Naturvidenskab 1 TalentWeek 2013

Program Intro Ligningssystemer Hvad er matematik? Andengradsligninger Kort om tal og bogstaver Mængder og funktioner Brøkregning Polynomier Potensregning Grænseværdier Kvadratsætninger Differentialregning Ligningsløsning

Intro – om undervisningen Form Målsætning Teori (forelæsning) Jeg skal ikke kunne svare Eksempler (instruktion) I skal sættes af… Opgaver (øvelse) Udfordring Forståelse Tempo I styrer tempoet! Progressivt niveau

Så er der Test! Grundlæggende færdigheder

Hvad er matematik? Hvad mener du?

Matematik Ikke bare regning Det er ikke en praktisk metode eller udenadslære Logik – et skridt af gangen Aksiomer, sætninger og beviser (matematikkens træ) Sandhed – modsætning til fysik

Matematik er almene love baseret udelukkende på fornuft. Matematik – helt kort Matematik er almene love baseret udelukkende på fornuft.

Et eksempel… Hvor gamle er Frederik og Kirsten? Kirsten er 17 år ældre end Frederik og om 4 år er Frederik halvt så gammel som Kirsten, men hvor gamle er de to børn i dag?

Kort om tal og bogstaver Når tal bare ikke er nok…

Tal og bogstaver Vi bruger tal i det konkrete tilfælde Vi bruger bogstaver, når vi vil sige noget generelt (abstrakt) Eksempel: Bevis for Pythagoras’ sætning.

Brøkregning

Udtryksanalyse Hvad er et led? Hvad er en faktor? Vi multiplicerer og dividerer før vi adderer og subtrahere pr. definition Alternativt: Led skal løses individuelt Brug af parenteser

Hvad er en brøk? En brøk er blot et divisionsstykke Brøker angiver andele af hele Tæller og nævner Implicitte parenteser De fire regnearter Addition, subtraktion, multiplikation, division

Opgaver Start med opgave 1 og 2 Løs alle opgaver i 3 og 4 Hvis det er let, er det ikke nødvendigt at lave alle opgaver. Løs alle opgaver i 3 og 4 Opgave 5 er til ekstra udfordring

Potensregning

Hvad er en potens? Består af en rod og en eksponent POTENSREGNEREGLER 𝑎 𝑝 ∙ 𝑎 𝑞 = 𝑎 𝑝+𝑞 𝑎 𝑝 𝑎 𝑞 = 𝑎 𝑝−𝑞 𝑎 𝑝 ∙ 𝑏 𝑝 = 𝑎∙𝑏 𝑝 𝑎 𝑝 𝑏 𝑝 = 𝑎 𝑏 𝑝 𝑎 𝑝 𝑞 = 𝑎 𝑝∙𝑞 𝑎 0 =1 𝑎 −𝑝 = 1 𝑎 𝑝 𝑝 𝑎 = 𝑎 1 𝑝 𝑞 𝑎 𝑝 = 𝑎 𝑝 𝑞 Består af en rod og en eksponent Hvad betyder notationen Gennemgang af potensregneregler Opgaver

Opgaver Start med opgave 1, der handler om det grundlæggende POTENSREGNEREGLER 𝑎 𝑝 ∙ 𝑎 𝑞 = 𝑎 𝑝+𝑞 𝑎 𝑝 𝑎 𝑞 = 𝑎 𝑝−𝑞 𝑎 𝑝 ∙ 𝑏 𝑝 = 𝑎∙𝑏 𝑝 𝑎 𝑝 𝑏 𝑝 = 𝑎 𝑏 𝑝 𝑎 𝑝 𝑞 = 𝑎 𝑝∙𝑞 𝑎 0 =1 𝑎 −𝑝 = 1 𝑎 𝑝 𝑝 𝑎 = 𝑎 1 𝑝 𝑞 𝑎 𝑝 = 𝑎 𝑝 𝑞 Start med opgave 1, der handler om det grundlæggende Opgave 2 er en del sværere og kombinerer flere regler ad gangen Hvis man kan løse opgave 3, har man styr på potensregning

