Jörg ZellerFOL-modul31 Slutning: Logik som tænknings-model En hovedgrund for konstruktionen af et logisk sprog er at kunne give en præcis definition af begreber som slutning, gyldigt argument og bevis.slutningargument bevis Alle hunde elsker kødben og Orla er en hund. Derfor elsker Orla kødben. På den anden side vil samme sprogbruger måske synes at det følgende argument er fejlagtigt: Nogle hunde har lopper og Orla er en hund. Derfor må Orla have lopper. En bruger af et naturligt sprog vil sandsynligvis godkende følgende sætninger som logisk sammenhængende:

Jörg ZellerFOL-modul32 Slutningsregler (transformationsregler) Acceptable ræsonnementer kan opstilles i abstrakt form som slutningsregler. Fx kunne det første ovenfor fremsatte argument i FOL formuleres som nedenstående regel hvor H står for prædikatet ’hund’, og EKB for prædikatet ’elsker kødben’: slutningsregler  x(H(x)  EKB(x) H(ORLA1) ╞ EKB(ORLA1) Det skal læses på følgende måde: Hvis formel  x(H(x)  EKB(x) og formel H(ORLA1) er sande, så må også EKB(ORLA1) være sand. Symbolet ’╞’ svarer til natursproglige udtryk som derfor eller så følger deraf og lign.. Det symboliserer at den efterfølgende proposition er en konklusion af de to propositioner (præmisser) over stregen.

Jörg ZellerFOL-modul33 Slutningsregler forts. Slutningsregler handler dog i praksis ikke om bestemte prædikatsudtryk; de formuleres som skemaer hvor variabler af formen p, q, r, s står for vilkårlige propositioner, a, b, c står for vilkårlige termer og x, y, z står for genstandsvariabler. Tilføjes en indeks som i p x, så står variablen p for en vilkårlig proposition der indeholder individtermen x. På den baggrund vises der i Figur L.2 to af FOL’s slutningsregler som gør rede for argumentet i slide 31.

Jörg ZellerFOL-modul34 Figur L.2 Implikations-eliminerings Universal-eliminerings regel (modus ponens) regel [  -elim ]  -elim ] p  x p x p  q ╞ p a ╞ q

Jörg ZellerFOL-modul35 Slutningsregler, bevis Forskellige slutningsregler kan blive kombineret for at aflede konklusioner gennem konstruktion af et bevis. Et bevis består af et sæt præmisser og en følge af formler hvor hver eneste af disse formler er afledt af forudgående formler eller præmisserne vha. en eller anden slutnings- regel. Fx kan den simple formel om Orla som elsker kødben nu formalt begrundes vha. beviset i nedenstående figur L.3.

Jörg ZellerFOL-modul36 Figur L.3 trinformel begrundelse 1.  x(H(x)  EKB(x) præmis 2.H(ORLA1) præmis 3.H(ORLA1)  EKB(ORLA1)  -elim anvendt på trin 1.*, x substitueret med ORLA1** 4.EKB(ORLA1)  -elim på trin 2 og 3 *anvendelsen af slutningsregler på bestemte trin i et bevis vil fra nu af blive markeret ved reglens navn og tallet/tallene for de(t) trin reglen bliver anvendt på ** det bliver fra nu af udtrykt som x/ORLA1

Jörg ZellerFOL-modul37 Eliminerings- og introduktions-regler Generelt findes der to slags slutningsregler – eliminerings og introduktions regler – for hver logisk operator. De elimineringsregler tager udgangspunkt i en præmis, der indeholder en bestemt logisk operator, og ender med en konklusion der ikke indeholder denne operator. De introduktionsregler tager udgangspunkt i én eller flere præmisser der ikke indeholder en bestemt operator og ender med en konklusion der indeholder denne operator.

Jörg ZellerFOL-modul38 Negations-intro(duktions) regel, indirekte bevis Mens mange slutningsregler kan udtrykkes i den hidtil udviklet notationsform, kræver nogle andre en udvidelse af denne. Neg(ations)-introduktions reglen tager sig fx sådan ud: For at bevise  p, antag p er sand og bevis at det resulterer i en kontradiktion. Givet fx at du ved, at Anders ikke kan lide kødben (præmis1), og, forudsat at alle hunde kan lide kødben (præmis2), vil du gerne bevise at Anders ikke er en hund. Antag så at Anders er en hund (antagelse). Det berettiger dig til at konkludere (på grund af præmis2), at Anders kan lide kødben. Det modsiger så din oprindelige præmis1. Et bevis hvor man antager negationen af det man gerne vil bevise, kaldes også et indirekte bevis. (se Figur L.4)

Jörg ZellerFOL-modul39 Figur L.4 trinformelbegrundelse 1.  EKB(ANDERS)præmis 2.  x(H(x)  EKB(x))præmis 2.1H(ANDERS)antagelse for delbevis 2.2H(ANDERS)  EKB(ANDERS)  -elim 2 og EKB(ANDERS)  -elim 2.1 og  EKB(ANDERS)gentagelse fra trin 1 3.  H(ANDERS)  -intro regel, 2.1, 2.3, 2.4

