Matematikforløb med fokus på

Præsentationer af emnet: "Matematikforløb med fokus på"— Præsentationens transcript:

1 Matematikforløb med fokus på
 € © Matematikforløb med fokus på Symbolbehandlingskompetencen Varighed: 1 uge (47/48/49) Arbejdsformer: Fælles oplæg + gruppearbejde + differentieret individuelt arbejde Stofområder: Variabel/konstant, ligninger, funktioner Afslutningsopgave: Formuler en problemstilling inden for emnet ”Transport”, som kan løses/belyses vha. funktioner og/eller ligningssystemer . Lav en video der demonstrerer problemstillingen og dens løsning.

2 Matematiske kompetencer
Problembehandlingskompetence Modelleringskompetence Symbolbehandlingskompetence Kompetencen består på disse trin dels i at kunne afkode symbol- og formelsprog, i at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolholdigt matematisk sprog og naturligt sprog, og i at kunne behandle og betjene sig af symbolholdige udsagn og udtryk, herunder formler. Dels i at vide, at et matematisk system er bygget på begrebslig og logisk sammenhæng, bl.a. hvilende på ræsonnement og beviser. Ræsonnementskompetence Kommunikationskompetence Tankegangskompetence Hjælpemiddelkompetence Repræsentationskompetence Stofområder: Tal og algebra Geometri Funktioner Statistik Kombinatorik Sandsynlighed

3 Mål for arbejdet med funktioner og ligninger
Uge på Gentofte Ungdomsskole Definere en funktion – og kende forskel på formel, funktion og ligning samt på variabel og konstant Lineær funktion: - genkende en lineær funktion ud fra forskriften, afbilde den grafisk og kunne finde funktionsforskriften ud fra et grafisk billede - kende betydningen af ligefrem proportionalitet - at kunne løse et ligningssystem (to ligninger med to ubekendte) såvel ved beregning som ved grafisk afbildning Andengradsfunktionen: - genkende andengradsfunktionen og afbilde den grafisk - løse en andengradsligning ved beregning og ved grafisk løsning - beregne toppunkt og kende betydningen af konstanterne i andengradsfunktion Hyperbelfunktionen: - genkende hyperbelfunktionen og afbilde den grafisk - kende betydningen af omvendt proportionalitet Vækstfunktioner: - genkende vækstfunktioner og afbilde dem grafisk - at kende vækstformlen Og VIGTIGST: at kunne anvende funktioner, formler og ligninger i dagligdags situationer

4 Vælg selv om du vil følge de
grønne, blå, røde eller sorte løjper. Du kan også prøve lidt af hvert. Du skal dog fra hver side løse mindst to opgaver med samme farve. De gule opgaver er opvarmnings/træningsopgaver som skal løses af alle – i grupper/individuelt Skriftlig aflevering efter forløb 3: Besvarelse af alle gule opgaver Besvarelse af mindst to opgaver med samme farve fra siderne 6, 7, 9, og 11 Besvarelse af alle opgaver side 12 Besvarelse af afgangsprøveopgaverne side 14 og 15 samt de to opgaver side 16 Opgaverne skal afleveres elektronisk mandag den 3.dec. Afslutningsopgave: (færdiggøres og vises fredag den 23. nov.) 1) Vælg en problemstilling inden for emnet ”Transport” som kan belyses/løses vha. funktioner. 2) Fremstil en video hvor problemstillingen og løsningen af den vises.

