KAPITEL 3 Volatilitet, Beta og Tracking Error

Indhold Hvad er volatilitet? Hvad kan det bruges til? Beregning af volatilitet Simple moving average EWMA GARCH Rente- og prisvolatilitet Porteføljevolatilitet Implicit volatilitet Beta Expected Tracking Error Copyright Jørgen Just Andresen

- 1 standardafvigelse + 1 standardafvigelse Hvad er volatilitet? Forventet afkast 16% - 1 standardafvigelse + 1 standardafvigelse Sandsynlighed = 68% Volatiliteten angiver udsving (eller standard- afvigelse) på et finansielt instruments eller en porteføljes afkast.

Hvad kan volatilitet bruges til? Udtryk for risikoen Mulighed for at sammenligne risikoen på tværs af investeringsalternativer Udtryk for ”prisen” på en option Udtryk for generelle usikkerhed på markedet Som input til andre risikonøgletal Eksempelvis VaR, Tracking Error, Beta-værdi Copyright Jørgen Just Andresen

Beregning af volatilitet - intuition

Beregning af volatilitet μi = afkast til tidspunkt i = gennemsnitligt afkast n= antal afkastsobservationer σ = volatilitet Copyright Jørgen Just Andresen

Beregning af volatilitet Copyright Jørgen Just Andresen

EWMA – hvorfor? Copyright Jørgen Just Andresen

EWMA - beregning αi = den i’te observations vægt σt = volatilitet til tidspunkt t λ = lamda μt = afkast til tidspunkt t Copyright Jørgen Just Andresen

Tolerance-tærskel 𝑛= ln(𝑇𝐿) 𝑙𝑛(𝜆) Copyright Jørgen Just Andresen

EWMA - eksempel På en portefølje af aktier er den seneste dags volatilitet beregnet til 2,2% pr. dag, det seneste afkast er beregnet til 4% og lamda-faktoren er 0,94. Hvad bliver volatiliteten og hvorfor stiger den? Hvor mange observationer skal medtages for at have 99,5% af observationerne? Hvor meget vægt har den sjette-seneste observation? Svar Volatiliteten beregnes som: 𝜎 𝑡 2 =𝜆∙ 𝜎 𝑡−1 2 + 1−𝜆 ∙ 𝜇 𝑡−1 2 =0,94∙ 2,2% 2 + 1−0,94 ∙ 4% 2 =0,000551=> 𝜎=2,35%. Volatiliteten stiger, fordi det seneste afkast overstiger den senest beregnede volatilitet. Antallet af observationer, der skal skal medtages for at have 99,5% af observationerne beregnes: 𝑛= ln⁡(𝑇𝐿) 𝑙𝑛(𝜆) = ln⁡(0,005) 𝑙𝑛(0,94) =85,6 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 86 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟 Den sjette-seneste observations vægt beregnes som: 𝑉æ𝑔𝑡(𝛼 𝑖 )= 1−𝜆 ∙ 𝜆 𝑖−1 = 1−0,94 ∙ 0,94 6−1 =4,40% Copyright Jørgen Just Andresen

GARCH Copyright Jørgen Just Andresen

GARCH - beregning σn = volatilitet til tidspunkt n γ = gamma σL = langsigtsvolatilitet α = vægt μn = afkast til tidspunkt n β = beta ω = omega Copyright Jørgen Just Andresen

GARCH - eksempel På en tidsserie er opgivet følgende nøgletal: Seneste afkast = 2,00%, seneste beregning for volatiliteten = 2,5%, langsigtsvolatilitet = 3,00%, vægt på seneste observation for volatilitet = 80%, vægt på seneste observation for afkast = 5%. Hvad bliver volatiliteten iflg GARCH(1,1)-modellen? Svar: Vægt (γ) til langsigstvolatiliteten = 100% - α – β = 100% - 5% - 80% = 15% Herved fås: 𝜎 𝑛 2 =γ∙ 𝜎 𝐿 2 +α∙ 𝜇 𝑛−1 2 +β∙ 𝜎 𝑛−1 2 = 15%∙ 3,00% 2 + 5%∙2,00% 2 + 80%∙2,50% 2 =0,000655=> 𝜎 𝑛 = 2,56% Copyright Jørgen Just Andresen

Pris- og rentevolatilitet Løbetid Rentevolatilitet Prisvolatilitet

Porteføljevolatilitet Copyright Jørgen Just Andresen

Porteføljevolatilitet - beregning σA = volatilitet for aktiv A σB = volatilitet for aktiv B wA = procentandel investeret i A wB = procentandel investeret i B korrA,B = korrelation mellem A og B Copyright Jørgen Just Andresen

Volatilitetssmil og ”skew” Implicit Volatilitet Volatilitetssmil – typisk for valuta In-the-money At-the-money Out-of-the-money Volatilitets skew – typisk for aktier

Volatilitetssmil og ”skew” Faktiske afkast og normalfordelte afkast USD/DKK 29/6 -2000 til 8. august 2016 Copyright Jørgen Just Andresen

Beta-værdi Systematisk risiko Usystematisk Beta Værdi Volatilitet

Systematisk og usystematisk risiko Antal aktier i porteføljen Risiko Systematisk risiko Usystema- tisk risiko Systematisk og usystematisk risiko

Expected Tracking Error Copyright Jørgen Just Andresen

Tjek spørgsmål – 1 Angiv hvad man kan anvende volatiliteten til? Forklar hvad en årlig volatilitet på 25% angiver Omregn en daglig volatilitet på 1% til årlig volatilitet Hvorfor anvender man ikke 365 dage ved omregning fra daglig til årlig volatilitet? Copyright Jørgen Just Andresen

Tjek spørgsmål - 2 Forklar forskellen mellem den simple metode til estimation af volatiliteten og EWMA-metoden Hvad er ”spøgelseseffekter? Beregn EWMA-volatiliteten (σt)på baggrund af nedenstående parametre: σt-1 = 2% λ = 0,95 μt-1 = 3% Copyright Jørgen Just Andresen

Tjek spørgsmål 3 Hvor mange observationer skal vi medtage til estimation af EWMA- volatilitet, hvis vi ønsker 99,5% af vægtene og har en lamda på 0,98? Beregn GARCH-volatilitet ud fra følgende parametre: σn-1 = 1,5% σL = 2% α = 10% μn-1 = 3% β = 80% Copyright Jørgen Just Andresen

Tjek spørgsmål 4 Beregn prisvolatiliteten ud fra følgende parametre: σrente = 20% nt = 1% MD = 1,5 Beregn porteføljevolatiliteten på en portefølje af to instrumenter på baggrund af følgende parametre: σA = 10% σB = 15% wA = 65% wB = 35% korrA,B = 0,25 Copyright Jørgen Just Andresen

Tjek spørgsmål 5 Hvad er forskellen på systematisk og usystematisk risiko? Forklar volatilitetssmilet og volatilitets skew. Hvad skyldes de? Forklar hvad en Expected Tracking Error på 2% angiver Copyright Jørgen Just Andresen