Kvadratsætninger

Kvadratsætninger Hvad er en kvadratsætning? Hvorfor hedder det en ”kvadratsætning” eller ”kvadratet af en toleddet størrelse”? De tre kvadratsætninger Eksempler

Opgaver Begynd med opgave 1-2; du behøver ikke løse alle opgaver, hvis det er let Regn alle opgaver i 3-4. Opgave 5 er en ekstra udfordring De tre kvadratformler 𝑎+𝑏 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 +2𝑎𝑏 𝑎−𝑏 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 −2𝑎𝑏 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 = 𝑎 2 − 𝑏 2

Ligningsløsning Når et udsagn er sandt…

Ligningsløsning En ligning er et udsagn (en påstand) Mål: Finde den/de værdier af variablen(e), der gør udsagnet sandt Grundmængden: hvilke værdier må variablen(e) antage? Teknik: udfør logiske omskrivninger, indtil variablen er isoleret De to sider af ligningen, skal påvirkes på præcis samme måde. Notation: x, y, z, … er variable, a, b, c, … er konstanter.

Eksempler 𝑥+13=20 6+𝑥 𝑥 =4 12 𝑥 = 4 𝑥+2 𝑥 2 +1=10 2𝑥+4 𝑥+2 =4 1 2 𝑥+4 𝑥−𝑏 =0

Opgaver Begynd med opgave 1-2; du behøver ikke løse alle opgaver, hvis det er let Regn alle opgaver i 3-4. Opgave 5 er en ekstra udfordring

Systemer af ligninger Flere løsninger??

Ligningssystemer Ligninger er restriktioner i problemer Variable er de værdier, vi søger at finde Substitutionsmetoden

Substitutionsmetoden 2𝑥+𝑦=3 4−2𝑦=3𝑥 4𝑦−𝑥−1=10 2𝑥+2𝑦=18

Problemløsning Hvor gamle er børnene? I en familie er der to børn, Christian og Marianne. Marianne er 10 år ældre end Christian og om 3 år er Christian halvt så gammel som Marianne, men hvor gamle er de to børn i dag?

Opgaver Begynd med opgave 1-2; du behøver ikke løse alle opgaver, hvis det er let Regn alle opgaver i 3-4. Opgave 5 er en ekstra udfordring

Andengradsligninger Ligninger med potenser!

Andengradsligninger Ligninger med potenser af den ubekendte Nulreglen - eksempler og opgaver Diskriminanten og løsningsformlen – eksempler, bevis og opgaver Substitution

Andengradsligninger 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 Ligninger på følgende form kaldes 2. grads ligninger: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 Disse ligninger kan ikke løses umiddelbart med den sædvanlige metode.

Nulreglen Eksempler: 𝑥 2 −2𝑥=0 2𝑥 2 −8𝑥+4=4

Diskriminanten og løsningsformlen Eksempler: 2 𝑥 2 +𝑥−1=0 4 𝑥 2 =𝑥−2 Bevis for løsningsformlen til andengradsligninger på formen 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑥= −𝑏± 𝑑 2𝑎 , hvor 𝑑= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 𝑥 2 +2𝑥−3=0 2 𝑥 2 +8𝑥+4=0

Substitution 𝑥 4 − 𝑥 2 −12=0 2𝑥 4 −5 𝑥 2 + 9 8 =0 ”Skjulte andengradsligninger” Eksempel: 𝑥 4 − 𝑥 2 −12=0 2𝑥 4 −5 𝑥 2 + 9 8 =0

Opgaver Begynd med opgave 1-2; du behøver ikke løse alle opgaver, hvis det er let Regn alle opgaver i 3-4. Opgave 5 er en ekstra udfordring

Mængder og funktioner Fra en kasse og over i en anden…

Mængder C A B

Elementer A a4 a1 a3 a6 a7 a2 a5 A={a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7}

A C c1 a1 c3 c2 a2 c5 a3 c4 Funktioner 𝑓:𝐴→𝐶 𝑓 𝑎 1 = 𝑐 1 𝑓 𝑎 2 = 𝑐 4 𝑓 𝑎 1 = 𝑐 1 c3 c2 a2 𝑓 𝑎 2 = 𝑐 4 c5 a3 c4 𝑓 𝑎 3 = 𝑐 2

A C 1 2 14 3 4 9 7 6 Tal som elementer 𝑓:𝐴→𝐶 Hvad gør funktionen?? 𝑓 1 =2 14 3 𝑓 7 =14 4 9 7 𝑓 3 =6 6 Hvad gør funktionen??

