Differentialregning Cecilie.

Præsentationer af emnet: "Differentialregning Cecilie."— Præsentationens transcript:

1 Differentialregning Cecilie

2 Hvad er differentialregning?
Hvor hurtigt en funktion vokser/aftager i et bestemt punkt Funktioner som er kontinueret og differentiabel f’ Kan bruges til funktionsundersøgelse Ekstremaer Monotoniforhold Sekanter og tangenter Vendetangent

3 Betydning af f’ Formel f(x) = axn f’(x) = n ∙ axn-1
Når der er tale om f’ så vil det sige, at f’ er tangentens hældning i x-værdien. Når der er tale om en funktion f(x), så vil den afledende funktion være f’(x).

4 Kontinueret og differentiabel
Man kan bruge kontinueret og differentiable funktioner, da de har bløde kurver.

5 Sekant En sekant er en ret linje, der skærer grafen for en funktion i to punkter. Man kan tegne sekanten ved at tegne de to punkter på grafen og (vha. en lineal) tegne linjen gennem dem.

6 Tangent En tangent er også en ret linje. Men i modsætning til en sekant, så rører en tangent kun funktionsgrafen i ét punkt. Tangenten smyger sig op af grafen.

7 Vendetangent

8 Tillægsspørgsmål Redegør for hvordan man kan fastlægge tangentens ligning i et punkt på en funktion

9 Nspire – Tangentline Hvis man vil bruge Nspire til at fastlægge tangentens ligning, kan man bruge tangentline. Først skal du definere den givende funktion, og derefter vælge ”matematikfelt”. Så går man over i katalog og vælger det der hedder tangentline.

10 Manuel – Formel 103 Tx0: y= f’(x0) ∙ (x – x0) + f(x0)
Eksempel – Tangent i punktet (1,f(1) for funktionen f(x)=-x4+3x3+2x2-x f’(x) = -4x3+9x2+4x-1 f(1) = -1 ∙ ∙ ∙ ∙ 1 = 3 f’(1) = -4 ∙ ∙ ∙ 1 -1 = 8 Tx0: y = 8 ∙ (x-1) + 3 = 8x -5

11 Bevis for formel 103 𝑥 1 , 𝑦 1 og 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑎= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1
Når man kender to punkter 𝑥 1 , 𝑦 1 og 𝑥 2 , 𝑦 2 på en ret linje, kan vi bestemme hældningen for linjen altså a, vha. formlen: 𝑎= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 Tangenten er en ret linje i et punkt derfor kan vi bestemme et udtryk for tangentens hældning, når vi har to punkter, som ligger på tangenten. Derudover vælger vi et andet vilkårligt punkt 𝑥,𝑦 , som også ligger på tangenten. Så vil vores punkter altså hedde: Vi vil isolere y i denne ligning: 𝑦− 𝑦 0 𝑥− 𝑥 0 =𝑎 𝑦− 𝑦 0 =𝑎∙ 𝑥− 𝑥 0 𝑦=𝑎∙ 𝑥− 𝑥 0 + 𝑦 0 Da 𝑦 0 = 𝑓( 𝑥 0 ), og tangentens hældningskoefficient 𝑎= 𝑓 ′ 𝑥 0 når vi frem til formlen: 𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 0 ∙ 𝑥− 𝑥 0 +𝑓( 𝑥 0 )