Mængder: Begreber og notation Definition En mængde er en afgrænset samling af elementer. Eksempel A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 3  A (“3 er et element i A” – “3 tilhører A”) 0  A (“0 er ikke et element i A” – “0 tilhører ikke A”) Ø er den tomme mængde: Ø = { } FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder: Begreber og notation Eksempel A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } Eller A = { x | x er et heltal mellem 1 og 9 } A = { x | x er et heltal og 1  x  9 } “Mængden af x hvorom det gælder” FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder: Begreber og notation “Mængden af ulige tal?” Eksempel B = { 3, 5, 7,… } Eller B = { x | x er et ulige tal større end 1 } B = { x | x er et ulige tal og x > 1 } “eller mængden af primtal?” FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Delmængder A = B hvis x  A  x  B A  B hvis x  A  x  B (A er en delmængde af B) A  B hvis A  B og A  B (A er en ægte delmængde af B) FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Talmængder N = de naturlige tal = {1,2,3,4,5,...} N0 = {0,1,2,3,4,....} Z = de hele tal = { ...-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Q = de rationale tal = { q | q = n/m og n og m er heltal } (“brøker”) R = de reelle tal [ 3..8 ] = { 3,4,5,6,7,8 } Der gælder : [ 3..8 ]  N  N0  Z  Q  R FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Grundmænge (univers) U er en grundmængde (Univers), som indeholder alle relevante elementer. U fremgår ofte af sammenhængen, ellers må den anføres: A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } = {x  N | x < 10 } C = {x  B | x  11 } (hvor B = { 3, 5, 7,… }) FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Mængdeoperationer I Lad U være en eller anden grundmængde: Fællesmængde: A  B = { x  U | x  A  x  B } (hvis A  B = Ø, så siges A og B at være disjunkte) Foreningsmængde: A  B = { x  U | x  A  x  B } FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Mængdeoperationer II Differensmængde: A - B = { x  U | x  A  x  B } (Skrives også som A \ B ) Komplementærmængde: A = { x  U | x  A } = U - A (Der findes andre skrivemåder: Fx: A, eller hos Martin: A’ ) FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængdeoperationer – Venn-diagrammer Find fejlen! FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Mængdeoperationer IV U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = [0..9] A = {2,4,6,7,8} B = {1,2,3,4,9} A  B = { 2,4 } A  B = { 1,2,3,4,6,7,8,9 } A - B = { 6,7,8 } B - A = { 1,3,9 } A = A’ = { 0,1,3,5,9 } B = B’ = { 0,5,6,7,8 } FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Regneregler for mængdeoperationer Kommutative love: A  B = B  A A  B = B  A Associative love: A  (B  C) = (A  B)  C A  (B  C) = (A  B)  C Distributive love: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Regneregler for mængdeoperationer Idempotente love: A  A = A A  A = A Absorbative love: A  (A  B) = A A  (A  B) = A De Morgan’s love: (A  B)’ = A’  B’ (A  B)’ = A’  B’ (kendes muligvis fra Boolsk algebra) FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Regneregler for mængdeoperationer Andre formler vedr. komplementærmængde: (A’)’ = A A  A’ = Ø A  A’ = U Andre formler vedr. den tomme mængde: A  Ø = Ø A  Ø = A Andre formler vedr. grundmængden (universet): A  U = A A  U = U FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Symmetrisk mængdedifferens Den symmetriske mængdedifferens (AB) defineres ved: A  B = (A – B)  (B – A) A B A-B B-A FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Mængdeoperationer VI Formlerne kan generaliseres Fællesmængde: A  B  C = { x  U | x  A  x  B  x  C } Foreningsmængde: A  B  C = { x  U | x  A  x  B  x  C } FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Mængdeoperationer VI Formlerne kan generaliseres endnu mere Fællesmængde: n ∩ Ai = { x  U | x  Ai for alle i mellem 1 og n} i=1 Foreningsmængde:  Ai = { x  U | x  Ai for mindst eet i mellem 1 og n} Tænk for-loop FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Mængdeproduktet A  B = {(a, b) | a  A  b  B } R  R kan opfattes som planen. R  R  R kan opfattes som rummet. Anvendes f.eks. indenfor teorien for relationsdatabaser. FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Potensmængder P(A) er mængden af alle delmængder af A. Martin’s notation: 2A, fordi antal elementer i 2A = 2n, hvis A har n elementer. Et eksempel: P({1,2,3}) ={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} Hvorfor? FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Multimængder eller Bags En multimængde er en mængde, som kan indeholde det samme element flere gange. Det, som interesserer os, er hvor mange gange et element findes i multimængden. Der findes forskellige præcise definitioner af multimængder, fx: FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder ”Sække” Definition: En sæk S over A er en afbildning fra A til N. Lad S, S1, S2 være sække over A. For a  A skriver vi a  S såfremt S(a) > 0. Vi skriver S1  S2 hvis S1(a) ≤ S2(a) for alle a  A . Vi definerer S1  S2 ved (S1  S2 )(a) = S1(a) + S2(a) for alle a  A. Vi definerer S1 ∩ S2 ved (S1 ∩ S2 )(a) = min{S1(a); S2(a)} for alle a  A . Vi definerer Ø, den tomme multimængde over A, ved Ø(a) = 0 for alle a  A. FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Øvelser Navngiv 8 forskellige regioner vha. mængdeoperationerne. A B C FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder

Mængder og multimængder Øvelser - fortsat Vis nogle af regnereglerne for mængdeoperationer på slide 11- 13 vha. Venn-diagrammer. Brug Venn-diagrammer eller regneregler til at forsimple følgende udtryk (A og B er mængder): A - (A - B) A - (A  B) (A  B) – A (A’  B’)’ (A’  B’)’ MNR 1.1 FEN 2013-01-23 Mængder og multimængder