DASG, ODENSE 4-9-2009 HYPOTESETEST: DEN EKSPERIMENTELLE METODE Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer: Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed DASG, ODENSE 4-9-2009 HYPOTESETEST: DEN EKSPERIMENTELLE METODE Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler, Haslev Gymnasium og HF, Denmark

Tværfaglig undervisning Nye krav i STX: Alle fag skal arbejde sammen. Det kan ske gennem et samarbejde mellem traditionelle fag, hvor man underviser i et fælles tema parallelt; Eller det kan gøres indenfor de specielle rammer, der er afsat i AT eller SRP. Specielt forventes det at man arbejder sammen indenfor den kerne af fag, der konstituerer studieretningen! Af samme grund er der særlige bindinger på studieretningsfagene: Matematik kombineret med naturvidenskab: Fys A, Kem A og Bio A kræver mindst Mat B Tidligere kunne man på snedig vis undgå Mat B på studieretninger med samfundsfag opgraderet til A-niveau. Det er ikke længere muligt: Justering (2009): Sam A kræver mindst Mat B Traditionelt kunne man undervise I samfundsfag på A-niveau uden stort set at anvende matematiske metoder og begreber ud over folkeskolen. Mange samfundslærere har en ret ringe matematisk baggrund. Det ændres nu dramatisk: Ikke bare vil justeringen føre til at samfundsfags-lærerne på A-niveau skal arbejde sammen med matematiklærere på B-niveau, men den skriftlige eksamen i samfundsfag skal I fremtiden også afspejle elevernes matematiske niveau! Som et fælles emne I de skriftlige eksaminer I samfundsfag henholdsvis matematik foreslås det derfor at man kan inddrage hypotesetest i form af chi2-testen. Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer: Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed

Justering af matematik (2009-10): Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer: Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed Justering af matematik (2009-10): Efter reformen har matematik dels et obligatorisk kernepensum, dels et valgfrit supplerende pensum. Det var kun den deskriptive statistik (histogrammer, boks- plot, karakterisering af repræsentative stikprøver) der tilhørte kernepensum. Men på de højere niveauer MAT B og MAT A blev det indskærpet at det supplerende stof skulle omfatte - anvendelse af mindst to typer statistiske eller sandsynlighedsteoretiske modeller, indsamling og bearbejdning af data til belysning af en opstillet hypotese. Men det supplerende stof kan ikke gøres til genstand for den skriftlige eksamen! I praksis har det betydet at det udvidede supplerende statistik-pensum har været nedprioriteret. Samtidigt har der været en udbredt utilfredshed med de statistikopgaver, der kunne fremstilles indenfor de obligatoriske rammer. Så I lyset af dette har undervisnings-ministeriet besluttet at gøre en af de statistiske modeller til en del af det obligatoriske kernepensum og dermed også inkludere den i pensum for den skriftlige eksamen. Denne model skulle samtidigt gøre det muligt at gennemføre seriøse tværfaglige samarbejder med biologi og samfundsfag;

I en nylig national evaluering af matematik på A-niveauet foreslås det at den rolle statisk og sandsynligheds-regningen spiller indenfor A-niveauet revideres. Det er også opfattelsen at den tværfaglige undervisning internationalt opfattes som problematisk set fra lærernes synspunkt: -The Panel welcomes the interdisciplinary approach. However, international experience shows that it is important not to underestimate the challenges of making this function in practice, and the resources needed. Med udgangspunkt i evalueringer og erfaringer fra de første år efter reformen har fagkonsulenten, Bjørn Grøn, derfor fornyligt foreslået at den ene af modellerne fra statistik og sandsynlighedsregning bindes til at være en chi2-test af enten uafhængighed eller goodness-of-fit. Fremover vil chi-2 test derfor være obligatorisk kernepensum og der vil kunne stilles opgaver i chi2-test i den skriftlige eksamen på B-niveau og A-niveau,. For at hjælpe lærerne har han ydermere kontaktet universiteterne og bedt dem være behjælpelig med udarbejdelse af et passende undervisningsmateriale ligesom han har samlet en rådgivende gruppe af gymnasieklærere til at udvikle supplerende undervisningsmaterialer. Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer: Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed

Den naturvidenskabelige metode Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer: Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed Den naturvidenskabelige metode UNDREN ELLER NYSGERRIGHED VEDRØRENDE ET NATURFÆNOMEN Sammenholdes med EKSISTERENDE VIDEN EKSPERRIMENTEL AFPRØVNING HYPOTESE RESULTATER ? ? ? DISKUSSION (af overensstemmelse mellem hypotese og resultater) HVERKEN ELLER – OM IGEN HYPOTESEN BEKRÆFTES – hæves til gældende teori HYPOTESEN FORKASTES – ny hypotese må formuleres og efterprøves

