Sandsynligheder Udfald og hændelser Sandsynligheder Additionsreglen

Præsentationer af emnet: "Sandsynligheder Udfald og hændelser Sandsynligheder Additionsreglen"— Præsentationens transcript:

1 Sandsynligheder Udfald og hændelser Sandsynligheder Additionsreglen Betinget sandsynlighed Multiplikationsreglen

2 Udfald og hændelser De mulige udfald (elementer)
udgør udfaldsrummet (mængde). Eks: antal fremspirede frø ud af 50: Udfaldsrum: U = {0, …, 50} En hændelse er en delmængde af U, fx Ex: Hændelsen A: ”mindst 10 frø spirer” er A= {10, 11, … , 50}

3 Sandsynligheder P(A) = Sandsynlighed for at hændelsen A indtræffer
Teoretisk sidestykke til relativ hyppighed: hvor X er antallet af gange A indtræffer i n forsøg.

4 Eksempel Kast med en terning, antal øjne:
… Hændelse A= {2,4,6} (lige antal øjne) Relativ hyppighed af A er her 9/16= Sandsynligheden for A er 0.5 hvis vi antager at antal øjne i et kast er ligefordelt. Relativ hyppighed ændrer sig (tilfældigt) med antal kast. Sandsynligheden er derimod uændret.

5 Additionsregel Ssh for at mindst en af en række hændelser
(A, B, …) indtræffer er summen af ssh for hver af dem, dvs. = P(A) + P(B) + ... HVIS hændelserne udelukker hinanden (ingen fælles mulige udfald)

6 Additionsreglen som ikke gælder
Eks: Hvis ssh for at salmonella findes i en kylling er 0.03, hvad er så ssh for at finde salmonella i mindst en kylling ud af 5? Svar: … = 0.15 FORKERT!! Fejl, fordi hændelserne ikke udelukker hinanden. Rigtigt: 1 – 0.975 (ifølge multiplikationspincippet)

7 Betinget sandsynlighed
Betinget ssh. af A givet B: P(A|B) = P(A og B)/P(B) Hændelser, A og B, kaldes uafhængige, hvis P(A|B) = P(A) som også kan skrives P(A og B) = P(A)P(B).

8 Multiplikationsreglen
Sandsynligheden for at en følge af hændelser (A, B, C, …) alle indtræffer er produktet af deres sandsynligheder, altså P(A og B og C) = P(A)P(B)P(C) … HVIS hændelserne er uafhængige!!

9 Binomialfordelingen Hvornår bruges den? Beregninger Formler

10 Binomialfordelingen - typiske eksempler
Antal dyr med en bestemt sygdom i en stikprøve. Antal døde celler ud af 100 celler observeret i et mikroskop. Antal afkom med genotype aa ud af 4 fra et forældrepar med genotyper (Aa x Aa). Antal ...ud af ...

11 Anvendelse Binomialfordelingen anvendes som model for
antallet af gange en hændelse indtræffer ud af et bestemt antal forsøg. X= antal hunde som har adfærdsproblemer ud af 58 X binomialfordelt (n=58, p), hvor p er ukendt. Forudsætning 1: Uafhængighed Forudsætning 2: Homogenitet (samme p hver gang)

12 Eksempel Antallet af besætninger med mastitis ud af n=40
Antallet af forsøgsdyr ud af n=10 på en bestemt diæt som vokser mere end 10% i en periode Antallet af dyr med mastitis i en besætning med n=200 dyr. Uafhængighed? Homogenitet?

13 Beregningseksempel Forekomst af salmonella i en population af kyllinger antages at være 10 %. Hvad er sandsynligheden for at tre kyllinger alle er inficeret? ingen af de tre kyllinger er inficeret? præcis 1 af 3 kyllinger er inficeret? Hvor mange kyllinger skal udtages for at man med 95% sikkerhed opdager at der findes salmonella i populationen?

14 Binomialfordeling: Formel
X binomialfordelt med antalsparameter n sandsynlighedsparameter p P(X=j) = nCj pj (1-p)n-j Eksempel (indsæt n=4, j=3, p=0.5): P(X=3) = 4C (1-0.5)4-3 = ... = 0.25

15 Poissonfordelingen Hvornår bruges den? Beregninger Formler

16 Poissonfordelingen - typiske eksempler
Antal tilfælde af en sjælden ikke-smitsom sygdom i løbet af et år. Antal bakteriekolonier talt i en petriskål. Antal hunde der ankommer til en veterinærklinik i løbet af et døgn Antal ...

17 Anvendelse Poissonfordelingen anvendes som model for
X= antallet af gange en hændelse indtræffer i en vis periode, eller et vist område (i tid eller rum). X Poissonfordelt (λ), hvor λ er ”middelværdien”. Forudsætning 1: Uafhængighed (ml disjunkte områder) Forudsætning 2: Homogenitet (samme sandsynlighed for forekomst i alle delområder af samme størrelse)

18 Beregningseksempel I gennemsnit ankommer 2 hunde om dagen til en veterinærklinik. Hvad er sandsynligheden for at der en bestemt dag ankommer netop 1 hund? Ingen ankommer?

19 Poissonfordeling: Formel
X Poissonfordelt med parameter λ P(X=j) = λj exp(-λ)/j! For j= 0,1, 2, ...

20 MPN-metoden 20 prøver af 1 ml opløst i forholdet 1: udtages og dyrkes på 20 plader. Man kan ikke se antallet af kolonier, men kun om prøven er positiv (mindst 1 koloni). Hvad er koncentrationen af bakterien (antal/ml efter fortynding og antal/ml inden fortynding), hvis 12 ud af de 20 prøver er positive? Kun model og metode – ingen beregninger her