Ea Thystrup & Louise Mikkelsen 3øa Funktioner generelt Ea Thystrup & Louise Mikkelsen 3øa

Agenda Elementer i en generel funktionsundersøgelse – herunder 1., 2. og 3. gradsfunktioner Ekstrema for funktioner – formel hertil Omvendt funktion Sammensat funktion – heraf differentiering Sammenhæng mellem ex og ln(x)

Indledning En funktionsundersøgelse indeholder en beskrivelse af funktions forløb. Definitionsmængde - Dm(f) Nulpunkter Fortegnsvariation Monotoniforhold Ekstrema Vendetangent Værdimængde – Vm(f)

Funktionsundersøgelse ved 1. grad Forskrift for lineær funktion: 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 a  hældningen b  begyndelsesværdien Den lineære funktion har en konstant vækst - i absolutte tal Definitionsmængde – Dm(f) Udstrækning på x-aksen Nulpunkter Skæring med x-aksen Beregning: forskriften sættes lig med 0 Værdimængde – Vm(f) Udstrækning på y-aksen

Eksempel – 1. grad 𝑓 𝑥 =−2𝑥+4 𝑓 𝑥 =2𝑥+4

Funktionsundersøgelse ved 2. grad 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 a er positiv  konveks a er negativ  konkav Parametrenes betydning – se noter Definitionsmængde – Dm(f) Nulpunkter Toppunkter Fortegnsvariation Monotoniforhold Værdimængde – Vm(f) Parametrenes betydning 𝑎 bestemmer om grafens ben vender op eller ned. 𝑐 bestemmer grafens skæring med y-aksen, flytter dermed grafen op/ned. 𝑏 𝑜𝑔 𝑎 bestemmer i hvilket kvadrant toppunktet ligger. - a negativ og b positiv (1. kvadrant) - a og b negative (2. kvadrant) - a og b positive (3. kvadrant) - a positiv og b negativ (4. kvadrant)

Eksempel – 2. grads 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +4𝑥−5 Nulpunkt: Nulpunkterne er skæringen på x-aksen. Nulpunkterne viser hvor mange gang funktionen går gennem 0 på x-aksen: 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 d > 0 = 2 nulpunkter d = 0 = 1 nulpunkt d < 0 = 0 nulpunkter (her er d negativ) Toppunkt: 𝑇𝑝𝑥= −𝑏 2𝑎 𝑇𝑝𝑦= −𝑑 4𝑎   𝑇𝑝= −𝑏 2𝑎 , −𝑑 4𝑎 Diskriminanten: 𝑑= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 Hvis a og b har samme fortegn ligger toppunktet til venstre i forhold til y-aksen. Hvis a og b har forskellige fortegn ligger toppunkt til højre i forhold til y-aksen.

Bevis – toppunkt x-koordinat til toppunktsformel y-koordinat til toppunktsformel

Bevis – nulpunkt

Funktionsundersøgelse ved 3. grad 𝑓 𝑥 =𝑎 𝑥 3 +𝑏 𝑥 2 +𝑐𝑥+𝑑 Definitionsmængde – Dm(f) Nulpunkter Toppunkter Fortegnsvariation Monotoniforhold Ekstrema Vendetangent Værdimængde – Vm(f) Ved 4. gradsfunktioner anvendes samme overstående elementer i undersøgelsen

Eksempel – 3. grads 𝑓 𝑥 =−2 𝑥 3 +8 𝑥 2 +10𝑥 𝑓 𝑥 =2 𝑥 3 +8 𝑥 2 +10𝑥

Eksempel – 3. grads 𝑓 𝑥 =−2 𝑥 3 +8 𝑥 2 +10𝑥 Definationsmængden - Dm(f): Definationsmængden beskriver funktionens bredde på x-aksen.    Nulpunkt – Np: I Nspire: Solve(f(x)=0,x) f(x)=0 (ved alle funktioner)   Fortegnsvariation - FTV: Fortegnsvariationen viser hvornår funktionen er positiv og negativ i forhold til x-aksen. -1<x<0 eller x>5 - Negativ 0<x<5 eller x<-1 - Positiv Hvis a er positiv, starter funktionen med at vokse, og derefter vil den være aftagende. - f(x)<0 f(x)>0 Solve(f(x)>0,x) solve(f(x)<0,x) Monotoniforhold: f(x) er aftagende eller voksende i intervallet: f'(x)<0 = aftagende f'(x)>0 = voksende Ekstrema: Ekstremaer er funktionens maksimum eller minimum. Der findes både lokalt (2. højest eller lavest - ved en uendelig funktion er alle ekstremaer lokale) og globalt (det højeste eller laveste punkt på funktionen i forhold til den differentierede funktion). Ekstremaer findes der hvor den differentierede funktionen (f'(x)) er lig med 0. Vendetangent - VT: Vendetangent opstår mellem ekstremaerne. Vendetangent er der hvor funktionen kan spejles i sig selv - funktionen er symmetrisk 180 grader rundt. -> VT = (1.3333,22.8147) Værdimængden - Vm(f): Værdimængden beskriver funktionens længde på y-aksen.  

