Andengradspolynomier - Matematik A

Graf og forskrift En andengradspolynomium: Er en funktion som kan beskrives med en forskrift. - En andengradsfunktion med forskriften: y = f(x) = ax2 + bx + c = a ≠ 0 Grafen og det grafiske billede for en andengradspolynomiet kaldes en parabel. - Mens de reelle tal a, b og c kaldes for polynomiets koefficienter.

Nulpunkter Nulpunkter for f(x) = ax2 + bx + c. Ligningen ax2 + bx + c = 0 har løsningerne x = (-b±√d)/2a 1. Hvis d < 0 er der ingen løsninger 2. Hvis d = 0 er der en løsning. 3. Hvis d > 0 er der 2 løsninger

Bevis for nulpunkter Sætning fra Mat C, s. 142 Trin i beviset Forklaring ax 2 +bx+c=0 Gang med 4a på begge sider af lighedstegnet   4a∙( ax 2 +bx+c)=4a∙0 Parentesens opløses. Man ganger 4a ind i hvert led i parentesen. 4a∙ ax 2 +4a∙bx+4a∙c=4a∙0 Man sætter tallene sammen, og reducer. 4 a 2 x 2 +4abx+4ac=0 Træk 4ac fra på begge sider af lighedstegnet 4a2x2 + 4abx = -4ac Fordi man har en fælles eksponent, kan man bruge regnereglen om potenser på side 44. P3 = Man ganger to potenser med samme eksponent ved at gange grundtallene og beholde eksponenten. (2ax) 2 +4abx=−4ac Læg b2 til på begge sider af lighedstegnet. (2ax) 2 +4abx + b 2 = b 2 −4ac 𝟐𝒂𝒙+𝒃 𝟐 = 2𝑎𝑥+𝑏 ∙ 2𝑎𝑥+𝑏 = (2𝑎𝑥) 2 +2𝑎𝑥∙𝑏+𝑏∙2𝑎𝑥+ 𝑏 2 = (𝟐𝒂𝒙) 𝟐 +𝟒𝒂𝒃𝒙+ 𝒃 𝟐 2𝑎𝑥+𝑏 2 = b 2 −4ac Sæt 𝑑= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 (2ax + b) 2 = d Antag at d ikke er negativ. Tag kvadratroden af udtrykket på begge sider af lighedstegnet. 2ax – b = ± 𝑑 Træk b fra på begge sider af lighedstegnet. 2𝑎𝑥=−𝑏± 𝑑 Man dividerer med 2a på begge sider. 𝑥= −𝑏± 𝑑 2𝑎 SLUT Bevis for nulpunkter Sætning fra Mat C, s. 142 Nulpunkter for f(x) = ax2 + bx + c: Ligningen ax2 + bx + c = 0 har løsningerne x=(-b±√d)/2a, hvor d=b^2-4ac. Dvs. - hvis d < 0 er der ingen løsning - hvis d = 0 er der netop én løsning - hvis d > 0 er der netop to løsninger.

Eksempel på beregning Mit eksempel er ligningen: 2x2 + 9x + 4 = 0 a = 2 b = 9 c= 4 Diskriminanten: for f(x) = 2x2 + 9x + 4 = 0 d = b2 – 4ac = 92 – 4 * 2 * 4 = 49 x = (-b ± √d)/2a x = (-9 ± √49)/(2*2) = (-0,5, -4)