Definitions- og dispositionsmængde A C 1 2 4 14 7 3 𝑓:𝐴→𝐶 9 6 Funktionen f vælger elementer i C ud fra elementerne i A. f har således elementer i A, og kun i A, til rådighed – vi siger, at f er defineret for elementerne i A og A kaldes definitionsmængden. f skal frembringe elementer i C, og kun i C, vi siger at f har C til disposition og C kaldes dispositionsmængden.

Funktionsudtryk/forskrifter Vi vil nu opstille et udtryk for f, således vi kan tildele/finde et element i dispositionsmængden til ethvert vilkårligt element i definitionsmængden. Et sådant udtryk kaldes en forskrift. Et vilkårligt element i definitionsmængden betegnes: x Det endnu ukendte element i dispositionsmængden, som f vælger ud fra x, betegnes: y Analogt til tidligere notation kan vi mere generelt skrive: 𝑓 𝑥 =𝑦

Funktionsudtryk/forskrifter Vi har nu brug for at specificere funktionen. Idet vi ved at vi kan finde elementer i dispositionsmængden ved at benytte funktionen på elementer i definitionsmængden, altså y = f(x), må vi nødvendigvis spørge hvad funktionen gør ved elementerne i definitionsmængden, altså: f(x)=? Lad os derfor betragte det tidligere eksempel (næste slide)

A C 𝑓:𝐴→𝐶 1 3 21 3 15 7 7 9 Hvad er forskriften for funktionen f?

A B 𝑓:𝐴→𝐵 1 2 3 6 5 4 D C 𝑔:𝐷→𝐶 4 4 5 9 9 5

K L ℎ:𝐾→𝐿 2 7 6 4 D C 𝑓:𝐶→𝐷 12 7 6 5 9 6

A B 6 7 6 5 ℎ:𝐵→𝐴 1 2 3 3 9 4 C D 𝑔:𝐷→𝐶 9 8 20 3 6 10 11 13 9 14

A B 𝑓:𝐴→𝐵 𝑓 𝑥 =4𝑥+3 C D 𝑘:𝐶→𝐷 𝑘 𝑥 = 2𝑥+𝑥 2

Flere mængder (talmængderne) For at kunne anvende funktioner i praksis skal vi bruge flere, større mængder. De naturlige tal ℕ De hele tal ℤ De rationelle tal ℚ De reelle tal ℝ De irrationelle tal ℝ\ℚ Komplekse tal? ℂ ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ

Mængder og funktioner, opgaver En bil kører ud af en vej med en konstant hastighed på 75 km/t. Definer en funktion, f(t), der beskriver hvor langt bilen er nået som funktion af tiden, t. Anne og Peter løber om kap på en bane. De tager begge skridt af 1,7 meter, men Peter tager sine skridt 1,3 gange så hurtigt som Anne. Anne starter 12 meter inde på banen, mens Peter starter fra starten. Definer en funktion, A(x), der angiver hvor langt Anne er kommet på banen som funktion af antal skridt, x, hun har taget. Definer en funktion, P(x), der angiver hvor langt Peter er kommet, som funktion af antal skridt, x, Anne har taget. Hvor mange skridt når Anne at tage inden Peter har indhentet hende?

