Integraler og differentialligninger SPØRGSMÅL 20
Generelt om integraler og differentialligninger En differentialligning er kort og godt en ligning hvor der indgår en differentieret funktion som en af de ubekendte. Løsningen af differentiallingen er de funktioner, der får ligningen til at være sand. Matematisk integration kan ses som modstykket til differentiation. I differentialregning ønsker vi at finde en afledet funktion ud fra en givet funktion, men i integralregning ønsker vi, at vi givet en funktion kan finde ud af, hvad den er afledet til.
Generelt om integraler og differentialligninger (integration af potensfunktion) Sætning: Integration af potensfunktion For en potensfunktion 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑎 gælder, at 𝑓𝑜𝑟 𝑎≠−1 𝑥 𝑎 𝑑𝑥= 1 𝑎+1 𝑥 𝑎+1 +𝑐 Beviset på dette: 𝑎≠−1: 𝐹 ′ 𝑥 =𝑓 𝑥 1 𝑎+1 𝑥 𝑎+1 +𝑐 ′ = 1 𝑎+1 ∗ 𝑎+1 ∗ 𝑥 𝑎+1−1 = 𝑥 𝑎
Redegørelse for stamfunktion Som eksempel er 𝐹(𝑥) stamfunktion til 𝑓(𝑥) hvis: 𝐹 ′ 𝑥 =𝑓 𝑥 Og kan også skrives som: 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Eller: 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥=𝐹 𝑥 +𝑘 hvor 𝑘 er en vilkårlig konstant
Redegørelse for stamfunktion Et eksempel på at finde stamfunktion i forhold til differentiation og integrationsregning: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 Differentiation: 𝑓´ 𝑥 =2𝑥 Integration: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑓 𝑥 = 1 3 𝑥 3
Regneregel for integraler og eksempel på anvendelse 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥+ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 … og anvendelse 3 𝑥 2 +4𝑥+2 𝑑𝑥 =3∗ 1 3 𝑥 3 +4∗ 1 2 𝑥 2 +2𝑥+𝑐 = 𝑥 3 +2 𝑥 2 +2𝑥+𝑐
Integralregning til bestemmelse af arealberegning 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛: 𝒇 𝒙 =− 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 +𝟒,𝟓 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙: −𝟑;𝟑
Integralregning til bestemmelse af arealberegning 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑎𝑓𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟 𝑀= −3 3 − 1 2 𝑥 2 +4,5 𝑑𝑥= − 1 2 ∗ 1 3 𝑥 2−1 +4,5 −3 3 = −1 6 𝑥 3 +4,5𝑥 −3 3 = −1 6 ∗ 3 3 +4,5∗3− −1 6 ∗ −3 3 +4,5∗ −3 = −27 6 +13,5− 27 6 −13,5 = −54 6 +27=−9+27=𝟏𝟖