Kap 2. Matematiske Hjælpemidler. Geofysik 312 = Geodæsi Kap 2. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater. Efterår 2004. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 1

2.4 Kortprojektioner og Kort Jorden er matematisk set en mangfoldighed. Om hver punkt en omegn, der ligger i Rn, n=2 eller 3 C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 2

Hvad er den inverse afbildning ? Eksempel 2.10 God nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning ? C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 3

Reelt flere afbildninger: Fra Jordoverfladen til ellipsoiden (X,Y,Z) -> (φ, λ, h=0) (eller H=0) Afbildning (kort) til planen af en omegn. Afbildning til kugle og derefter til plan C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 4

Konforme = lokale vinkeltro Arealtro Kortenes egenskaber: Afstandstro Konforme = lokale vinkeltro Arealtro Ret linie i kortet svarer til vej med kortest afstand (geodætisk linie eller orthodrom) Ret linie svarer til rute med konstant kurs. (Loxodrom). Benyttes ved søkort. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 5

Parameterfremstilling + eksempel 2.4.2. Parameterfemstilling: Meridianer og paralleller C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 6

Storcirkel – eksempel 2.4.3. Fra sfærisk trekant: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 7

Øvelse 2.4.1. Paralleller er ikke storcirkler. Kontroller at vi for azimuth 0 får en meridian og for azimuth 90 IKKE får en parallel. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 8

Sande retninger og afstande måles i R3 C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 9

Cartesisk metrik i tangentplanerne. Metrik på flade Cartesisk metrik i tangentplanerne. Ser vi bort fra eventuelle poler, så går der 2 parameterkurver gennem hvert punkt: Tangenterne er basisvektorer her. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 10

Eks. 2.4.4. Tangentplan for meridianer og paralleller Tangenterne fås ved differentiation af parameterkurverne: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 11

Skalarprodukt af vektorer i Tangentplanen Vektor: (a,b) = (a v1,b v2) Skalarprodukt af (a1,b1), (a2,b2): C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 12

Simpel kortprojektion: Eksempel 2.4.5. Simpel kortprojektion: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 13

Metrisk fundamentalform = Jakobi matrix C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 14

Norm, vinkler, areal, målestoksforhold Basis-vektorernes længde: Vinkel mellem basis-vektorerne: Arealet: A = ef-g2 Målestoksforhold: Længde i rummet/ Længde som vektor i tangentplan C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 15

Kortprojektioners egenskaber: Konform: Vinkler mellem tangentvektorer bevares punktvis Arealtro: Arealer udspændt mellem 2 vektorer målt i tangentplanen ef-g2=konstant. Afstandstro: afstande målt i tangentplanen bevares C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 16

Eksempel 2.4.6: Cylinderprojektion. Afstandstro langs Ækvator X i kortet kun afhængig af, λ, Y kun funktion af φ f ukendt funktion: Basisvektorer: Fundamentalform: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 17

Konform cylinder-projektion: For at vinklerne skal bevares punktvis så kræves Løsning: Isometrisk bredde: Søkort C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 18

Arealtro cylinderprojektion Her kræves: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 19

Transvers cylinderprojektion. Vi vil gerne tilpasse afbildningen til Danmark: Arealtro langs parallel i stedet for Ækvator. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 20

Transvers cylinderprojektion (II). Formler udledes enten ved Drejning 90o eller ”ombytning” af længde og bredde. Hvis meridianen = 0o, så gælder med ny bredde φ’ og længde λ’: Så: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 21

Transvers cylinderprojektion (III) Heraf: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 22

Generel kortprojektion: Bredde og længde opfattes som funktion af både x og y. Så bliver parameterkurvernes tangentvektorer: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 23

Vi udregner Jakobi-matricens elementer. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 24

Isometrisk bredde benyttes. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 25

Jakobi matricens elementer med isometrisk bredde C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 26

Tangentvektorerne skal være lige store og skalarproduktet = 0 Konform afbildning Tangentvektorerne skal være lige store og skalarproduktet = 0 Så kan afbildningen og dens inverse udtrykkes som en kompleks potensrække C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 27

Røring langs en parellel Afstand fra toppunkt kun funktion of bredden Kegleprojektion. Røring langs en parellel Afstand fra toppunkt kun funktion of bredden Medfører: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 28

Tangent-vektorerne udregnes: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 29

Konform kegleprojektion: Tangentvektorer lige store, Indre produkt = 0. Heraf: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 30

Fastlæggelse af målestoksforhold/skæring. Konstanterne skal Bestemmes: Her for en røringsparallel C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 31

Kegleprojektion i grænsen: Polar stereo-grafisk C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 32

Nulpunktsforskydning. Et bestemt punkt på Jorden skal afbildes i (0,0). Kegleprojektion, så (0,0) svarer til bestemt bredde φ0 C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 33

Meridian-konvergens. Vi finder vinklen som vinklen mellem parameterkurven hvor x er konstant. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 34

Indre-produkt/norm. Merkator: γ=0 Transvers-Merkator: Giver: C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 35

