maj 2006

Præsentationer af emnet: "Lineære funktioner AM/ Maj 2006"— Præsentationens transcript:

1 Lineære funktioner AM/ Maj 2006
Prøv selv at svare på spørgsmålene, fylde hullerne ud og tegne ind, før du klikker frem til svaret. AM/ Maj 2006

2 Hvad ved I? – og hvad vidste I alligevel?
Hvad er en lineær funktion? En lineær funktion er en funktion, der har en graf, som er en ret linie i et almindeligt koordinatsystem. Hvordan ser forskriften for en lineær funktion ud? En lineær funktion har forskriften y = ax + b el. f(x) = ax + b Bevis

3 Bevis 1a: f er en lineær funktion  f(x) = ax +b
Værdien i 0 kaldes b, altså b:= f(0) x O y = f(x) Gå 1 t.h. fra (0,b) og lodret op/ned til linien rammes igen. f(x) T2 Det stykke, der gås op (regnet med fortegn) kaldes a 1 T1 a b Derved fremkommer en trekant T1 Tag et tilfældigt x og markér den tilhørende f(x) x Den vandrette linie fra punktet (0,b) forlænges - derved fremkommer en ny retvinklet trekant T2 De to trekanter er ensvinklede (vinklen mellem linien og vandret er fælles) T2 er altså en forstørrelse af T1

4 1a fortsat De to trekanter flyttes ud ved siden af hinanden x O
y = f(x) b a 1 T1 f(x) T2 T1 a 1 T2 ∙ x f(x) - b f(x) - b f(x) - b x x Katetelængderne ses på grafen til højre Da de to vandrette kateter er hhv 1 og x, må forstørrelses-/skalafaktoren (fra T1 til T2) være x Når den lodrette katete i T1 forstørres med denne faktor fås den lodrette katete i T2, altså a∙x = f(x) – b Denne ligning kan omformes til f(x) = a∙x + b

5 Bevis 1b: f(x) = ax +b  f er en lineær funktion
Først antages, at a og x er positive x O y = f(x) f(x) = ax + b  x f(x) C f(0) = a∙0 + b = b 1 f(1) A a∙x B(0,b) ligger da på grafen T2 T1 a A(1,f(1)) og C(x,f(x) ligger også på grafen b B D E Den vandrette linie fra B tegnes og D(1,b) og E(x,b) afsættes Kig på de to retvinklede trekanter T1 = BDA og T2 = BEC og indsæt længderne af kateterne på tegningen a∙x x C E T2 B |AD| = f(1) – b = a∙1 + b - b = a a 1 A D B T1 |CE| =f(x) – b = a∙x + b – b = a∙x

6 1b fortsat a∙x x C E T2 B ∙ x Vis at |AB| = ”Pythagoras” a 1 A D B T1
Vis, at |CB| = x∙|AB| |CB|2 = |BE|2 + |EC|2 = x2 + (ax)2 = x2 + a2 ∙ x2 = x2 ∙(1+ a2) = x2 ∙ |AB|2  |CB| = x ∙ |AB|, da x > 0 x f(x) C O y = f(x) b 1 f(1) A D E T2 T1 B Dvs. at T2 er en forstørrelse af T1 med forstørrelsesfaktoren x - altså er de to trekanter T1 og T2 ensvinklede Derfor er liniestykkerne BA og BC parallelle Dvs. at C må ligge på linien gennem A og B Da x var tilfældigt valgt, gælder det altså, at alle grafpunkter (x, f(x)) ligger på linien.

7 1b fortsat For a < 0 og x < 0 anvendes samme procedure, blot erstattes x med |x| = -x og a med |a| = -a, når det drejer sig om liniestykker. Forstørrelsesfaktoren bliver da |x|. Hermed er det vist, at linien gennem B(0,b) og A(1,a + b) er graf for den lineære funktion f(x) = ax + b.

8 Tilvækster  er det græske bogstav "Delta", der svarer til vort D og benyttes til angivelse af tilvækster

9 Grafisk betydning af a Hvad angiver tallet a? Hældningskoefficienten a er forholdet mellem y-tilvækst y og x-tilvækst x Dvs. a er tilvæksten i y = f(x), når x-værdien vokser med  & a  Hvordan kan man indse, at ? Tag to tilfældige x-værdier x1 og x2. x2 = x1 + x Indsæt x1 og x2 i forskriften y = ax + b y1 = f(x1) = og ax1 + b y2 = f(x2) = ax2 + b = a(x1 + x) + b = ax1 + a x + b Bestem f = y y = y2 – y1 = a x  Eller se her

10 Grafisk betydning af b Hvad angiver tallet b?
b er værdien i 0 ”Startværdien” dvs. b = f(0) Hvordan kan man indse, at b = f(0)? Indsæt x = 0 i f(x) = ax + b f(0) = a0 + b  f(0) = b Hvilken viden giver det om linien, at b = f(0)? Linien går gennem punktet (0,b) – dvs. at b kan aflæses som 2.koordinaten til liniens skæringspunkt i et sædvanligt koordinatsystem

11 Tegning af grafen for en lineær funktion
y = f(x) = -2x + 3 b = 3 dvs. punktet ligger på linien (0,3) a = -2 , dvs. at man fra punktet (0,3) går 1 th og a = -2 op, dvs. 2 ned Der har man så et andet punkt på linien, som så kan tegnes. P Kontrol: fx f(2) = -2·2 + 2 = -2 P(2,-2) ligger på linien

12 Bestemmelse af forskrift v/aflæsn.
1 a: 1 th og a op eller 3 6a 6 th og 6a op dvs. at a = ½ 6 a Forskriften er altså 1 f(x) = ½x + 1 Kontrol: f.eks. f(4) = ½4 + 1 = 3 f.eks. f(4) = ½4 + 1 = 3

13 Bestemmelse af forskrift v/beregn.
ud fra to pkt. (x1,y1) og (x2,y2) og b = y2 + a∙? = y2 - a∙x2 Eksempel: f er en lineær funktion med f(2) = 3 og f(-2) = 5 Punkterne på linien er altså (2,3) og (-2,5) a = og b = 5 + 2∙a = 5 + 2∙(-½) = 4 Forskriften er altså f(x) = -½x + 4 Kontrol på det punkt, der ikke har været brugt til beregning af b f(2) = -½∙2 + 4 = = 3