Differentalkvotient af cos(x) og sin(x) og tan(x)

1 Først en introduktion af de trigonometiske funktioner. Graferne monotoniforhold periodicitet osv….

sin(x) er differentiabel med sin’(x) = cos(x) 2 Herefter differentialkvotient. Sætning 1: sin(x) er differentiabel med sin’(x) = cos(x) Sætning 2: cos(x) er differentiabel med cos’(x) =-sin(x) Sætning 3: tan(x) er differentiabel med tan’(x) = 1+tan(x)2

sin(x) er differentiabel med sin’(x) = cos(x) 3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Sætning 1: sin(x) er differentiabel med sin’(x) = cos(x)

sin(x) er differentiabel med sin’(x) = cos(x) 3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Sætning 1: sin(x) er differentiabel med sin’(x) = cos(x) Bevis: Vi bruger som altid i differentialregningsbeviser tretrinsreglen (side 71 i Vejen til Matematik A2): Trin1: Først opskrives differenskvotienten (som er sekanthældningskoefficienten) Trin2: Herefter omskrives denne til trin3 er muligt Trin3: lad gå mod 0. Funktionen er differentiabel hvis grænseværdien findes og grænseværdien er differentialkvotienten

3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Trin1: Først opskrives differenskvotienten (som er sekanthældningskoefficienten):

3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Trin1: Først opskrives differenskvotienten (som er sekanthældningskoefficienten): Trin 2: Nu bruges en additionsformel for sinus. (Den bevises til sidst, hvis der er tid til det) Additionsformel: sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Trin1: Først opskrives differenskvotienten (som er sekanthældningskoefficienten): Trin 2: Nu bruges en additionsformel for sinus. (Den bevises til sidst, hvis der er tid til det) Der udføres et par omskrivninger før vi er klar til trin 3: Additionsformel: sin(a+b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)

3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Trin3: Vi lader nu x gå mod 0 (svarende til at lade sekanterne nærme sig tangenten…)

3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Trin3: Vi lader nu x gå mod 0 (svarende til at lade sekanterne nærme sig tangenten…)  ?? For x 0

3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Trin3: Vi lader nu x gå mod 0 (svarende til at lade sekanterne nærme sig tangenten…)  ?? For x 0 Vi får brug for et par hjælpesætning, der fortæller os noget om grænseværdien af de to indrammede udtryk

3 Bevis for differentialkvotient af sin(x) Trin3: Vi lader nu x gå mod 0 (svarende til at lade sekanterne nærme sig tangenten…)  ?? For x 0 Vi får brug for et par hjælpesætning, der fortæller os noget om grænseværdien af de to indrammede udtryk. Hjælpesætning 2: Hjælpesætning 1:

4 Hjælpesætning 1 med bevis Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Vi sætter to tangentstykker på O x x

4 Hjælpesætning 1 med bevis Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Vi sætter to tangentstykker på O x x

4 Hjælpesætning 1 med bevis Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Vi sætter to tangentstykker på, en forbindingslinje O x x

4 Hjælpesætning 1 med bevis Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Vi sætter to tangentstykker på, en forbindingslinje og nogle navne A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Læg mærke til at der er tre ”veje” fra A til B. Den røde vej er kortere end buestykket som er kortere end den blå vej. A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Læg mærke til at der er tre ”veje” fra A til B. Den røde vej er kortere end buestykket som er kortere end den blå vej. A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Vi ser på følgende figur, der er enhedscirklen med vinklen x Læg mærke til at der er tre ”veje” fra A til B. Den røde vej er kortere end buestykket som er kortere end den blå vej. A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Ifølge definitionen af sinus (husk på det er en enhedscirkel) er og derfor er A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Ifølge definitionen af radianer er A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Trekanten OAE er retvinklet (da EB er et tangentstykke) og da den ene katete (OB) har længden 1 har den anden længden tan(x), dvs. A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Divider igennem med 2: A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Divider igennem med 2: eller: og A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Da x er positiv ændres ulighedstegnene ikke ved division med x og den første af ulighederne giver: A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Da x er positiv ændres ulighedstegnene ikke ved division med x og den første af ulighederne giver: Den anden ulighed omskrives: A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Da x er positiv ændres ulighedstegnene ikke ved division med x og den første af ulighederne giver: Den anden ulighed omskrives: Alt i alt: A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Bemærk at dette også gælder for x Fordi cos(-x) = cos(x) og sin(-x) =-sin(x) A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis Lad nu x gå mod 0. Da cos(0)=1 vil venstre side gå mod 1.   Højre siden går også mod 1. er på den måde ”klemt inde” mellem to størrelser, der går mod 1 for x gående mod 0. Hjælpesætningen er bevist. A O x C D E x B

4 Hjælpesætning 1 med bevis A O x C D E x B

Hjælpesætning 1 er nu bevist Hjælpesætning 2 beviser vi ikke (de interesserede kan læse beviset i noten) Vi kan nu færdiggøre beviset:

Hjælpesætning 2 er nu bevist Hjælpesætning 3 beviser vi ikke (de interesserede kan læse beviset i noten) Vi kan nu færdiggøre beviset: Hjælpesætning 2: Hjælpesætning 1:

Hjælpesætning 2 er nu bevist Hjælpesætning 3 beviser vi ikke (de interesserede kan læse beviset i noten) Vi kan nu færdiggøre beviset:  0 + cos(x0) = cos(x0) For x 0 Hjælpesætning 2: Hjælpesætning 1: