KAPITEL 5 Delta Normal Value at Risk

Indhold Hvad er Value at Risk? Beregning af Value at Risk Mapping Renteinstrumenter, aktier og valutaer Portefølje VaR Mapping Incremental, Marginal og Komponent VaR Backtesting VaR til opgørelse af kapitalkrav Tjek-spørgsmål Copyright Jørgen Just Andresen

Hvad er Value at Risk? Value at Risk angiver det maksimale tab med en given sandsynlighed Én ud af 100 dage bliver tabet større end 10 millioner Hvor stort tabet bliver den ene dag kendes ikke Copyright Jørgen Just Andresen

Hvorfor Value at Risk? Finansielle skandaler i 1990’erne som følge af dårlig risikostyring RiskMetricsTM og 4:15 rapporten 1993: G30-rapporten anbefaler brugen af VaR Regulering Generelt mere fokus på markedsrisiko i starten af 1990’erne CAD 1993 (Simple regler for opgørelse af markedsrisiko) 1996 BIS Amendment anbefaler brugen af VaR CAD II 1998 (Tilladelse til brug af interne modeller – VaR) 2001 mulighed for brug af VaR-modeller i Danmark til opgørelse af kapitalkrav på markedsrisiko Copyright Jørgen Just Andresen

Lovgivning 1993: CAD simple regler for markedsrisiko 1996- Amendment. BIS Anbefaler brug af VaR til kapitalkrav 1998: CAD II EU giver mulighed for brug af VaR-modeller til opgørelse af kapitalkrav 2001: Mulighed for brug af VaR-modeller i Danmark til opgørelse af kapitalkrav 2019: Kapitalkrav forventes baseret på Expected Shortfall i stedet for VaR

VaR-definition Value at Risk kan defineres som det beregnede maksimale tab på en portefølje, som følge af en ugunstig udvikling i risikofaktorer over en given tidshorisont og med en given sandsynlighed.   Copyright Jørgen Just Andresen

Konfidensinterval Standardafvigelser: 2,33 1,65 1,00 16% 1% 5%

VaR for valutaposition 𝑽𝒂𝑹 𝑽𝒂𝒍𝒖𝒕𝒂 =𝑴𝑽∙𝝈∙ 𝑻 ∙𝒏 Ønsker man at beregne 10-dages VaR med 99% konfidensinterval på en position på 50 millioner USD, hvor valutakursen er 6,71 og den daglige volatilitet på USD/DKK er opgjort til at være 0,62% fås: 𝑉𝑎𝑅 𝑉𝑎𝑙𝑢𝑡𝑎 =50𝑀∙6,71∙0,62%∙ 10 ∙2,33= 15,3 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒𝑟 Over en 10-dages periode er der derfor 1% risiko for at tabe mere end 15,3 millioner kroner Copyright Jørgen Just Andresen

VaR for aktieposition 𝑽𝒂𝑹 𝑨𝒌𝒕𝒊𝒆 =𝑴𝑽∙𝝈∙ 𝑻 ∙𝒏 𝑽𝒂𝑹 𝑨𝒌𝒕𝒊𝒆 =𝑴𝑽∙𝝈∙ 𝑻 ∙𝒏 Ønsker man at beregne daglig VaR med 99% -konfidensinterval på en position på 100M NOVO Nordisk-aktier, og har man opgjort den årlige volatilitet til 32,26% fås: 𝑉𝑎𝑅 𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒 =100𝑀∙32,26%∙ 1 250 ∙2,33=4,75 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒𝑟 Alternativt kan beta-værdien anvendes, hvis porteføljen er veldiversificeret: 𝑽𝒂𝑹 𝑨𝒌𝒕𝒊𝒆 =𝑴𝑽∙𝜷∙ 𝝈 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒌𝒔 ∙ 𝑻 ∙𝒏 𝑉𝑎𝑅 𝐴𝑘𝑡𝑖𝑒 =100𝑀∙1,2∙24,5%∙ 1 250 ∙2,33= 4,33 millioner kroner Hvorfor er VaR-tallet mindre ved brug af beta-værdien? Copyright Jørgen Just Andresen

