Hvorfor er det svært at lære matematik? differentialregning som eksempel Morten Blomhøj, IMFUFA Roskilde Universitetscenter En scene fra matematikundervisningens praksis Matematiske begrebers forhold til virkeligheden Matematiske begreber og deres repræsentationer En model for dannelse af matematiske begreber Hvad er viden? – en netværksmetafor Følelsesmæssige sider af matematiklæring

En scene fra matematikundervisningen - differentialkvotienten til f(x)=x2 L: Først danner vi differenskvotienten. (Læreren skriver på tavlen) L: Og så reducerer vi.

L: Nu kan vi lade x går mod x0 L: Nu kan vi lade x går mod x0. Og så går differenskvotienten mod differentialkvotienten. Vi får: for L: Differentialkvotient for x2 er altså 2x0 i x0. Og da vi kan vælge x0 frit betyder det, at differentialkvotienten til x2 over alt er 2x. Det skriver vi sådan: eller for alle x E: Jeg forstår ikke, hvordan du kom frem til x0 + x0 L: Forstår du ikke, at faktoren (x- x0) kan forkortes ud i denne brøk (læreren peger på brøken på tavlen)?

E: Jo, men hvordan kom du frem til den brøk?   L: Forskellen på to tals kvadrater er produktet af tallenes differens og tallenes sum. Læreren regner på tavlen: E: Ja, men det var jo x2 - xo2 du havde!   L: Ja, og hvad så? E: Hvordan fandt du på det? - jeg ville aldrig kunne have gjort det selv!

E: Jeg forstår ikke det med x0 - hvad er x0 egentlig?   L: x0 er et vilkårligt valgt fast tal. E: Jamen, hvad er x så? L: x kan vi varierer frit på, når vi lader x gå mod x0 . x0 kan vi skifte ud med et vilkårligt tal f.eks. 3. Hvis du gør det hele vejen gennem beviset får du:  E: Hvorfor skriver du så til sidst? L: Det er fordi vi kan vælge x0 helt frit. Det bevis her gælder for alle mulige værdier af x0, og derfor skriver vi bare: E: Vil det sige, at x0 = x? …….

er komplekst! 2. Matematiske begrebers forhold til virkeligheden Differenskvotient som mål for gennemsnitshastighed Differentialkvotient som mål for momentan hastighed Generelt: Gennemsnitlig ændring og momentan ændring Skiene tangerer pisten

3. Matematiske begreber og deres repræsentationer en funktion dens repræsentationer funktionsbegrebet f(x) = x2 , x R

Forskellige repræsentationer af differentialkvotient

6 4 2 y x0 x -2 -4 -6 -2 -1 1 2 3 4 x

6 4 2 y x0 x -2 -4 -6 -2 -1 1 2 3 4 x

6 4 2 y x0 x -2 -4 -6 -2 -1 1 2 3 4 x

6 4 2 y x0 -2 -4 -6 -2 -1 1 2 3 4 x

6 4 2 y x x0 -2 -4 -6 -2 -1 1 2 3 4 x

6 4 2 y x x0 -2 -4 -6 -2 -1 1 2 3 4 x

6 4 2 y x x0 -2 -4 -6 -2 -1 1 2 3 4 x

4. En model for dannelse af matematiske begreber Procesforståelse går forud for objektforståelse.   Begrebsdannelsensprocessen har en hierarkisk struktur med tre faser: internalisering, kondensering og tingsliggørelse. Samspil mellem at opfatte et begreb som en proces og et selvstændigt objekter er afgørende i matematiklæring. (Anna Sfard, 1991)

Fra funktion til afledet funktion f’(x) som nyt objekt at differentiere begribelse af processen afledet funktion f(x) som objekt funktionen som et hele begribelse af processen funktion som begreb differential- kvotient i et punkt beregning af funktion- værdier variable

- grafisk repræsentation Tangenthældningerne fastlægger en ny funktion Afledede funktion - grafisk repræsentation Karakterisering af en funktion ved tangenthældning Procesforståelse, betingelserne for tangenthældning Graf som objekt Bestemmelse af tangenthældning i et punkt

