Udsagn (propositioner)

Præsentationer af emnet: "Udsagn (propositioner)"— Præsentationens transcript:

1 Udsagn (propositioner)
Definition Et udsagn er en sætning, som enten er sand eller falsk. Eksempler a) “Jorden er en planet” b) “Månen er lavet af grøn ost” c) “Hvad er klokken?” d) “Din lærer er klog” sandt udsagn falsk udsagn ikke et udsagn ikke et udsagn (evt. en tautologi) FEN Udsagn/Seminar 1

2 Åbne udsagn Følgende er ikke udsagn: x2 < 4 a2 + b = 3
“Hun har aldrig været i fængsel” De har ikke en sandhedsværdi før x, a, b og “hun” har fået tildelt værdier fra passende grundmængder. x, a, b og ”hun” er frie variable. kaldes åbne udsagn FEN Udsagn/Seminar 1

3 Sammensatte udsagn – logiske operationer
Konjunktion (og) : A  B Disjunktion (eller) : A  B Negation (ikke) : ¬ A Implikation (medfører) : A  B (Martin skelner mellem: ‘→’ og ‘’, hvor ‘→’ anvendes mellem logiske variable, og ‘’ anvendes mellem udsagn. Ofte er det ikke nødvendigt at skelne.) Biimplikation (ensbetydende) : A  B Nogle gange bruges A ≡ B. (Martin skelner (som ved ‘’) mellem A ↔ B og A  B, men det har ikke stor praktisk betydning) FEN Udsagn/Seminar 1

4 Sandhedstabel A B A  B A  B ¬ A ¬ B A  B A  B s s s s f f s s
Det eneste underlige er implikationen A B A  B A  B ¬ A ¬ B A  B A  B s s s s f f s s s f f s f s f f f s f s s f s f f f f f s s s s FEN Udsagn/Seminar 1

5 Implikation A : Sønnen spiser ikke sin rosenkål
B : Faderen slår sønnen A  B : “Hvis du ikke spiser din rosenkål, så slår jeg dig!” A  B : “Hvis det er godt vejr, så ta’r vi i skoven!” A: ? B: ? FEN Udsagn/Seminar 1

6 Implikation Vigtig egenskab ved implikation: p  q ≡ (p)  q
Vis ved sandhedstabel. FEN Udsagn/Seminar 1

7 ”Sære” udsagn Tautologi: er altid sand: p  ¬ p true
Modstrid: er aldrig sand: p  ¬ p false Hvis p er en tautologi, så er ¬p en modstrid FEN Udsagn/Seminar 1

8 de Morgans love a) ( A  B )  (A  B) ( A  B )  (A  B)
(kendes muligvis fra Boolsk algebra) FEN Udsagn/Seminar 1

9 Bevis for de Morgan a) Sandhedstabel: A B AB (AB) A B AB
s s s f f f f s f f s f s s f s f s s f s f f f s s s s Da de to søjler er ens, gælder formlen QED FEN Udsagn/Seminar 1

10 Propositioner og mængder
Bemærk lighederne: konjunktion og fællesmængde disjunktion og foreningsmængde negation og komplementærmængde FEN Udsagn/Seminar 1

11 Regneregler – oversigt (jf. mængder)
Kan vises ved sandhedstabeller FEN Udsagn/Seminar 1

12 Øvelser Martin 1.1 Fra Martin 3rd Ed.: FEN Udsagn/Seminar 1