VaR for renteposition 𝑽𝒂𝑹 𝑹𝒆𝒏𝒕𝒆𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 =𝑴𝑽∙ 𝝈 𝒑𝒓𝒊𝒔 ∙ 𝑻 ∙𝒏 𝑽𝒂𝑹 𝑹𝒆𝒏𝒕𝒆𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 =𝑴𝑽∙ 𝝈 𝒑𝒓𝒊𝒔 ∙ 𝑻 ∙𝒏 𝑉𝑎𝑅 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 =100𝑀∙0,12%∙ 10 ∙2,33= 0,88 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒𝑟 Alternativt kan VaR beregnes ved hjælp af rentevolatiliteten: 𝑽𝒂𝑹 𝑹𝒆𝒏𝒕𝒆𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 = 𝒅𝑷 𝒅𝒚 ∙ 𝝈 𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 ∙𝒚∙ 𝑻 ∙𝒏 𝑉𝑎𝑅 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 = 𝑑𝑃 𝑑𝑦 ∙ 𝜎 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 ∙𝑦∙ 𝑇 ∙𝑛= 1,96∙3,1%∙2,0%∙ 10 ∙2,33 =0,88 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒𝑟 Copyright Jørgen Just Andresen

VaR på porteføljeniveau Copyright Jørgen Just Andresen

Metode 1 - porteføljevolatilitet 𝑽𝒂𝑹 𝑷𝒐𝒓𝒕𝒆𝒇ø𝒍𝒋𝒆 =𝑴𝑽∙ 𝝈 𝒑𝒐𝒓𝒕𝒆𝒇ø𝒍𝒋𝒆 ∙ 𝑻 ∙𝒏 Med en samlet markedsværdi på 150 millioner kroner og en porteføljevolatilitet på 1,77% fås portføljens 10-dages VaR med 99% konfidensinterval til: 𝑉𝑎𝑅 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑒𝑓ø𝑙𝑗𝑒 =150 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒𝑟∙ 1,77%∙ 10 ∙2,33= 19,58 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒𝑟 Copyright Jørgen Just Andresen

Metode 2 – VaR på enkeltpositioner For to positioner: 𝑽𝒂𝑹 𝑷𝒐𝒓𝒕𝒆𝒇ø𝒍𝒋𝒆 = 𝑽𝒂𝑹 𝟏 𝟐 + 𝑽𝒂𝑹 𝟐 𝟐 +𝟐∙ 𝒌𝒐𝒓𝒓 𝟏,𝟐 ∙ 𝑽𝒂𝑹 𝟏 ∙ 𝑽𝒂𝑹 𝟐 𝑉𝑎𝑅 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑒𝑓ø𝑙𝑗𝑒 = 15,03 2 + 6,96 2 +2∙0,52∙ 15,03 ∙ 6,96 =19,58 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒𝑟 Copyright Jørgen Just Andresen

Metode 3 - risikopositioner 𝑽𝒂𝑹 𝑷𝒐𝒓𝒕𝒆𝒇ø𝒍𝒋𝒆 = 𝑴 𝑻 ∗𝑪∗𝑴 ∙ 𝑻 ∙𝒏 For to positioner kommer beregningen til at se således ud: 𝑀𝑉 1 2 ∙ 𝑉𝑜𝑙 1 2 + 𝑀𝑉 2 2 ∙ 𝑉𝑜𝑙 2 2 +2∙ 𝑀𝑉 1 ∙ 𝑉𝑜𝑙 1 ∙ 𝑘𝑜𝑟𝑟 1,2 𝑀𝑉 2 ∙ 𝑉𝑜𝑙 2 ∙ 10 ∙ 2,33 = 100 𝑀 2 ∙2,04 % 2 +50 𝑀 2 ∙1,89 % 2 +100𝑀∙50𝑀∙0,52∙2,04%∙1,89% ∙ 10 ∙ 2,33 = 19,58 Copyright Jørgen Just Andresen

Mapping - aktier 100M Danske Bank-aktier. Beta = 0,90 Risikoposition = 90M 50M Novo Nordisk-aktier. Beta = 1,20 Risikoposition = 60M Samlet risikoposition = 167M 25M Coloplast-aktier. Beta = 0,68 Risikoposition = 17M

Mapping af cash flows Tid Faktisk Cash Flow Mappet Cash Flow

Mapping af obligation 𝐹ø𝑙𝑠𝑜𝑚ℎ𝑒𝑑 1−å𝑟𝑖𝑔 𝑛𝑢𝑙𝑘𝑢𝑝𝑜𝑛 = 𝑃𝑟𝑖𝑠 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒=2% − 𝑃𝑟𝑖𝑠 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒=1% =100∙ 1+0,02 −1 −100∙ 1+0,01 −1 =−0,97 𝐹ø𝑙𝑠𝑜𝑚ℎ𝑒𝑑 3−å𝑟𝑖𝑔 𝑛𝑢𝑙𝑘𝑢𝑝𝑜𝑛 = 𝑃𝑟𝑖𝑠 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒=3% − 𝑃𝑟𝑖𝑠 𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒=2% =100∙ 1+0,03 −3 −100∙ 1+0,02 −3 =−2,72 Dvs der skal anvendes nominelt 3,9 1-årige nulkuponobligationer for at få en nøglerentevarighed på -0,04 og der skal anvendes nomielt 98,8 3-årige obligationer for at få en nøglerentevarighed på -2,69 Copyright Jørgen Just Andresen

