Parabler, 2. gradspolynomier og 2.gradsligninger NB! Diasshowet skal afspilles! Anne Grethe Mølgaard Sct. Knuds Gymnasium 2014

Parabler, 2. gradspolynomier og 2.gradsligninger Anne Grethe Mølgaard Sct. Knuds Gymnasium 2013

Grundparabler Def. En grundparabel Pa er grafen for fa(x) = ax2, hvor a0 - til enhver a-værdi  0 hører altså en grundparabel Øvelse Tegn grafen for fa (x) = ax2 Leg med forskellige a-værdier - og noter, hvilke egenskaber grundparablen har. Hvilken betydning har a?

Grundparabler (fortsat) Egenskaber ved grundparabler 1 Pa er symmetrisk om linjen x = 0 (2.aksen) fa er en lige funktion, dvs. fa(-x) = fa(x) 2 Pa har (0,0) som toppunkt (vendepunkt) uanset værdi af a fa(0) = a02 = 0, og iflg. 1. er dette punkt toppunkt 3 Pa har fa har samme fortegn som a, da x2 0 4 Pa bliver stejlere jo større |a| er

Parabler & 2.gradspolynomier Def. Et 2.gradspolynomium er en funktion med forskriften f(x) = ax2 + bx + c, hvor a, b og c er konstanter og a  0. Øvelse Tegn grafen for g(x):= x2 + c i TI Prøv jer frem med forskellige c-værdier – hvilken betydning har c? Øvelse Tegn grafen for h(x):= ax2 + bx + c i TI Prøv jer frem med forskellige b-værdier – hvilken betydning har b?

Toppunktsformlen Sætn. Toppunktet for parablen med ligningen y = ax2 + bx + c er , d := b2 – 4ac T( , ) -b 2a -d 4a Bevis xT er toppunktets 1.koordinat og parablen er symmetrisk om linjen x = xT c er værdien i 0, og linjen y = c skærer dermed parablen i (0,c). Hvis toppunktet ikke ligger i (0,c), må der være et andet skæringspunkt P(x,c) mellem parablen og linjen y = c. (x,c) indsættes i parablens ligning, som løses mht. x. Symmetriaksen ligger midt mellem C og P, så xT må ligge midt mellem 0 og x, dvs.

eller Eksempler -2 5 -3 Toppunkt T

Toppunktsformlen (fortsat) Sætn. Toppunktet for parablen med ligningen y = ax2 + bx + c er , d := b2 – 4ac T( , ) -b 2a -d 4a indsættes i parablens ligning for at bestemme 2. koordinaten yT til toppunktet.

2.gradsligningen ax2 + bx +c = 0, a  0 d:= b2 - 4ac d > 0: 2 løsninger! d = 0: netop 1 løsning! d<0: Ingen løsninger! Øvelse Tegn grafen for h(x):= ax2 + bx + c i TII Bestem nulpunkterne for h, såvel ved beregning ud fra løsningsformlen, som ved grafisk aflæsning og brug af solve. Prøv med forskellige a, b og c-værdier. Stemmer det?

2.gradsligningen ax2 + bx +c = 0, a  0 ax2 + bx +c = 0 d<0: Ingen løsninger! da (.....)2  0 d0: 2 løsninger! for d > 0 Overvej at der heraf fås netop 1 løsning! for d = 0

Øvelse Løs nogle af de 2.gradsligninger, der optræder her – kontroller med grafværktøjet og solve.

Faktorisering af 2.gradspolynomium Def. r er rod i 2. gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c  p(r) = 0, altså når r er løsning til 2.gradsligningen p(x) = ax2 + bx + c =0 Sætn. 3 r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c  p(x) = a(x –r1)(x-r2)

Bevis for sætn.3 Faktorisering af 2.gradspolynomium   Vides r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c Skal vises: p(x) = a(x –r1)(x-r2) Benyt definition af rødder og løsningsformlen til 2.gradsligningen og Kvadratsætning (x – q)(x + q) = x2 – q2 Indsæt d = b2 – 4ac Kvadratsætning (x + q)2 = x2 + q2 + 2xq Indsæt i højresiden af p(x) = a(x –r1)(x-r2) Sæt på fælles brøkstreg Gang a ind i parentesen

Bevis for sætn.3 Faktorisering af 2.gradspolynomium   Vides p(x) = a(x –r1)(x-r2) Skal vises: r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c , dvs. at p(r1) = p(r2) = 0 Bestem hhv. p(r1) og p(r2) ved indsættelse i forskriften for p(x) p(r1) = a(r1-r1)(r1-r2) = a0(r1-r2) = 0 p(r2) = a(r2 -r1)(r2-r2) = a(r2-r1)0 = 0 r1 og r2 er altså rødder i p(x)

”Gætning” af rødder i en normeret 2.gradsligning Def. En normeret 2.gradsligning er en 2.gradsligning, hvor a = 1 Sætn. 4 r1 og r2 er rødder i en normeret 2.gradspolynomiet p(x) = x2 + bx + c  r1 + r2 = -b og r1r2 = c Bevis: Iflg. Sætn. 3 gælder at p(x) = (x –r1)(x-r2), da a = 1 p(x) = (x –r1)(x-r2)  x2 + bx + c = (x –r1)(x-r2)  x2 + bx + c = x2 – r2x – r1x + r1r2  x2 + bx + c = x2 – (r1+ r2)x + r1r2  x2 + bx + c = x2 – (r1+ r2)x + r1r2  b = – (r1+ r2) og c = r1r2

Tegning af parabler Fortsættes Sætn. 2 For en parabel gælder, at hvis man går 1 til højre fra toppunktet, skal man gå a op, derfra 1 til højre og 3a op, derfra 1 til højre og 5a op osv. Bevis: Da en parabel med ligningen y = ax2 + bx + c er en parallelforskydning af grundparablen y = ax2, er det nok at vise, at tegneanvisningen gælder for denne, idet punktet (0,0) i grundparablen forskydes over i toppunktet for den almene parabel. Fortsættes

O De ulige tal 1, 3, 5 osv. Vi skal vise, at y = (2n +1)a y = ax2 Vi skal vise, at y = (2n +1)a 2 4 6 8 10 -4 -2 O a(n+1)2 y = a(n+1)2 – an2 = y an2 a(n2 + 2n+1) – an2 = n n + 1 a(2n+1) n 1 2 3 4 y a 3a 5a 7a 9a