Differentiation af simple funktioner og regneregler

Præsentationer af emnet: "Differentiation af simple funktioner og regneregler"— Præsentationens transcript:

1 Differentiation af simple funktioner og regneregler
Differentialregning Differentiation af simple funktioner og regneregler

2 Definitioner Definition f er kontinuert i x0  Definition
f er differentiabel i x0  = Definition: En funktion f siges at være kontinuert i et punkt x0, hvis den har en grænseværdi for x gående mod x0. Denne grænseværdi har samme tal som funktionsværdien f(x0): ”Lim [for xx0] f(x) = f(x)0…” En funktion f siges at være kontinuert i et interval, hvis den er kontinuert i ethvert punkter i intervallet. En funktion er differentiabel, hvis dens graf er glat og sammenhængende (dvs. uden huller, knæk, spring eller spidser). ((+ Sagt på en anden måde: en funktion er differentiabel, hvis dens graf har en tangent i alle punkter.)) En funktion er differentiabel i x0, hvis grafen har en tangent i et punkt P med x-værdien x0, dvs. P(x0,f(x0)). En funktion f siges at være differentiabel i et tal x0 , hvis differentialkvotienten (as) har en grænseværdi for h (normalt Δx) gående mod 0. Denne grænseværdi kaldes funktionens differentialkvotient i x0 og betegnes med f’(x0) eller dy/dx Figur: (næste side) ______________________________ f’(x) = differentialkvotient as = differenskvotient = sekantens hældning Sekant = En linje, der skærer grafen i to punkter lim ….: f(x0+h) = y2 f(x0) = y1 (x0+h) = x2 x0 = x1 x2-x1 = (x0+h)-x0 = h

3 f er differentiabel i x0  =
Definition f er differentiabel i x0  = Δy h x0 f(x0) f(x0+ h) f(x)=x2 (x0+ h , f(x0+ h)) Tangentligning: y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0) Figur: På figuren har jeg tegnet grafen for f. Differenskvotienten er hældning for sekanten igennem punkterne (x0,f(x0)) og (x0+h),f(x0+h). Når h går mod 0, går sekanten mod tangenten i x0, som har hældningen f’(x0). Tangenten til grafen for f i punktet (x0,f(x0)) er grænselinjen for sekanterne, dvs. linjen med ligningen : y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0) ______________________________ f’(x) = differentialkvotient as = differenskvotient = sekantens hældning Sekant = En linje, der skærer grafen i to punkter lim ….: f(x0+h) = y2 f(x0) = y1 (x0+h) = x2 x0 = x1 x2-x1 = (x0+h)-x0 = h

4 Regneregler (kf)'(x) (f + g)'(x) (f - g)'(x) (f  g)'(x)
Regneregler for, hvordan man differentierer produktet af en konstant og en funktion samt hhv. summen, differensen, produktet og kvotienten/brøken af to funktioner f og g.

5 Bevis for (kf)'(x) = Bevis for (kf)'(x), hvor k er en konstant.
2. limes: (x+h) – x svarer til Δx, fordi (x+h)=x2 og x=x1 Altså k*f i x tilhører Dm(k*f) med (k*f)’(x)= k*f’(x)) ”En konstant, der er ganget på, følger bare med, når man differentierer” (differentieres altså ikke/sættes blot ”udenfor”)

6 Bevis for ”Man differentierer en sum eller differens ved at differentiere hvert led for sig”

7 Bevis for (fg)'(x) Altså er f*g differentiabel i Dm(f)  Dm(g) med (f*g)’(x)=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x) Et produkt differentieret er den ene differentieret ganget med den anden og omvendt” Sidste skridt: Brug første definition vedrørende kontinuitet.

8 Bevis for Def. på g’ Def. på f’ Uafhængig af h Fortsættes

9 Altså er f/g differentiabel i x  Dm(f/g) med ’(x) = f/g’(x) = (f’(x)
Altså er f/g differentiabel i x  Dm(f/g) med ’(x) = f/g’(x) = (f’(x)*-f(x)*g’(x))/g^2(x)