Jörg ZellerFOL-modul21 Propositioner: sammensatte (molekylære) Sammensatte (molekylære) propositioner (påstand) kan vha. af logiske operatorer (konnektiver) der svarer til konjunktioner (bindeord) i naturlige sprog, bygges af atomare.påstandkonnektiver Den mest simple af disse operatorer er negations-operatoren (skrevet  ) som svarer til bestemte negationsformer i naturlige sprog. F.eks. vil sætningen Henrik elsker ikke sin far se sådan ud i FOL:  ELSKER(HENRIK1, far(HENRIK1))

Jörg ZellerFOL-modul22 Konjunktion Andre logiske propositions-operatorer svarer til nogle (sætnings-) konjunktioner i naturlige sprog. F.eks. svarer bindeordet og i naturlige sprog til FOL’s konjunktions-operator (skrevet som  ) (se konjunktion).konjunktion Sætningen Henrik elsker sin far og ikke sin mor skrives i FOL: ELSKER(HENRIK1, far(HENRIK1))   ELSKER (HENRIK1,mor(HENRIK1))

Jörg ZellerFOL-modul23 Disjunktion, inklusive, eksklusive Bindeordet eller er flertydigt og svarer til to forskellige logiske operatorer. Den første kaldes disjunktion (skrevet  ) og svarer til en interpretation af sætningen Henrik elsker Ingrid eller Anne, hvor der regnes med muligheden at han elsker dem begge to. ELSKER(HENRIK1, INGRID2)  ELSKER(HENRIK1, ANNE1) Den anden operator kaldes det eksklusive eller (skrevet  ) og svarer til den interpretation der kun regner med at han elsker den ene eller den anden, men ikke dem begge (på samme tid). ELSKER(HENRIK1, INGRID2)  ELSKER(HENRIK1, ANNE1)

Jörg ZellerFOL-modul24 Implikation En vigtig logisk operator er implikations-operatoren, skrevet , der nogenlunde svarer til sprogets konjunktion hvis …så i sætninger som hvis Henrik ikke har penge, så kan han ikke købe bil  HAR (HENRIK1,PENGE)   KAN_KØBE(HENRIK1, BIL)

Jörg ZellerFOL-modul25 Ækvivalens Endelig svarer den logiske ækvivalens-operator (også kaldet bivalens-operator), skrevet , udtrykket hvis og kun hvis i naturlige sprog som i sætningen Henrik kommer til festen hvis og kun hvis Anne kommer. De to nævnte personer vil med andre ord enten begge to deltage i festen eller ingen af dem. KOMMER_TIL(HENRIK1, FEST)  KOMMER_TIL(ANNE5, FEST)

Jörg ZellerFOL-modul26 Variabler Det sidste udtryksmiddel i FOL, vi skal beskæftige os med, er den kvantificerede variabel. En variabel er i logikken et ubestemt udtryk af en bestemt udtrykstype (se glossar: variabel). Man bruger fx genstandsvariabler, prædikatsvariabler, propositionsvariabler.variabel

Jörg ZellerFOL-modul27 genstandsvariabler Genstandsvariabler er ubestemte genstandstegn og skrives som små bogstaver fra slutningen af alfabetet x, y, …. Genstandsvariabler i FOL svarer til natursproglige ubestemte stedord som nogen/noget, en/et eller anden/andet. Variabler bruges i FOL på samme måde – de har den samme syntaks – som de tilsvarende konstante udtryk. Vil man fx mhp. modelsituation1 udtrykke at nogle af situationens individer er mennesker, så skriver man MENNESKE(x)

Jörg ZellerFOL-modul28 propositionsvariabler Propositionsvariabler skrives med små bogstaver som p, q, r, … som repræsenterer ubestemte propositioner. Nogle gange bruges der også store bogstaver P, Q, … som metasproglige tegn, dvs. hvis der ikke skal siges noget om en situation, men om sproget der beskriver en eller anden situation - fx hvordan propositionstegn i FOL bliver brugt (jf. slide 29). Propositionsvariabler bruges i propositionslogikken (PL, jf. slide) for tydeligere at kunne vise strukturen (og dermed logikken) i sammensatte propositioner. PL-love skrives med propositions- variabler, fx De Morgans lov:  (p  q)   p   q

