Lineær Programmering

Lineær programmering Og hvad betyder det så? Matematisk, kvantitativ metode, til at Sikre ”det bedst mulige resultat”, altså optimere erhvervsøkonomisk beslutning Maksimere (profit, produktion etc.) Minimere (omkostninger, risiko etc.) Med en række kriterier og begrænsninger Der kan formuleres lineært Og hvad betyder det så?

Hvad har vi egentlig gang i? Nogle af de tidligste formuleringer af lineær programmering blev udført i 1930erne i Sovjetunionen af Kantorovich. Og senere under 2. verdenskrig løste Dantzig forskellige transportproblemer for den amerikanske hær. Det viste sig, at begge formuleringer havde samme matematiske opbygning og struktur. I 1951 blev der afholdt en konference ledet af Koopmans med overskriften: ”Activity Analysis of Production and Allocation” Blandt emnerne var: Transportplanlægning Allokering af ressourcer i produktion …

Hvad har vi egentlig gang i? Efter 1951 har den pågældende konference sat sine spor i de tilstødende problemstillinger, som har givet brugbare løsningsforslag i mange forskellige typer af virksomheder. I 1975 modtog Kantorovich og Koopmans Nobel prisen i økonomi for deres arbejde med ressource allokering

Nogle eksempler på anvendelse af Lineær programmering Afsætningsøkonomi Reklamesammensætning Produktplacering Detailsalg Investering og Valutahandel Finansiering Evaluering af investeringsprojekter Porteføljesammensætning Økonomistyring Budgetplanlægning Human Resources Diet planlægning Arbejdstidsplanlægning Driftsøkonomi Logistik Produktionsplanlægning Projektplanlægning

Lineær programmering er et meget anvendeligt kvantitativt analyse- og beslutningsværktøj

Eksempel Virksomheden vil maksimere sit dækningsbidrag. Virksomheden producerer GPS’ere, henholdsvis X1 og X2 Virksomheden har altså to beslutningsvariable Der er en række begrænsninger Vi kan lave en grafisk og en analytisk løsning Kriteriefunktion Max Z = c1x1 + c2x2 + …. + cnxn Begrænsninger a11x1 a12x2 + …. + a1nxn  b1 a21x1 a22x2 + …. + a2nxn  b2 am1x1 am2x2 + …. + amnxn  bm x1, x2, ….xn  0 Begrænsninger

Eksempel Antag eksempelvis: Kriteriefunktionen: 250 DKK og 600 DKK er de respektive DB pr. enhed Maksimer Z = 250 X1 + 600 X2 Begrænsninger: Arbejde 2 X1 + 4 X2 ≤ 1.600 Samlebånd 6 X1 + 2 X2 ≤ 1.800 Efterspørgsel X2 ≤ 350

Løsningsområdet / Mulighedsområdet Eksempel – IV Begrænsning 1 Begrænsninger Kriteriefunktion Løsningsområdet / Mulighedsområdet Begrænsning 2 Kriteriefunktionen Begrænsning 3

Eksempel – V # Grafisk løsning LP Software Begrænsning 2 Begrænsning 3 Kriteriefunktion Begrænsning 1 HD 1. del CBS EØ 2011 2012 Modul 4.5 Markeds- og konkurrenceformer V

Analytiske informationer Løsningsværdi Slack variable Skyggepriser

Slackvariabel Slackvariablen har kun en positiv værdi når den tilhørende ressource ikke er fuldt udnyttet. Slackvariablen angiver, hvor meget kapacitet der ikke er udnyttet, dvs. værdien af en slackvariabel er lig med ledig kapacitet.

Grafisk fastsættelse af Slackvariabel Der bruges 6*100+2*350 = 1.300 af begrænsning 1. Der er 1.800 til rådighed => Slack = 1.800 – 1.300 = 500 Eller aflæst 83,33 ekstra X; hver med et forbrug på 6 => 83,33*6 = 500 900 400 Begrænsning 1: 6 x + 2 y ≤ 1.800 Begrænsning 3: 1 y ≤ 350 350 Slack-variabel GPS B (Y) Begrænsning 2: 2 x + 4 y ≤ 1.600 Kriteriefunktion 100 183,3 300 800 GPS A (X)

Skyggepris Skyggeprisen har kun en værdi når den tilhørende ressource er fuldt udnyttet. Skyggeprisen angiver, hvor meget værdien af kriteriefunktionen vil ændre sig med, hvis den pågældende ressource får tilført yderligere én ekstra ressource. Hvis skyggeprisen = 10 og begrænsningens højreside = 10.000, betyder det, at tilføres højresiden én ekstra ressource til 10.001, så vil værdien af kriteriefunktionen blive forøget med 10.

Grafisk fastsættelse af Skyggepris Før ændring var kriteriefunktionen: 235.000; Nu er den: 50*250 + 375*600 = 237.500; En stigning på 2.500; eller en stigning pr. stk. på 2.500/25 = 100 = skyggeprisen = værdien af én ekstra begrænsning 3 900 400 Begrænsning 1: 6 x + 2 y ≤ 1.800 Begrænsning 3: 1 y ≤ 375 (+ 25) 375 Begrænsning 3: 1 y ≤ 350 350 GPS B (Y) Begrænsning 2: 2 x + 4 y ≤ 1.600 Kriteriefunktion 50 100 300 800 GPS A (X)