Den statistiske metode Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer: Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed Den statistiske metode Man observerer et stokastisk fænomen. De observerede resultater sammenhol-des med de forventede resultater, der følger af nulhypotesen. Er afvigelsen nu så lille at den med rimelighed kan tilskrives tilfældighedernes spil? Eller er den så stor at en systematisk tendens, der bryder med nulhypotesen, er at fortrække? Eksperimentel simulering Afvigelsen mellem de observerede resultater og de forventede resultater bruges som teststørrelse. Nul-hypotesen Fordelingen af teststørrelsen Det er fordelingen af teststørrelsen, som bruges til at skelne mellem små og store afvigelser! Teoretisk deduktion

Eksperimentel statistik versus Teoretisk statistik Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer: Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed Eksperimentel statistik versus Teoretisk statistik Den eksperimentelle metode Den teoretiske metode - er en strømlinjet metode, der kan bruges til alle slags hypotesetest. Den bygger på en vigtig modelleringskompeten-ce, simuleringen af hulhypote-sen – som igen bygger på modelleringen af et stokastisk fænomen. - forudsætter et bredt kendskab til et stort antal teoretiske fordelinger: Binomial fordelingen, normalfordelingen, t-fordelingen, chi2-fordelingen osv.. Den underliggende metode har en tendens til at forsvinde i den kraftige dosis teori - er muliggjort af brugen af computere og benyttes i dag som en mulig industristandard. Men den kræve mange simuleringer (500-2500) for at være sikker på et rimeligt resultat (indenfor 1%). bygger på velgennemprøvede abstrakte eksakte matematiske metoder. Men resultatet af den teoretiske beregning er ikke mere præcist end resultatet af den eksperimentelle simulering: Den teoretiske metoder har nemlig adskillige approksimatio-ner indbygget i sig: De grundlæg-gende stokastiske variable er typisk kun tilnærmelsesvist normalfordelte, og den teore-tiske fordeling af teststørrelsen er typisk kun en asymptotisk fordeling.

Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervisning i matematik Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer: Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed Den eksperimentelle metode i matematik-undervisningen som et didaktisk princip 3.1 Didaktiske principper Undervisningen tilrettelægges med henblik på, at den enkelte elev når de faglige mål. I centrum for undervisningen skal stå elevernes selvstændige håndtering af matematiske problemstillinger og opgaver. Gennem en eksperimenterende tilgang til matematiske emner, problemstillinger og opgaver skal elevernes matematiske begrebsapparat og innovative evner udvikles. … CAS-værktøjer skal ikke blot udnyttes til at udføre de mere komplicerede symbolske regninger, men også understøtte færdighedsindlæring og matematisk begrebsdannelse. 3.3 It Undervisningen tilrettelægges, således at lommeregnere, it og matematikprogrammer bliver væsentlige hjælpemidler i elevernes arbejde med begrebstilegnelse og problemløsning. … Endvidere indgår anvendelse af lommeregnere, it og matematikprogrammer i tilrettelæggelsen af den eksperimenterende tilgang til emner og problemløsning.

Simulering af stokastiske fænomener Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed Simulering af stokastiske fænomener

Dynamisk statistik programmer: Hvad skal de kunne? Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed Dynamisk statistik programmer: Hvad skal de kunne? 2. Genberegn: CTRL R Regnearket opdateres løbende, men de tilfældige rutiner rand() osv. genberegnes kun hvis man vælger Genberegn! 3. Datafangst: Automatisk eller manuel Hvis man har oprettet en navngivet variabel (en måling) kan man fange dens værdier automatisk, når de ændres, og manuelt (CTRL .) når som helst. De indfangne værdier gemmes i en liste. 1. Dynamisk stikprøve: Ved hjælp af kommandoen randsamp() kan man ud-trække en til-fældig (ran-dom) stikprøve (sample) fra en liste (popu-lation) med eller uden tilbagelægning (replacement).