Jörg ZellerFOL-modul29 Propositionsformer, kvantorer FOL-udtryk der indeholder variabler har ingen bestemt mening. Udtrykket MENNESKE(x) brugt med henblik på modelsituation1 siger ikke noget om hvem eller hvad der påstås at være et menneske i denne situation. Propositionen er altså hverken sand eller falsk. Propositionslignende udtryk der indeholder variabler bliver derfor kaldet propositionsformer. Man kan dog bruge propositionsformer i forbindelse med operatorer, kaldet kvantorer, der forvandler dem til propositioner. Vha. af en sådan operator kan man fx i FOL udtrykke hvad der svarer til den natursproglige sætning der findes nogle mennesker (i modelsituation1) eller alle (genstande i modelsituation1) er mennesker.

Jörg ZellerFOL-modul210 Eksistenskvantor Der bliver altså to nye operatorer introduceret for at fastlægge den måde hvordan genstandsvariabler skal interpreteres på. Eksistenskvantoren, skrevet , bliver brugt i forbindelse med variabler for at udtrykke propositioner som der findes (mindst) en kvinde som elsker Henrik. Det kunne repræsenteres i FOL ved følgende formel:  x(KVINDE(x)  ELSKER(x, HENRIK1))

Jörg ZellerFOL-modul211 Universel kvantor Den universelle kvantor (også al-kvantor, se kvantor), skrevet , bliver anvendt på variabler i sætninger som alle kvinder elsker Henrik. Det bliver i FOL repræsenteret somkvantor  y (KVINDE(y)  ELSKER(y, HENRIK1))

Jörg ZellerFOL-modul212 Parenteser og operatorers rækkevidde Da logiske operatorer kan blive indlejret i hinanden, kan der opstå flertydigheder i formler afhængigt af hvilken operator der optræder i rækkevidden (gyldighedsområde, eng. scope) af hvilken anden operator. F.eks. kunne formelen  P  Q læses som konjunktion af to formler (  P  Q) eller som negation af formelen P  Q, dvs. som  (P  Q). For at undgå denne mulige tvetydighed anvender man konventionen at negationsoperatoren altid er forbundet med den mindst mulige rækkevidde. Skal den anvendes på et større gyldighedsområde så skal der bruges parenteser som sket ovenfor med formelen  (P  Q).

Jörg ZellerFOL-modul213 Parenteser og kvantorers rækkevidde Samme flertydighed som med konnektivernes rækkevidde kan opstå med kvantorernes. Også her bruger man parenteser for at eliminere flertydigheden. Tag fx den natursproglige sætning enhver pige elsker et eller andet husdyr. Oversætter man til FOL, så vil det se sådan ud:  x (PIGE(x)   y (HUSDYR(y)  ELSKER( x,y)))

Jörg ZellerFOL-modul214 FOL-vokabular syntaktisk funktioneksempel Term/genstandstegn a.(individ)konstantHENRIK1, ANNA2 b.(individ)variabelx, y, z, …; x1, x2, … c.funktionfar(ANNA2), bror(VIBEKE) Prædikat/begrebstegn a.egenskab, genstandstypeHVID(…), TERMOKANDE(…) b.relationSØSTER(…, …), MELLEM(…,…,…) Proposition/sætningstegn Propositionsvariablerp, q, r, …, p1, p2, …

Jörg ZellerFOL-modul215 FOL-vokabular forts. Syntaktisk funktioneksempel Konnektiv/propositionsoperator Negation  p Konjunktion p  q Disjunktionp  q Implikationp  q Ækvivalensp  q Kvantor Eksistenskvantor  x … Universal-/al-kvantor  x … Parenteser/interpunktionstegn( )

