Differentialregning Cecilie

Hvad er differentialregning? Hvor hurtigt en funktion vokser/aftager i et bestemt punkt Funktioner som er kontinueret og differentiabel f’ Kan bruges til funktionsundersøgelse Ekstremaer Monotoniforhold Sekanter og tangenter Vendetangent

Betydning af f’ Formel f(x) = axn f’(x) = n ∙ axn-1 Når der er tale om f’ så vil det sige, at f’ er tangentens hældning i x-værdien. Når der er tale om en funktion f(x), så vil den afledende funktion være f’(x).

Kontinueret og differentiabel Man kan bruge kontinueret og differentiable funktioner, da de har bløde kurver.

Sekant En sekant er en ret linje, der skærer grafen for en funktion i to punkter. Man kan tegne sekanten ved at tegne de to punkter på grafen og (vha. en lineal) tegne linjen gennem dem.

Tangent En tangent er også en ret linje. Men i modsætning til en sekant, så rører en tangent kun funktionsgrafen i ét punkt. Tangenten smyger sig op af grafen.

Vendetangent

Tillægsspørgsmål Redegør for hvordan man kan fastlægge tangentens ligning i et punkt på en funktion

Nspire – Tangentline Hvis man vil bruge Nspire til at fastlægge tangentens ligning, kan man bruge tangentline. Først skal du definere den givende funktion, og derefter vælge ”matematikfelt”. Så går man over i katalog og vælger det der hedder tangentline.

Manuel – Formel 103 Tx0: y= f’(x0) ∙ (x – x0) + f(x0) Eksempel – Tangent i punktet (1,f(1) for funktionen f(x)=-x4+3x3+2x2-x f’(x) = -4x3+9x2+4x-1 f(1) = -1 ∙ 1 + 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 - 1 ∙ 1 = 3 f’(1) = -4 ∙ 1 + 9 ∙ 1 + 4 ∙ 1 -1 = 8 Tx0: y = 8 ∙ (x-1) + 3 = 8x -5

Bevis for formel 103 𝑥 1 , 𝑦 1 og 𝑥 2 , 𝑦 2 𝑎= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 Når man kender to punkter 𝑥 1 , 𝑦 1 og 𝑥 2 , 𝑦 2 på en ret linje, kan vi bestemme hældningen for linjen altså a, vha. formlen: 𝑎= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 Tangenten er en ret linje i et punkt derfor kan vi bestemme et udtryk for tangentens hældning, når vi har to punkter, som ligger på tangenten. Derudover vælger vi et andet vilkårligt punkt 𝑥,𝑦 , som også ligger på tangenten. Så vil vores punkter altså hedde:   Vi vil isolere y i denne ligning: 𝑦− 𝑦 0 𝑥− 𝑥 0 =𝑎 𝑦− 𝑦 0 =𝑎∙ 𝑥− 𝑥 0 𝑦=𝑎∙ 𝑥− 𝑥 0 + 𝑦 0 Da 𝑦 0 = 𝑓( 𝑥 0 ), og tangentens hældningskoefficient 𝑎= 𝑓 ′ 𝑥 0 når vi frem til formlen: 𝑦= 𝑓 ′ 𝑥 0 ∙ 𝑥− 𝑥 0 +𝑓( 𝑥 0 )