Polynomier En funktionsgruppe

Polynomier Grad 1. grads polynomier 2. grads polynomier Højere grad

1. og 2. grads polynomier 𝑃 1 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 𝑃 2 𝑥 =a 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐

1. og 2. grads polynomier 𝑃 1 𝑥 =3𝑥+2 𝑃 2 𝑥 = 𝑥 2 −3

𝑃 1 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 𝑃 2 𝑥 =a 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 𝑃 3 𝑥 =a 𝑥 3 +𝑏 𝑥 2 +𝑐𝑥+𝑑 3. og 4. grads polynomier 𝑃 1 𝑥 =𝑎𝑥+𝑏 𝑃 2 𝑥 =a 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 𝑃 3 𝑥 =a 𝑥 3 +𝑏 𝑥 2 +𝑐𝑥+𝑑 𝑃 4 𝑥 =a 𝑥 4 +𝑏 𝑥 3 +𝑐 𝑥 2 +𝑑𝑥+𝑒

3. og 4. grads polynomier 𝑃 3 𝑥 = 1 2 𝑥 3 −3 𝑥 2 +𝑥+10 𝑃 3 𝑥 = 1 2 𝑥 3 −3 𝑥 2 +𝑥+10 𝑃 4 𝑥 = 1 4 𝑥 4 − 𝑥 3 −5 𝑥 2 +5𝑥

Matematisk analyse Ekstrema, optimum, græseværdier, osv.

Et 1. grads polynomiums hældning Hvad betyder hældning? 𝑎= ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1

Hvad er hældningen så nu??

Grænseværdier Når noget er - uden at være…

Grænseværdier Intuitiv, beskrivende definition: En grænseværdi for en funktion er den værdi funktionen nærmer sig, når variablen nærmer sig (går mod) et bestemt punkt. Eksempel: for funktionen f(x)=2x+3, vil vi undersøge hvad grænseværdien er, når x nærmer sig 4.

Grænseværdier, eksempler Bestem grænseværdien for 𝑓 𝑥 =2𝑥+1 for 𝑥→0. 𝑓 𝑥 =𝑥−2 for 𝑥→2 Bestem grænseværdierne for 𝑓 𝑥 =23 for 𝑥→4

Grænseværdier: lidt præcisering Definition: Antag at 𝑓 𝑥 er defineret for alle x omkring a, men ikke nødvendigvis for 𝑥=𝑎. Vi siger da at 𝑓 𝑥 har tallet b som grænseværdi, når 𝑥 går mod 𝑎, hvis 𝑓 𝑥 nærmer sig 𝑏 når 𝑥 går mod 𝑎 (men aldrig bliver lig 𝑎). Med matematik notation skriver vi: lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) =𝑏 eller 𝑓 𝑥 →𝑏 for 𝑥→𝑎

Grænseværdier: eksempler En funktion 𝑓:ℝ→ℝ er givet ved 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 +4𝑥+2 Bestem lim 𝑥→5 𝑓 𝑥 En funktion 𝑔: ℝ + →ℝ er givet ved 𝑔 𝑥 = 𝑥+1 −1 𝑥 Bestem lim 𝑥→0 𝑔 𝑥

Grænseværdier: ”uendelighed” Ikke alle funktioner har grænseværdier for alle x. Når en funktion ikke har en grænseværdi, siger vi at den divergerer. Eksempel: Undersøg værdien af: lim 𝑥→∞ 1 1−𝑥 2 lim 𝑥→1 1 1−𝑥 2

Grænseværdier På teoretisk matematik går vi blandt andet i dybde med, hvad vi egentlig mener, når vi siger 𝑓 𝑥 →𝑏 for 𝑥→𝑎 Vi beskæftiger os altså med, hvor tæt 𝑥 skal vælges på 𝑎, før 𝑓 𝑥 er tilstrækkeligt tæt på 𝑏. Vores arbejde munder ud i en forståelse af udtrykket ∀𝜀>0 ∃𝛿>0: 𝑓 𝑥 −𝑏 <𝜀 for alle x med 𝑥−𝑎 <𝛿

Differentialregning Hældning i et punkt..!?

Differentialregning Løsningen på hældningsproblemet Definition Definitionen er en generalisering Eksempler Opgaver 1 Polynomier er sumfunktioner Regneregler og beviser herfor Opgaver 2 Når de afledede er funktioner..!??