Fordele og ulemper ved VaR Copyright Jørgen Just Andresen

Incremental, marginal og komponent VaR Copyright Jørgen Just Andresen

Backtest Test af modellens validitet. Fejl kan skyldes: Modellen indeholder beregningsfejl. Modellen er korrekt, men man har blot været uheldig. Volatiliteter og korrelationer har ændret sig, og modellen tilpasser sig ikke hurtigt nok til de ændrede markedsvilkår Vi har inddraget flere komplekse instrumenter i vores portefølje og vores model er for simpel til at håndtere disse. Copyright Jørgen Just Andresen

Backtest Copyright Jørgen Just Andresen

VaR til kapitalkrav Bruger man VaR-modeller til at beregne kapitalkrav til markedsrisiko er kravene, at man: beregner VaR på minimum daglig basis. anvender ensidigt 99% konfidensinterval. anvender en periode på 10 dage. Det er tilladt at skalere 1-dags VaR med 10 , hvis man kan godtgøre at metoden er hensigtsmæssig. beregner volatilitet og korrelation over en periode på minimum ét år. Det er dog tilladt at anvende en kortere periode, hvis volatiliteten er forøget betydeligt. Det er også tilladt at anvende vægte som ved eksponentielt glidende gennemsnit, hvor de ældste data har meget lille betydning. også beregner VaR over en stresset 12-måneders periode (eksempelvis 2008) . Copyright Jørgen Just Andresen

VaR til kapitalkrav Når VaR-tallene er beregnet kan kapitalkravet til den generelle markedsrisiko opgøres til summen af a+b: Den højeste værdi af foregående dags VaR eller gennemsnittet af de seneste 60 dages VaR multipliceret med en multiplikationsfaktor på minimum 3. Den højeste værdi af foregående dags VaR (beregnet i den stressede periode) eller gennemsnittet af de seneste 60 dages VaR (beregnet i den stressede periode) multipliceret med en multiplikationsfaktor på minimum 3. Multiplikationsfaktoren findes som 3 tillagt en plusfaktor Copyright Jørgen Just Andresen

Fundamental Review of the Trading Book Anvendelse af Expected Shortfall i stedet for Value at Risk 𝐸𝑆 𝐷𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = 𝑇 ∙ 𝜎 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒𝑓ø𝑙𝑗𝑒 ∙ 𝑀𝑉 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑒𝑓ø𝑙𝑗𝑒 ∙ 𝑒 −( 𝑛 2 2 ) 2∙𝜋 ∙(1−𝑋) = 10 ∙1,77%∙150𝑀∙ 𝑒 −( 2,33 2 2 ) 2∙𝜋 ∙(1−0,99) =22,39𝑀 Copyright Jørgen Just Andresen

Tjek spørgsmål – 1 Eftervis, at VaR på de tre positioner bliver hhv 4,65; 0,39 og 1,16 som angivet i den gule kolonne til højre. Du bedes anvende 250 handelsdage pr år: Eftervis, at VaR på en portefølje bestående af aktie- og valutapositionen bliver 5,33 ved en korrelation på 0,5. Brug gerne de tre forskellige beregningsmetoder til beregning af portefølje VaR. Hvad er diversifikationseffekten? Copyright Jørgen Just Andresen

Tjek spørgsmål - 2 Forklar begreberne marginal VaR og komponent VaR. Hvilke fordele og ulemper er der ved brug af VaR? Hvorfor skal VaR-modellen backtestes? Hvilke grunde kan der være til at antallet er overskridelser ved backtesting er større end forventet? Copyright Jørgen Just Andresen

Tjek spørgsmål 3 Hvad er formålet med mapping? Hvilke krav stilles der ved brug af VaR til opgørelse af kapitalkrav til penge- og realkreditinstitutter? Hvordan reagerer korrelationer typisk under stressede markeder? Hvorfor er det et problem i forbindelse med VaR-beregninger? Copyright Jørgen Just Andresen