Differentialregning Mikkel, Frederikke, Nicolaj og Christian

Introduktion til Differentialregning F(x) skal have kurver og være kontinuert Bruges i biologi, astronomi og økonomisk Hvor hurtigt en funktion vokser/aftager i et bestemt punkt Differentialregning går ud på at man skal bestemme, hvor hurtigt funktioner vokser/aftager i det bestemte punkt, altså man vil bestemme hældningen af tangenten i det enkelte punkt. Man kan bruge differentialregning i hverdagen, f.eks. hos virksomheder, så de finder den bedste produktions mulighed ved omkostningerne, afsætningen samt indtægterne.

Redegørsel for differentiering af f(x) = 2x3 + 4x2 + 3x 3. el. 4. grad differentieres til 1. el. 2. grad f(x) = 2x^3 + 4x^2 + 3x f’(x)= 3*2x^(3-1)+2*4x^(2-1)+1*3x^(1-1) f’(x) = 6x^2+ 8x + 3 Funktionen er nu differentieret til: F’(x) defineres som en differentialkvotient, som bliver defineret ved en hældningskoefficient for en tangent i det bestemte punkt på grafen. For differentialregning er det vigtigt at funktionen man vil differentiere er kontinuerligt altså sammenhængende. Når funktionen er kontinuerende vil man kunne differentiere den som førstegrads- og andengradsfunktion samt mange flere. Eks. Differentier følgende tredjegrads funktion:   f(x) = 2x^3 + 4x^2 + 3x f’(x)= 3*2x^(3-1)+2*4x^(2-1)+1*3x^(1-1) f’(x) = 6x^2+ 8x + 3 Funktionen er nu differentieret til: f’(x) = 6x^2+ 8x + 3 Differens kvotienten er uinteressant. Den fortæller intet om monotoniforholdene. Men hvis vi derimod lader punkterne ligge mikroskopisk tæt (∆x->0), så linjen gennem de to givne punkter bliver en tangent, så kan monotoniforholdene for f bestemmes.

Toppunkt ved hjælp af differentialregning Ekstrema= tagenthældning på 0 En 2. gradsfunktion har en formel for at finde ekstremaer/toppunkter. Tpx formlen, men med 3. og 4. gradsfunktioner kan man ikke bruge toppunktsformlen. Derimod kan en tangenthældning fortælle noget om ekstremer på 3. og 4. gradsfunktioner. Når tangenthældningen er 0, så er tangenten vandret, og man har evt. et ekstrema. Man ved at differentiere en 3. eller 4. grads funktion.

Vendetangent af f(x) = x3 + 5x2 -3x fra konkav til konveks Vendetangenten er der hvor f’’(x)=0 Her har vi fundet f’’(x) f(x) = x3 + 5x2 -3x f’(x) = 3x2 + 10x – 3 Når vi kommer ned i til det næste led, har vi differentieret to gange f’’(x)= 6x + 10