Løsningen på problemet

Newtonbrøk 𝑓 ′ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥) ℎ

Differentiering af polynomier 𝑃 𝑥 =5 𝑥 4 +2 𝑥 3 +4 𝑥 2 +3𝑥+7

Funktioner med koefficienter 𝑓 𝑥 =3 𝑥 2 Hvordan opfører koefficienter sig, når vi differentierer?

Funktioner med koefficienter Vi betragter først et mere generelt tilfælde: 𝑓 𝑥 =𝑘 𝑥 2 Vi betragter nu det helt generelle tilfælde: 𝑓 𝑥 =𝑘∙𝑔(𝑥) Og vi vil vise at: 𝑓 𝑥 =𝑘∙𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 =𝑘∙𝑔′(𝑥)

Polynomier er sumfunktioner Koefficienter Konstanter Leddene kan enkeltvis betragtes som funktioner, og vi kan derfor skrive: 𝑃 𝑥 =4 𝑥 2 +3𝑥+7 Led

Polynomier er sumfunktioner 𝑃 𝑥 =4 𝑥 2 +3x+7 ⇕ 𝑃 𝑥 =𝑔 𝑥 +ℎ 𝑥 +𝑞(𝑥) hvor 𝑔 𝑥 =4 𝑥 2 ℎ 𝑥 =7𝑥 𝑞 𝑥 =7

Sumfunktioner Sætning 1: Hvis f(x) og g(x) begge er differentiable i punktet x, da er F(x) = f(x) + g(x) også differentiabel i x med differentialkvotienten F’(x) = f’(x) + g’(x). Sætning 2: Hvis f(x) og g(x) begge er differentiable i punktet x, da er F(x) = f(x) - g(x) også differentiabel i x med differentialkvotienten F’(x) = f’(x) - g’(x).

Produktfunktioner Vi kan formulere en tilsvarende sætning for den afledede af en funktion, som er et produkt af to andre funktioner. Vi får Sætning 3 Lad 𝑓 1 𝑥 og f 2 𝑥 være to funktioner, der begge er differentiable i 𝑥 0 ∈ℝ. Da er 𝐹 𝑥 = 𝑓 1 𝑥 ⋅ 𝑓 2 𝑥 også differentiable i 𝑥 0 med afledede 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓 1 ′ 𝑥 ⋅ 𝑓 2 𝑥 + 𝑓 1 𝑥 ⋅ 𝑓 2 ′ 𝑥

Potensfunktioner 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑎 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 =𝑎⋅ 𝑥 𝑎−1 Vi viser, følgende formel for den afledede af 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑎 , når 𝑎∈ℕ 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑎 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 =𝑎⋅ 𝑥 𝑎−1 Formlen gælder for alle 𝑎∈ℝ, med det vil vi ikke vise her.

Opsummering Regneregler for differentiation 𝑓 𝑥 =𝑘⋅𝑔 𝑥 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 =𝑘⋅ 𝑔 ′ 𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑓 1 𝑥 + 𝑓 2 𝑥 ⇒ 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓 1 ′ 𝑥 + 𝑓 2 ′ 𝑥 𝐹 𝑥 = 𝑓 1 𝑥 − 𝑓 2 𝑥 ⇒ 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓 1 ′ 𝑥 − 𝑓 2 ′ 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑎 ⇒ 𝑓 ′ 𝑥 =𝑎⋅ 𝑥 𝑎−1

De afledede som funktioner 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +3𝑥−1 ⇓ 𝑓 ′ 𝑥 =2𝑥+3 𝑓 ′′ 𝑥 =2

De afledede som funktioner 𝑓 𝑥 =4 𝑥 2 +2𝑥−2 𝑓′ 𝑥 =8𝑥+2 𝑓′′ 𝑥 =8

Fortolkning f(x) er en given funktion f’(x) er en funktion, der beskriver hældningen af f(x) i et givent punkt x. f’’(x) er en funktion, der beskriver hældningen af f’(x) i et givent punkt x og fortæller noget om vækstaccelerationen for f(x). (inddrag f’’(x)>0 og f’’(x)<0)