5 s+r / r+s = 1 f) s – r / r – s < 0
Afkodning I en judoklub for børn er der D drenge, P piger, T trænere og L ledere. Hvad betyder følgende formler? D = P T < L D =2P d) P = D + 10 e) T >0 f) D + P >T + L g) D+P+T+L=110 h) ½(D + P) = 45 Behandle Afgør om følgende påstande er sande eller falske. Du ved at r og s begge er positive tal, og at s er større end r. r − s > 0 b) s + r > s c) s + r > 1 d) r/s > 1 s+r / r+s = 1 f) s – r / r – s < 0 g) s – r / s < 1 h) s + r / s > 1 Hvad kan være variable og hvad er konstanter i flg. udtryk: I hvilke af udtrykkene er de variable afhængige af hinanden? 2 + a b) 4x + 2 – 3y 5 +  a d) Areal = 3 * længden 24 = bredde * længde A = b * l g) Arealet = højde * 4/2 12 = højden * grundlinjen / 2 A = h * g / 2 O = 2*  * r 3x2 -2y = x + 6 l) y = ax + b Oversætte Find det tal der opfylder flg.: Man trækker én fra det dobbelte af tallet, og lægger tre til, og får det samme som hvis man lagde to til det tal, som er én mindre end det tredobbelte af tallet.

6 Beregn arealet af figur BPN
Grøn 1 Skriv funktionsforskrift for de fire linjer Hvad er hældningstallet for den gule linje linje Beregn arealet af figur ADPT Parallelforskyd den gule linje så den bliver en ligefrem proportionalitet. Hvad er funktionsforskriften for den nye linje Sort 1 Blå 1 Rød 1 Skriv funktionsforskrift for de fire linjer Hvad er hældningstallet for den røde linje Beregn skæringspunktet mellem den røde og den blå linje Skriv funktionsforskrift for de fire linjer Hvad er hældningstallet for den grønne linje Beregn skæringspunktet mellem den gule og den blå linje Grøn 2 Beregn arealet af figur ABN Blå 2 Beregn arealet af figur BPN Sort 2 Skriv funktionsforskrift for de fire linjer Hvad er hældningstallet for den blå linje Beregn skæringspunktet mellem den røde og den grønne linje Rød 2 Beregn arealet af figur ADPT

7 70 m2 større end det oprindelige areal.
Løs ligningssystemerne både ved beregning og ved grafisk løsning. Hvor mange løsninger er der? y = 2x2 + x -17  y = x – 9 Y = ½x2 -2x +3  y + 3 = ½x (x-2) Sort 3 Sort 3 Løs ligningssystemerne ved beregning og tjek resultatet ved grafisk løsning: y = -x + 1  y = ¼ x – 1½ y = 2x + 3  y = -2x -1 grøn 3 Rød 3 Omform og løs ligningssystemerne ved beregning og tjek resultatet ved grafisk løsning: 3y + x = 9  y - 5x = -13 3y = 4x +33  2x – 6y +12 = 0 Omform og løs ligningssystemerne ved beregning og tjek resultatet ved grafisk løsning: x + 2y = 5  11x + 6y = 3 x – 3y = -10  -2x + y = 10 Blå 3 Grøn 4 Jens siger: “Jeg har lige så mange brødre som søstre“. Hans søster siger: “Og jeg har dobbelt så mange brødre som søstre“. Hvor mange piger og drenge er der i familien? Blå 4 Rød 4 I et firma var der både mænd og kvinder blandt de 168 ansatte. En ansat skulle holde jubilæum, og der blev sat en indsamling i gang. Halvdelen af kvinderne gav hver 10 kr., og en tredjedel af mændene gav hver 15 kr. Hvor meget kunne gaven komme til at koste? 25 rør med længder på 5m og 8m blev lagt over en strækning på 155m. Hvor mange rør blev der lagt af samme slags? Et rektangel er 10 m længere end det er bredt. Hvis man afkorter længden med 5 m og øger bredden med 6 m, får man et rektangel hvis areal er 70 m2 større end det oprindelige areal. Hvor langt og bredt er det oprindelige rektangel? Sort 4

8 y= b*ax y= ax Vækstformlen: Kn = K0 * ( 1 + p)n
En bank giver 2,7% i rente på en anfordringskonto. Skriv formlen for udregning af Kn for denne type konto Afgør hvilke dele af formlen der er konstante og hvilke der er variable En person sætter kr. ind på denne type konto. Skriv formlen for udregning af Kn. Afgør hvilke dele af formlen der nu er konstante og hvilke der er variable Hvor lang tid går der før de kr. er vokset til kr. Eksponentiel vækstfunktion: y= b*ax a  0, b  0 X  R a  1 negativ vækst a  1 positiv vækst a = 1 ingen vækst Eksponentialfunktion (er en simpel vækstfunktion) y= ax dvs. b=1