- algebraisk repræsentation Differentiation fastlægger en ny funktion Afledede funktion - algebraisk repræsentation Udledning af differentialkvotient for en funktion Funktionsudtryk som objekt Procesforståelse, betingelserne for differentiabilitet Bestemmelse af differentialkvotient i et punkt

Differentiation forudsætter forståelse af funktionsbegrebet.  Principielle vanskeligheder ved differentialregning Differentiation forudsætter forståelse af funktionsbegrebet. Grænseværdi er kognitivt set et svært begreb. Differentiation er defineret punktvis (lokalt), men anvendes globalt. Forståelse kræver skift mellem algebraiske, geometriske og numeriske beskrivelsesformer. Differentiation har ofte høj algebraisk kompleksitet.

Regneregler for differentiation En konstant kan ”sættes uden for” differentiation: Hvert led differentieres for sig: Produktreglen:

Differentiation af en brøk af funktioner Differentiation af sammensat funktioner (kædereglen):

Nogle vigtige funktioner og deres afledede funktioner

5. Hvad er viden? – en netværksmetafor

Begrebskort for differentialkvotient Funktions- forskrift Sekant graf Regneregler for diff. Afledet funktion Differens- kvotient Tangent Differen- tiabilitet Gennemsnits- hastighed Momentan- Hastigheds- funktion Differential- ligning Vækst- modeller Sted- funktionen Differential- kvotient

6. Følelsesmæssige sider af matematiklæring Det kan være svært at se en personlig mening med matematik. Det opleves meget tydeligt, når der er noget man ikke forstår. Det er svært at kommunikere om det man ikke forstår. Ny forståelse og erkendelse opleves som personlig succes og mangel på samme som personlig fiasko. At være god til matematik opleves som et enten eller. Matematikfaget har en sorterende og disciplinerende rolle i uddannelsessystemet.

Referencer Arcavi, A., 1994: Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics. For the Learning of Mathematics, 14, 3 (Nov.), 24-35. Blomhøj, M., 1997: Funktionsbegrebet og 9. klasse elevers begrebsforståelse. Nordisk MatematikkDidaktikk, nr.1, juni 1997, 7-29.  Blomhøj, M., 1995: Den didaktiske kontrakt i matematikundervisningen. Nämnaren, 4. årg. nr. 3, 16-25. Dubinsky, E. & M.A. Mcdonald (2001): APOS: A constructivist theory of learning in undergraduate mathematics education research. I Holton, D. (Ed.): The teaching and learning of mathematics at university level: An ICMI-study, 275-282, Dordrecht, Kluwer. Brousseau, G. , 1997: Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht, Kluwer. Sfard, A., 1991. On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36. Stienbring, H., 1987: Routine and meaning in the mathematics classroom. For the Learning of Mathematics, 9, nr. 1, 24-33. Skovsmose, O. & M. Blomhøj (red.), 2003: Kan det virkelig passe? om matematiklæring. København, L&R Uddannelse.

Tall, D. , 1996: Functions and Calculus Tall, D., 1996: Functions and Calculus. I International handbook of mathematics education, A.J. Bishop et al. (eds.), 289-325, Dordrecht, Kluwer. Tall, D., 1992: The transition to advanced mathematical thinking: functions, limits, infinity, and proof. I Handbook of research on mathematical teaching and learning. D.A. Grows (ed.), NCTM, Macmillan Publ. co. USA. Tall, D. & Vinner, S., 1981: Concept image and concept definition in mathematics, with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151-169. Vinner, S. & T. Dreyfus, 1989: Images and definitions of the concept of function. Journal for Research in Mathematics Education, 20, 356-366.

Nogle opgaver til at tage med hjem 1. Om en funktion f(x) vides at f(-x) = f(x) for alle x, og at f’(2)=2. Hvad er f’(-2)? 2. Lav en forskrift for en funktion, der har sin egen afledet som tangent i punktet (1, f(1)). 3. En differentiabel funktion har følgende funktionstabel Skitser grafen for den afledede funktion.