Jörg ZellerFOL-modul216 FOL-syntaksregler (formationsregler) De logiske syntaksregler angiver hvordan man anvender det logiske sprogs vokabular for at danne korrekte (også kaldt velformede) udtryk af dette sprog. Omdrejningspunktet for disse regler er begrebet velformet formel (forkortet: vff, se glossar). FOL-regler for dannelsen af vff’s i FOL ser således ud:velformet formel 1.Hvis , , … er en (konstant eller variabel) term og P er et prædikatstegn, så er P(  ), P( ,  ), P( , , …, ) vff’s. 2.Hvis p, q, … er propositionstegn og , , , ,  er propositionsoperatorer, så er  p, p  q, p  q, p  q, p  q vff’s. 3.Hvis p er et propositionstegn med x som fri variabel og  x,  x er kvantorer, så er  x p og  x p vff’s.

Jörg ZellerFOL-modul217 Oversættelse fra et naturligt sprog til FOL Natursprogligt udtrykFOL-udtryk HenrikHENRIK1 Henriks farfar(HENRIK1) Henrik elsker sin farELSKER(HENRIK1, far(HENRIK1)) Henrik elsker ikke sin søster  ELSKER(HENRIK1, søster(HENRIK1)) Henrik er klog eller en flot fyrKLOG(HENRIK1)  FLOT_FYR(HENRIK1) Henrik er enten klog eller en flot fyrKLOG(HENRIK1)  FLOT_FYR(HENRIK1) Henrik er både klog og flotKLOG(HENRIK1)  FLOT(HENRIK1) Hvis Anna tænker logisk så erTÆNKER_LOGISK(ANNA3)  KLOG(ANNA3) hun klog Henrik går til fest hvis og kun GÅR_TIL(HENRIK1, FEST4)  hvis Gitte går GÅR_TIL(GITTE8, FEST4) Danmark har en hovedstad  y HOVEDSTAD(y, DANMARK) Alle lande har en hovedstad  x(LAND(x)   y(HOVEDSTAD(y, x)))

Jörg ZellerFOL-modul218 Øvelse 2.1 Oversat følgende danske sætninger til FOL: 1.Picasso er en mand og Jacqueline er Picassos kone. 2.Hvis Meurice ikke holdes fast, så falder han ned fra geden. 3.Ikke alle børn er Picassos børn. 4.Et barn er hverken Picassos eller Jacquelines barn. 5.Der findes to personer med sandaler på. 6.Picasso er en gammel mand eller han er maler. 7.Meurice morer sig hvis og kun hvis Paloma morer sig. 8.Solen skinner ikke eller er ikke stået op endnu. 9.Paloma er Picassos datter, men ikke Kathys søster. 10.Alle personer er enten af hankøn eller af hunkøn, men ikke begge dele.

Jörg ZellerFOL-modul219 Øvelse 2.2 Oversat følgende FOL-udtryk til dansk: 1.  x(HAR_PÅ(x, SANDALER)  HANKØN(x)) 2.  y(GED(y)  SIDDER_PÅ(MEURICE, y)) 3.KONE(JACQUELINE, PICASSO)  MAND(PICASSO, JACQUELINE) 4.HEDDER(bror(PALOMA), CLAUDE)  SØN(CLAUDE, PICASSO) 5.  x(MENNESKE(x)  BESLÆGTET(x, MEURICE)) 6.  x((PERSON(x)  HAR_PÅ(x, HÅRBÅND))   y(HAVEBÆNK(y)  BAGVED(y, x))) 7.(KIKKER_PÅ(CLAUDE, GED)  KIKKER_PÅ(PALOMA, GED))   x(BARN(x, PICASSO)  KIKKER_PÅ(x, GED)) 8.  x((BARN(x)  GLAD(x))  BARN(PICASSO))  GLAD(PICASSO)