9 Afbild funktionerne i Geogebra: y=2x y= 3x y=1x y=xx
Rød 5 Blå 5 Hvad er bedst? En kapital på: 100 kr. til 10% p.a., 50 kr. til 20% p.a. eller 25 kr. til 40% p.a. Afbild de tre muligheder i et koordinatsystem Aflæs, hvilken af de tre muligheder, der er bedst på kort sigt og hvilken, der er bedst på lang sigt. To kapitaler hver på 1000 kr. forrentes begge med 5% p.a. den ene med halvårlig den anden med helårlig rentetilskrivning. Afbild de to muligheder i et koordinatsystem og find forskellen på de to kapitaler efter: 5 år, 10 år, 20 år, 30 år Grøn 5 Afbild funktionerne i Geogebra: y=2x y= 3x y=1x y=xx Definer Værdimængden Vm(f) når Dm(f) = R+ Definer Værdimængden Vm(f) når Dm(f) = R- En bakteriekultur forøges med 10% i timen. Efter 15 timer bevirker et giftstof, at væksten standses, og derefter formindskes bakteriekulturen med 40% i timen. Hvor mange timer går der (ca.) før end antallet af bakterier er nede på det oprindelige niveau? Hvor lang tid går der, før end bakteriekulturen er udryddet? Tegn forløbet i et koordinatsystem (Geogebra) Sort 5 Sort 6 Grøn 6 Blå 6 Rød 6 Et rektangel har længden 10 cm og bredden 5 cm Find omkredsen og arealet Alle 4 sider forøges med 20%. Hvor mange procent blev omkredsen forøget med? Hvor mange procent blev arealet forøget med? Omkredsen af et kvadrat forøges med 10% Hvor mange procent forøges sidelængden med? Hvor mange procent forøges en diagonal med Hvor mange procent forøges arealet med? En cirkels radius forøges med 10% Hvor mange procent forøges diameteren med? Hvor mange procent forøges omkredsen med? Hvor mange procent forøges arealet med? Kantlængden i en terning forøges med 10% Hvor mange procent forøges den samlede overflade med? Hvor mange procent forøges rumfanget med?

10 y = ax2 + bx + c Andengradsfunktionen 
Forskriften for en andengradsfunktion Fx: y = -3x2 + 2x (a= -3, b= 2, c= 5) y = -x2 + ½x (a = -1, b= ½, c =-3) y = 7x2 – x (a = 7, b = -1, c = 0) y = x (s = 1, b = 0, c = 0) Tegn de fire funktioner ind i geogebra. Giv dem hver sin farve, så det er nemt at skelne dem fra hinanden. Diskuter og besvar flg.: Hvilken betydning har a, b og c for grafens udseende/beliggenhed Hvilke af parablerne har en mindsteværdi og hvilke har en størsteværdi? Hvilken talmængde kan a, b og c tilhøre? Hvor mange skæringspunkter har hver af de fire parabler med x-aksen? Hvorfor er der et billede af en kanon og en kuglestøder på denne side?

