Ф =(1+√5)/2 Ф′ =(1-√5)/2 En guddommelige brøk ? ≈ ≈

Præsentationer af emnet: "Ф =(1+√5)/2 Ф′ =(1-√5)/2 En guddommelige brøk ? ≈ ≈"— Præsentationens transcript:

1 Ф =(1+√5)/2 Ф′ =(1-√5)/2 En guddommelige brøk ? ≈1.618034 ≈-0.618034
Og dens søster ≈ Har blandt andet egenskaberne: Husk at bide specielt mærke i andengradsligningen. Ф²–Ф–1=0, ФФ′ =-1, (Ф′ )²–Ф'–1=0, Ф +Ф′ =1, Ф–1=1/Ф, Ф′ -1= 1/Ф′,

2 Det gyldne snit x x x B A a C b a·a = (a + b) ·b

3 Det gyldne snit ligger cirka her
Eksempler på gyldne snit i design. Det gyldne snit ligger cirka her

4

5 Antag at punktet C deler liniestykket AB i et gyldent snit.
* Så vil såvel C som B være gyldne snit af liniestykket AD , og A vil være et gyldent snit af liniestykket EB. Hvordan er gangen ofte i et matematisk bevis? Grib en definition og konkretiser, hvad vi ønsker at vise. Vi ved at: Fordi C er et gyldent snit af AB. For at vise, at C også er et gyldent snit af AD, betragter vi: Hvordan viser man så, at også B er et gyldent snit af AD, og at A er for liniestykket EB?

6 Det gyldne snit i billeder
Gyldne snit lagt ind på siderne Er der forskel på billederne, og hvad betyder det i givet fald?

7 Dreschner Kunstakademi.
Af Balder Olrik (1990). Og forsiden af en god bog om gyldne snit og relaterede matematiske fænomener, samt deres optræden i kunst, design, arkitektur og natur, af Jesper Frandsen. B Enkelte eksempler på gyldne snit i kompositionen: Punkterne A og B deler henholdsvis den korte og den lange side i billedet i gyldne snit. Forholdet mellem de røde punkterede liniers længder er gyldent. Det samme gør sig gældende for forholdet mellem længderne af de grønne Linier. Forholdet mellem de røde punkterede liniers længder er gyldent.

8 En kostald i Vejby. Af J.Th. Lundbye. (1844).
C A B

9 Carl-Henning Pedersen. (1948)
Det røde skib. Carl-Henning Pedersen. (1948)

10 Konstruktion af et gyldent snit af liniestykket AB.
C A B X Beviset: ½ g 1: find midtpunkt af AB, og konstruer punktet D. 2: Afsæt cirkelbue med centrum i D og radius ½ G, afsæt skæringspunktet E med linien AD. 3: afsæt cirkelbue med centrum i A og radius AE. Skæring med AB = C er gyldent snit af AB. E ½ g D

11 Brug af gyldne snit i konstruktion af billeder
F deler BB’ i et gyldent snit Eckersberg. ( ). Nogle af konstruktionspunkterne er synlig på originalen.

12 En passer til at lave gyldne snit med.
C 1 1 B D 1 1 Φ Φ Passeren laves således, at parallelogrammmet har sidelængderne 1, og forlængelserne længderne phi. Den midterste forlængelse får så længden phi-1. Φ -1 A E F X

13 Nogle matematiske egenskaber ved Φ.
Phi kommer ’længere og længere væk’- spiller en mindre og mindre rolle Kædebrøk! Dette kan give os en måde at regne Φ ud på , så præcist som vi vil – en approximationsformel!

14 En rekursionsformel til beregning af Φ:
Første led, ignorerer Φ Næste led udregnes ud fra første Og sådan fortsætter vi Uddyb rekursionsformler, samt begrebet at konvergere imod nederst. Som øvelse kan man lave samme trick med phi= sqrt(1+phi). Rekursionsformlen angiver, hvorledes (n+1)’te led udregnes som en funktion af det n’te led Prøv selv at fortsætte.

15 Hovedkvarteret for USA’s forsvar.
Hvad er den geometriske form af hovedkvarteret? Hvad er dets navn? Pentagon. Hvordan er det relateret til den guddommelige brøk?

16 En pentagon, og dens velkendte udbygning
Den femtakkede stjerne.

17 En pentagon, og dens velkendte udbygning
C a b F H E D b J

18

19 En ligebenet trekant med siderne a, a og b er gylden, hvis a/b = Φ
F En ligebenet trekant med siderne a, a og b er gylden, hvis a/b = Φ De trekanter i pentagrammet, den femtakkede stjerne, der ligger udenfor pentagonen er gyldne. a a Vi konkluderede for to slides siden, at a/b =Φ b A E Vinklerne i en gylden trekant er således 72°, 72° og 36°. 108° Opgave- ved at se på ensvinklede trekanter på slide 17 (DGF og AGC) vises at d/b=phi, d diagonal i pentagon og d dermed lig a. D B C

20 Eksakte værdier af sin 18° og cos 36°
En ligebenet trekant er gylden når a/b = Φ 36° 18° 108° d 90° d d/2 36° 90° b

21 Konstruktion af gyldent rektangel
Gyldne rektangler Et rektangel er gyldent hvis forholdet mellem den længste og den korteste side er Φ Konstruktion af gyldent rektangel ud fra kvadrat. F E A B X g/2 Rektanglet ABGH er dermed gyldent. g Udlever stemmeseddel med ’ hvilket rektangel synes du er kønnest H G D C g

22 Mere om gyldne rektangler
X h Prøv at indlægge diagonalerne i de gyldne rektangler og marker et gyldent snit på dem X X Ved at fjerne det størst mulige kvadrat fra et gyldent rektangel fås et nyt gyldent rektangel. g Tegn en kurve gennem de gyldne snit på rektanglernes lange sider. Kvadraterne vil nærme sig skæringen mellem de to stiplede linier Kurven der fremkommer er en logaritmisk spiral

23 Logaritmisk spiral i naturen:
Nautilus skal.

24 Det smukkeste rektangel, iflg Fechner. (1801-1887)
figur g/h Bedst; % Værst; % A 1/1=1.0 3.0 27.8 B 6/5=1.20 0.2 19.7 C 5/4=1.25 2.0 9.4 D 4/3=1.33 2.5 E 10/7=1.43 7.7 1.2 F 3/2=1.50 20.6 0.4 G Φ=1.62 35.0 0.0 H 23/13=1.77 20.0 0.8 I 2/1=2.00 7.5 J 5/2=1.5 1.5 35.7 Opgørelse af stemmer omkring kønneste rektangel. Fechners undersøgelse baseret på 592 personer.

25 Hvad så med de kendte formater f.eks. A4
Hvad med det kendte A4 format? Det har de omtrentlige mål: g= 29.7cm og h= 21 cm, altså g/h≈1.41 - Dermed IKKE et gyldent rektangel h h A0 har et areal på 10000 cm2 A2 A1 g A4 Begrundelse: samme forhold for alle formaterne- startende ved A0, der har areal på 10000cm^2. Halvering af A0 giver to A1 osv. A3 A4

26 A B C D E F G H I J

27 En kostald i Vejby. Af J.Th. Lundbye. (1844).
C A B