Differentialregning og Funktionsundersøgelse

Hvad kan I nu I kan finde en funktions differentialkvotient vha. 3 trins reglen Find funktionstilvæksten Δy = f(x + h) – f(x) Find differenskvotienten Differenskvotienten er hældningskoefficienten til den sekant, der går gennem punkterne (x; f(x)) og (x + h; f(x + h) 3. Find differentialkvotienten, der er hældningskoefficienten til tangenten i punktet (x, f(x))

Et eksempel på 3 trins reglen Funktionen Funktionstilvæksten: Differenskvotienten: Differentialkvotienten:

I kender forskel mellem differentialkvotienten og den første afledede Differentialkvotienten er som sagt hældningskoefficienten til tangenten til grafen i punktet (x0; f(x0)) og dermed et tal. Den første afledede f´(x) er en funktion, der beskriver, hvordan hældningskoefficienten til tangenten varierer som funktion af x.

I kan bruge tabellen til at differentierer en funktion f(x) k ax + b ax2+bx+c xa ex ekx ln(x) ax f´(x) a 2ax+b axa-1 kekx axln(a) Eksemplificeret: f(x) 7 -2x + 8 4x2+3x+28 x4 ex e5x 5x f´(x) -2 8x +3 4x3 5e5x 5xln(5)

I kender og kan bruge regnereglerne for differentiation Regneregel 1: Regneregel 2: Regneregel 3: Regneregel 4: Regneregel 6:

I kan finde ligningen for tangenten til grafen i et bestemt punkt Tangentens ligning: Et eksempel: find tangentens ligning i punktet (2, f(2)) til grafen for funktionen Den første afledede er: Funktionsværdien for x = 2: f(2)= 4 Hældningskoefficienten til tangenten i x = 2: f´(2)= 6

I kan undersøge og redegøre for en funktions monotoniforhold Når monotoniforholdet skal beskrives, skal I redegøre for, i hvilke intervaller en funktion er voksende, og i hvilke intervaller en funktion er aftagende. For at kunne beskrive en funktions monotoniforhold, differentieres funktionen og den første aflede opskrives f´(x). Derefter sættes f´(x) = 0, monotoniforholdsskemaet tegnes, husk at indsætte evt. x-værdier der ikke er defineret. På baggrund af skemaet skrives ”stilen” 

I kan undersøge og redegøre for en funktions ekstremumspunkter og/eller vendetangenter Der kan eksistere ekstremumspunkter, når der er vandret tangent, dvs. at f´(x) = 0. Brug monotoniforholdsskemaet til at finde ud af om det er et maksimumspunkt, et minimumspunkt eller en vendetangent. Maksimumspunkt ved ” + 0 –” Minimumspunkt ved ”- 0 +” Vendetangent ved ”+ 0 +” eller ” - 0 -” På baggrund af dette skrives ”endnu en stil” 

Ud over alt dette skulle I gerne kunne Angive en funktions definitionsmængde Dm(f) Angive en funktions værdimængde Vm(f) Angive en funktions nulpunkter ved at løse ligningen f(x) = 0, og finde funktionsværdien når x = 0. Disse punkter er skæringerne med koordinatakserne. Løse ligningen f(x) = k eller uligheden f(x) > g(x) eller f(x) < k