11 Find grafernes indbyrdes skæringspunkterne
Tegn disse tre funktioner i et koordinatsystem (i geogebra) y = x2 + 2x + 3 y = -2x2 +2x + 6 y = 4x – 3 Opgave: Find grafernes indbyrdes skæringspunkterne Find deres nulpunkter (skæring med x-aksen) Find toppunkt for de to parabler Skriv forskriften for de to parablers symmetriakse Lav en beregning der bekræfter to af skæringspunkterne (fra opg. 1) To parabler har ligningerne: y=-2x2 y=2x2+3 Find et evt. maximums- og minimumspunkt for de to parabler I hvilke intervaller på x-aksen er de voksende og i hvilke er de aftagende? Parablerne spejles i x-aksen. Skriv de formler, der fremkommer for de nye parabler Sort 7 Grøn 7 8 Hvor skærer disse parabler x-aksen og y-aksen: y=x2-2x-3 b) y=3x2-6x-45 y=x2-2x+3 d) y=-½x2-3½x-5 e) y=x2-10 f) y=x2-4x-4 Sort 8 Grøn 8 Lav en forskrift for en genstands faldlængde som funktion af dens faldtid. Du skal bruge tyngdeaccelerationen g som er 9,81m/s2 og formlen t =  2h/g Skriv en funktionsforskrift for sammenhængen mellem en cirkels radius og dens areal. Tegn det grafiske billede af funktionen i geogebra Blå 7 Tegn disse tre funktioner i et koordinatsystem (i geogebra): x= -2 y = -2x2 c) y= 2x2+3 Opgave: Aflæs skæringspunkterne ml linjen og de to parabler Aflæs parablernes toppunkter Skriv forskriften for parablernes symmetriakser Blå 8 Rød 8

12 Alle løser alle 6 ligninger
Andengradsligning Ligning: ax2 +bx +c = 0 Alle løser alle 6 ligninger Opgave 1: Løs ligningen 2x2 – 10x +8 = 0 og beregn toppunktet Opgave 2: Løs ligningen –x2 – 6x – 8 =0 Og beregn toppunktet Opgave 3: Løs ligningen x2 +10x +26 = 0 Opgave 4: Løs ligningen x2 -14x + 49 = 0 Opgave 5: Løs ligningen x = -x2 - 9 Opgave 6: Løs ligningen x -x2 = 5 Diskriminanten D = b2 – 4ac D  0, ligningen har to rødder D  0, ligningen har ingen rødder D = 0, ligningen har 1 rod Løsning: Toppunkt:

13 Omvendt proportionalitet - hyperbelfunktionen
Sammenhængen mellem afstand, tid og hastighed kan udtrykkes ved formlen: hastighed = afstand/tid v= a/t Hvis afstanden er kendt (en konstant) vil det være omvendt proportionalitet. (jo større t er, jo mindre er v) En hyperbel kan også have formen: Der er så ikke tale om omvendt proportionalitet Opgave: Find mindst fire andre sammenhænge hvor der er tale om omvendt proportionalitet. Skriv dem som funktionsforskrift. Hvad er konstant, hvad er afhængig variabel, hvad er uafhængig variabel. Vælg en af dem og indtegn i et koordinatsystem for forskellige værdier af konstanten i funktionen. Er der asymptoter Man kan beskrive en hyperbel ved at angive: symmetrilinjer og deres skæringspunkt skæring med akserne for hvilke værdier hyperblen ikke er defineret Beskriv hyperblerne:

14 Sammenhæng mellem isens tykkelse i cm og dens bæreevne i kg/cm2
Isens tykkelse i cm 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Isens bæreevne i kg/cm2

15

16 En badmintonklub har flg. medlemspriser:
Børne- og ungdomsspillere (til og med 16 år): Voksne (17 år og derover): Tilmeldingsgebyr: 100 kr.. Tilmeldingsgebyr: 200 kr.. Pr måned i 9 mdr.: kr.. Pr måned i 9 mdr.: 125 kr.. Hvilke to regneudtryk kan bruges til at beregne klubbens årlige medlemsindtægter? I = ( )*x + ( )*y b) I = (75*x + 100)*9 + (125*y + 200)*9 I = 75*x* *x + 125*y* *y d) I = (75* )*x + (125*9 +200)*y I = 75* *x + 125* *y f) I = 300 *xy + 200*9*xy Skyer kan kun give regn, hvis de indeholder iskrystaller. Luftens temperatur er afhængig af dens højde over havoverfladen. Indtil den endnu ikke er fortættet til vanddråber, gælder formlen: t= -0,01*h + 15 h = højden over havoverfladen målt i m t = temperaturen målt i grader Hvad udtrykker tallet 15 i formlen Tegn t(h) i et koordinatsystem (Geogebra)