Jörg ZellerFOL-modul310 Forklaring af beviset i Figur L.4 På trin 2.1 formuleres for det første antagelsen at den proposition man gerne vil bevise, ikke er sand. Præmisserne repræsenterer hvad man ved, og danner grundlaget for det man vil bevise. En antagelse (eng. assumption) i et bevis er noget man forsøgsvis fremsætter for at undersøge – i form af en delbevis – hvad der følger af denne antagelse på grundlag af præmisserne og eventuelt andre allerede beviste propositioner. For at gøre det tydeligt at det drejer sig om et delbevis (eng. subproof) indrykkes de trin på hvilke delbeviset foretages (trin ).

Jörg ZellerFOL-modul311 Forklaring af beviset i Figur L.4 forts. Da antagelsen i trin 2.1 fører – på grundlag af præmisserne – til en kontradiktion (proposition 2.3 og den gentagne præmis 1 på trin 2.4 – kan man (vha. negations-introduktionsreglen  -intro ) slutte at antagelsen må være falsk. Det fører på trin 3 til den konklusion (  H(ANDERS), man ønskede at bevise. trinformelbegrundelse 1.  EKB(ANDERS)præmis 2.  x(H(x)  EKB(x))præmis 2.1H(ANDERS)antagelse for delbevis 2.2H(ANDERS)  EKB(ANDERS)  -elim 2 og EKB(ANDERS)  -elim 2.1 og  EKB(ANDERS)gentagelse fra trin 1 3.  H(ANDERS)  -intro regel, 2.1, 2.3, 2.4

Jörg ZellerFOL-modul312 Flere slutningsregler Der findes flere slutningsregler hvor der anvendes delbeviser. Det gælder fx for implikations-intro-reglen (  -intro) og for universal- intro-reglen (  -intro). I forbindelse med den første skal man antage p og hvis man i delbeviset på grundlag af præmisserne kan aflede q, så kan man konkludere p  q. I Figur L.5 vises der flere introduktions- og eliminerings-regler.

Jörg ZellerFOL-modul313 Figur L.5  -intro  -elim pp  qp  q q ╞ p  q╞ p╞ q  -intro  -elim pp  qp  q  p  q ╞ p  q╞ q╞ p  -intro  - elim antag p  p afled q og  q  pp

Jörg ZellerFOL-modul314 Tautologier, teoremer, logiske love Givet et sæt slutningsregler så vil der findes et sæt formler der kan bevises uden præmisser. Disse formler kaldes tautologier eller teoremer og genspejler indre egenskaber i logikken selv. Et teorem af stor betydning er loven om det udelukkede tredje som påstår at hver proposition enten er sand eller falsk (den kan ikke være ”ubestemt”). Loven siger at hver formel med formen p   p må være sand. Et indirekte bevis af dette teorem er vist i Figur L.6.

Jörg ZellerFOL-modul315 Figur L.6 trinformel begrundelse 1.1  (p   p)antagelse 1.2.1pantagelse 1.2.2p   p  -intro,  (p   p)gentagelse,  p  -intro, 1.21 –  pantagelse 1.4.2p   p  -intro,  (p   p)gentagelse  p  -intro, p  -elim,  (p   p)  -intro, p   p  -elim, 2.

Jörg ZellerFOL-modul316 Logiske teoremer: De Morgan love kontradiktionsprincip To vigtige logiske teoremer er de såkaldte De Morgan love: 1.  (p  q)   p   q 2.  (p  q )   p   q Anvender man den første af disse love på loven om det udelukkede tredje, så viser det sig at p   p er ækvivalent med  (p   p). For at gøre det skal der bare substitueres  p for q. Da – som lige bevist i Figur L.6 – princippet om det udelukkede tredje er en tautologi eller en logisk lov, så må  (p   p) også være en tautologi eller logisk lov. Det kaldes kontradiktionsprincip og siger at ingen formel både kan være (samtidig og i samme sammenhæng) sand og falsk.

Jörg ZellerFOL-modul317 Øvelse 3.1 Med udgangspunkt i modelsituation2 - hvad kan du slutte af følgende præmis(ser) vha. slutningsreglerne: 1.GED(NATALIE)  RIDER_PÅ(MEURICE, NATALIE)) 2.a.  x((TILSTEDE(x)  BARN(x))  FRANSK(x)) b. TILSTEDE(KATHY)  BARN(KATHY) 3.a. BARN_AF(KATHY, PICASSO)  BARN_AF (KATHY, JACQUELINE) b.  BARN_AF(KATHY, PICASSO) 4.Kan du formalt (dvs. på grund af de propositionslogiske slutningsregler) bevise at  (p   p) er en tautologi (dvs. uden præmisser)? (Hjælp: prøv at bevise propositionen indirekte, dvs. ved at starte med antagelsen at negationen af den proposition der skal bevises er sand.)