Præsentation er lastning. Vent venligst

Præsentation er lastning. Vent venligst

Relationer En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion

Lignende præsentationer


Præsentationer af emnet: "Relationer En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion"— Præsentationens transcript:

1 Relationer En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion
En funktion f: A  B kan opfattes som en mængde af ordnede (a, b), hvor der til ethvert a  A eksisterer netop ét b  B, så f(a) = b. Dvs. f er en delmængde af A  B, som opfylder ovenstående begrænsning Denne definition kan generaliseres ved at fjerne begrænsningen og lade et element i A være relateret til 0 eller flere elementer i B og omvendt FEN Relationer

2 Definition af relationer
En relation R mellem mængderne A og B er en delmængde af A  B: R  A  B = {(a, b) A  B a A  b B} Ofte kikker vi på relationer, hvor A = B og så taler vi om en relation på A FEN Relationer

3 Eksempler a = b, hvor a A  b A: Generelt kan vi skrive
’=’ er en relation på A og vi kan skrive ”(a, b)  =” i stedet for ”a = b” Generelt kan vi skrive aRb i stedet for (a, b) R for en relation R på A. FEN Relationer

4 Relationer og grafer En relation kan repræsenteres med en orienteret graf (digraph: directed graph). Fx: A = {1, 2, 3, 4} R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(3,4),(4,1)} FEN Relationer

5 Ækvivalensrelationer
En relation R på en mængde A er en ækvivalensrelation, hvis den er: Refleksiv: a A (aRa) Symmetrisk: a, b A (aRb  bRa) Transitiv: a, b, c A ((aRb  bRc)  aRc) FEN Relationer

6 Øvelse (5 min.) = b) > c) 
Undersøg, hvilke af følgende relationer på de naturlige tal N: = b) > c)  Der er Refleksive Symmetriske Transitive FEN Relationer

7 Øvelse Og den her: Refleksiv? Symmetrisk? Transitiv? A = {1, 2, 3, 4}
FEN Relationer

8 Eksempel: kongruensrelation på de naturlige tal
Lad relationen ’4’ være defineret ved: a 4 b, hvis a-b er et multiplum af 4, hvor a{0, 1, 2, 3} eller præcist: (a 4 b) def (k  Z: (a - b)= k4) Fx er {0, 4, 8, 12, 16, …} kongruente (modulus 4) Er 4 en ækvivalensrelation? Refleksiv? Symmetrisk? Transitiv? Læses: Kongruent modulus 4 FEN Relationer

9 Klassedelinger (eng.: partition)
En klassedeling S1, S2,…, Sn af en mængde A er en samling af parvis disjunkte delmængder af A, hvis foreningsmængde er lig med A: A= (i| 1in: Si) hvor Si  A og Si  Sj = Ø for alle 1  i, j  n FEN Relationer

10 Klassedelinger og ækvivalensrelationer
En klassedeling af en mængde A definerer en ækvivalensrelation E på A, idet vi kan definere E: aEb  ”a og b tilhører samme klasse” Bevis: Først vises, at E er en ækvivalensrelation: 1) Refleksive? 2) Symmetrisk? 3) Transitiv? (Tænk på klasserne som ”spande”) FEN Relationer

11 Vi skal nu vise, at mængderne [a]E for a A er en klassedeling, dvs.
Bevis – fortsat Nu skal vi vise, at en ækvivalensrelation definerer en klassedeling: Lad [a]E betegne {x A xEa}, vi kalder [a]E ækvivalensklassen indeholdende a Vi skal nu vise, at mængderne [a]E for a A er en klassedeling, dvs. at foreningsmængden af alle ækvivalensklasserne er lig med A at ækvivalensklasserne er parvis disjunkte Ad 1: Vi skal vise, at ethvert element i A tilhører én af ækvivalensklasserne. Følger trivielt af definitionen af [a]E Ad 2: Øvelse (se Martin, s. 17) FEN Relationer

12 Relationer mellem n>2 mængder
En relation kan også defineres mellem mere end én eller to mængder: Givet mængder A1, A2, …, An. En relation mellem disse er da defineret som en delmængde af det kartetiske produkt mellem disse: R A1 A2  …  An eller R {(a1, a2, …,an)  a1 A1 a2  A2  …  an  An} En relation mellem n mængder er en mængde af n-tupler (et ordnet par er en 2-tuple, så en n-tuple er et ordnet ”par” med n elementer) FEN Relationer

13 Databaser som relationer
En databasetabel kan ses, som en relation mellem de domæner, som tabellen er defineret over: Hermed kan en database opfattes som en mængde af relationer, hvor en relation er en mængde af tupler. FEN Relationer

14 Egenskaber ved relationer:
Følger af, at en relation er en mængde i matematisk forstand: der ingen tuple, som optræder mere end en gang ( => der eksisterer altid en primærnøgle) tuplerne er uordnede (vertikalt) attributterne er uordnede (horisontalt) BEMÆRK FORSKELLE TIL TABELLER Afhænger af den præcise definition af mængdeprodukt FEN Relationer

15 Fordele Relationsdatabaser er baseret på en solid matematisk teori, hvilket muliggør, at man ræsonnere formelt om relationsdatabaser: Forespørgselssprog (relationsalgebra/prædikatslogik). Query-optimering (vise ækvivalens mellem forskellige forespørgsler). Normalisering (redundans undgås, og integritet kan sikres). Automatiske værktøjer. Mmm. FEN Relationer


Download ppt "Relationer En relation mellem to mængder er en generaliseret funktion"

Lignende præsentationer


Annoncer fra Google