Goodness of fit Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer: Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed Goodness of fit Susanne Christensen (Aalborg University, 2009) Danmarks statistiks opgørelse af indkomstfordelingen for personer over 15 år i Danmark år 2007 viser følgende billede: I = Indkomst 1000 kr. I<50 50≤I I<100 100≤I I<150 150≤I I<200 200≤I I<300 300≤I I<400 400≤I I<500 500≤I % af befolkning 6,4 9,3 17,8 12,3 24,3 18,0 6,6 5,3 En markedsanalytiker har foretaget en undersøgelse af 1000 personers kend-skab til et særdeles kostbart fladskærmsprodukt, men efterfølgende er der opstået tvivl om udvælgelsen af stikprøven, der er forgået som interview-undersøgelse over et par dage i et lokalt supermarked. Det frygtes, at stik-prøven har fået for mange respondenter med i de lavere indkomstklasser. Heldigvis er der blevet spurgt om folks indkomst, så man kan lave et test for, om indkomstfordelingen i stikprøven synes at komme fra et specielt segment af befolkningen og altså dermed ikke at have den samme fordeling som indkomstfordelingen i Danmark. Hvis det er tilfældet, kan man nemlig ikke generalisere undersøgelsens resultat til hele befolkningen. ?’ Indkomstfordelingen i stikprøven var: Observerede antal: I = Income 1000 kr. I<50 50≤I I<100 100≤I I<150 150≤I I<200 200≤I I<300 300≤I I<400 400≤I I<500 500≤I Observed frequency 98 88 199 136 210 179 52 38 Forventede antal under udgangshypotesen: I = Income 1000 kr. I<50 50≤I I<100 100≤I I<150 150≤I I<200 200≤I I<300 300≤I I<400 400≤I I<500 500≤I Expected frequency 64 93 178 123 243 180 66 53

Simulering af uafhængighed: Omrøring Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer: Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed . Simulering af uafhængighed: Omrøring Population: Temp Fejl 65 JA 47 NEJ 72 63 61 NO 49 50 Stikprøve fra en enkelt variabel UDEN tilbage-lægning: Tilfældig permutation, samme dimension! Stikprøve fra alle variablene MED tilbagelægning: Samme dimension! Temp Fejl 49 JA 72 NEJ 47 65 61 63 50 Temp Fejl 49 NEJ 47 50 JA 61 63 Omrøring (Temp) Bootstrap

Chi-2 test af uafhængighed Forside Tværfaglig undervisning: Matematik og samfundsfag Justering af mat.: 2009-10 Chi2-test obligatorisk Den naturvidenskabelige metode Den statistiske metode Eksperimentel statistik versus teoretisk statistik Eksperimentel undervis-ning i matematik: Læreplanskrav Simulering af stokastiske fænomener Dynamiske statistikpro-grammer: Hvad skal de kunne? Goodness of Fit Simulering af uafhængighed: omrøring Chi2-test af uafhængighed Chi-2 test af uafhængighed Susanne Christensen (Aalborg University, 2009) Hvis vi vil undersøge, om det at bruge ”mange penge på tøj” er lige udbredt blandt unge kvinder og unge mænd, er den mest objektive måde at forholde sig på at lave en empirisk undersøgelse. Dvs. man indsamler data og drager sine slutninger på baggrund af dem.   Allerførst er der et par ting, der skal præciseres! Hvad er det for nogle unge, vi interesserer os for? I den statistiske termino-logi hedder det at fastlægge populationen. Lad os sige, at det er unge mel-lem 15-20 år og bosiddende i Danmark, vi er interesseret i. Så skal vi have præciseret, hvad vi egentligt forstår ved at ”bruge mange penge på tøj”. I den statistiske terminologi siger man, at vi skal have formu-leret modellen og hypoteserne.   Modellen kan hér være, at andelen af kvinder, der bruger mere end 1500 kr. om måneden på tøj er pk og den tilsvarende for mændene er pm. (Andelen pk svarer til sandsynligheden for at en kvinde tilfældigt udvalgt fra popula-tionen bruger mere end 1500 kr. på tøj om måneden ). ... Hypotesen er, at pm = pk, eller sagt i ord: Andelen af unge mænd, der bruger mange penge på tøj, er den samme som den tilsvarende andel for unge kvinder. For at undersøge vores hypotese kan vi fx gennemføre følgende forsøg: Vi udvælger et antal unge mellem 15 og 20 år tilfældigt og spørger dem om, hvor mange penge, de bruger på tøj om måneden. Så tæller vi op, hvor mange kvinder, der bruger mere end 1500 kr., og hvor mange mænd. Vores resultat af undersøgelsen kan vi organisere i en tabel som nedenfor: <1500 kr./måned ≥ 1500 kr./måned I alt Kvinder 98 102 200 Mænd 60 100 160 158 202 360