Eksempel – 3. grads

Ekstrema for funktioner - formel Ekstremum er en maksimum eller minimumsværdi for en funktion Lokalt eller globalt ekstremum/ekstrema Voksende funktion  positiv differentialkvotient Aftagende funktion  negativ differentialkvotient Muligvis ekstrema  𝑓 ′ (𝑥)=0 Differentialregning: 𝑓 ′ (𝑥)=0 Eksempel: 𝑓 𝑥 =2 𝑥 3 +4 𝑥 2 −3𝑥+8 𝑓 ′ 𝑥 =6 𝑥 2 +8𝑥−3 𝑓 ′ 𝑥 =0 Ekstremum = ekstrema (i flertal) Voksende funktion  positiv differentialkvotient (+ 0 -) her er der maksimum Aftagende funktion  negativ differentialkvotient (- 0 +) her er der minimum Muligvis ekstrema  𝑓 ′ (𝑥)=0

Omvendt funktion Definition: Eksempel: 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏 Hvis 𝑓(𝑥) er en funktion, er en omvendt funktion en funktion, som gør det omvendte af 𝑓(𝑥). Den omvendte funktion er beskrevet som følgende: 𝑓 −1 (𝑥) Eksempel: 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏 𝑓 𝑥 =2𝑥+8 𝑦=2𝑥+8 𝑦−8=2𝑥 𝑦−8 2 =𝑥 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥−8 2 Eksempel: 𝑦=𝑓 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 - y er det samme som f(x). 𝑓 𝑥 =2𝑥+8 - Funktionen er skrevet op. 𝑦=2𝑥+8 Funktionen er skrevet op igen, men denne gang anvendes y i stedet for f(x) til at beregne den omvendte funktion. 𝑦−8=2𝑥 - Da vi kan se, at b er lagt til på den ene side af lighedstegnet, skal b hermed trækkes fra, for at vi endvidere kan få x til at stå alene. 𝑦−8 2 =𝑥 Her skal x isoleres, for at vi senere kan finde den omvendte funktion. For at isolere x, divideres der med 2 på begge sider af lighedstegnet. Grunden til at der divideres med 2, er da der på højre side af lighedstegnet er ganget med 2. 𝑓 −1 𝑥 = 𝑥−8 2 - Nu er x-værdien for den oprindelige funktion fundet, og efterfølgende indsættes x på y’s plads i funktionen, hvor x tidligere blev isoleret. Grunden til at x indsættes på y’s plads, er da man ved normale funktioner starter med at kende x og derefter skal finde y, og i dette tilfælde (med omvendte funktioner) starter man med at kende y’et og efterfølgende derfra skal finde x’et.

Sammensat funktion – differentiering Sammensatte funktioner er 2 funktioner samlet til en funktion 𝑓(𝑔 𝑥 ) => ydre (𝑓(𝑥)) og indre funktion (𝑔(𝑥)) h(x)=ydre(indre) ℎ ′ 𝑥 =𝑓′(𝑔 𝑥 )∙ 𝑔 ′ 𝑥 Eksempel: ℎ 𝑥 =ln(2 𝑥 3 ) h 𝑥 = 1 2 𝑥 3 ∙6 𝑥 2 => 6 𝑥 2 2 𝑥 3 ℎ ′ 1 = 6∙ 1 2 2∙ 1 3 => 6 2 => 3 Nspire: Definer funktionen -> f(x):= forskriften Vælg skabelon -> 𝑑 𝑑𝑥 (funktionens døbenavn) Beregning ad differentierings funktionen -> df(x):=funktionens døbenavn df(1)=”resultat”  

Sammenhæng mellem 𝑒 𝑥 og ln⁡(𝑥) ln⁡(𝑥) er den omvendte funktion til 𝑒𝑥 ln⁡(𝑥) spejlet i 𝑦=𝑥 er 𝑒𝑥 Bruges til at bevise ln 𝑎 𝑥 =𝑥∙ln⁡(𝑎) Anvendes til at bevise differentiering af ln⁡(𝑥) Se Sille’s dokument – ln 𝑎 𝑥 =𝑥∙ln(𝑎): https://www.dropbox.com/sh/eo2qteaq19ndhav/AAC9ZHrKfQIEJs1MT7rjOf6ba/Div%20PP/3%20øa/Logaritmeregneregler%20%2B%20beviser.docx?dl=0 Se Simon og Alexanders video vedrørende differentiering af ln(x) https://www.youtube.com/watch?v=KOwXurbPoZI&feature=youtu.be