Ellipsoidiske formler. Meget lange. Se Ricardus+Adler, 1974. Alt implementeret i GMT C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 36

Skæve projektioner. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 37

Skæringer af projektioner. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 38

GMT http://gmt.soest.hawaii.edu/ CYLINDRICAL PROJECTIONS: -Jclon0/lat0/scale (Cassini) -Jjlon0/scale (Miller) -Jmscale (Mercator - Greenwich and Equator as origin) -Jmlon0/lat0/scale (Mercator - Give meridian and standard paral- lel) -Joalon0/lat0/azimuth/scale (Oblique Mercator - point and azimuth) -Joblon0/lat0/lon1/lat1/scale (Oblique Mercator - two points) -Joclon0/lat0/lonp/latp/scale (Oblique Mercator - point and pole) -Jqlon0/scale (Equidistant Cylindrical Projection (Plate Car- ree)) -Jtlon0/scale (TM - Transverse Mercator, with Equator as y = 0) -Jtlon0/lat0/scale (TM - Transverse Mercator, set origin) -Juzone/scale (UTM - Universal Transverse Mercator) -Jylon0/lats/scale (Basic Cylindrical Projection) AZIMUTHAL PROJECTIONS: -Jalon0/lat0/scale (Lambert). -Jelon0/lat0/scale (Equidistant). -Jflon0/lat0/horizon/scale (Gnomonic). -Jglon0/lat0/scale (Orthographic). -Jslon0/lat0/[slat/]scale (General Stereographic) CONIC PROJECTIONS: -Jblon0/lat0/lat1/lat2/scale (Albers) -Jdlon0/lat0/lat1/lat2/scale (Equidistant) -Jllon0/lat0/lat1/lat2/scale (Lambert) MISCELLANEOUS PROJECTIONS: -Jhlon0/scale (Hammer) -Jilon0/scale (Sinusoidal) -Jk[f|s]lon0/scale (Eckert IV (f) and VI (s)) -Jnlon0/scale (Robinson) -Jrlon0/scale (Winkel Tripel) -Jvlon0/scale (Van der Grinten) -Jwlon0/scale (Mollweide) NON-GEOGRAPHICAL PROJECTIONS: -Jp[a]scale[/origin] (polar (theta,r) coordinates, optional a for azimuths and offset theta [0]) -Jxx-scale[l|ppow][/y-scale[l|ppow]] C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 39

Danske Kort 1: Topografiske Kort UTM: Universal Transverse Merkator Konform Cylinderprojektion C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 40

Danske Kort 1: Topografiske Kort UTM: Universal Transverse Merkator Opdelt i Zoner, -183o +zone*6o C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 41

2-cm kort http://cct.gfy.ku.dk/5semgeo/img75.jpg UTM Eksempler 2-cm kort http://cct.gfy.ku.dk/5semgeo/img75.jpg Orø http://cct.gfy.ku.dk/5semgeo/img76.jpg Zone-grænse http://cct.gfy.ku.dk/5semgeo/img77.jpg Datum: http://cct.gfy.ku.dk/5semgeo/img78.jpg Meridiankonvergens: http://cct.gfy.ku.dk/5semgeo/img79.jpg C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 42

Nord-Grønland. UTM: http://cct.gfy.ku.dk/5semgeo/img82.jpg C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 43

2 Transversale Cylinderprojektioner (+Bornholm) Matrikelkort. Tilnærmet konform 2 Transversale Cylinderprojektioner (+Bornholm) Kugleformig jord svarende til krumningsradius for Hayford-ellipsoiden for Bredden φ=56o08’ for Jylland og φ=55o20’ for Sjælland Agri Baunehøj: Y=200000 m, X=200000 m Retning til Lysnet (Punkt): 24o31’14”.17 Målestoksfejl max 50 ppm for Jylland og 22 ppm for Sjælland. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 44

Matrikelkort System 34. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 45

Ret linie svarer til fast kurs, men svarer ikke til korteste afstand ! Søkort: Merkator. Med Decca kurver: http://cct.gfy.ku.dk/5semgeo/img80.jpg Ret linie svarer til fast kurs, men svarer ikke til korteste afstand ! C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 46

Benytter polar-stereografisk med 2 skæringer Fly-kort. Benytter polar-stereografisk med 2 skæringer http://cct.gfy.ku.dk/5semgeo/img81.jpg C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 47

Andre projektioner i DK. Polar-stereografisk: Polar-områder Færøerne: Bonnes projektion C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 48

Kortene bruger ellipsoider med forskellige Jordcentre: Datum. Kortene bruger ellipsoider med forskellige Jordcentre: ED1950 (Topografiske kort) WGS84 (Nordgrønland, Flykort, GPS) Mange hundrede meter forskellige ! Højdesystemerne også forskellige, typisk 0.3 m, Evt. forårsaget af landhævning. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 49

Koordinatsystemerne realiseret ved fixpunkter.. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 50

Punktbeskrivelser. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 51

Punkterne købes hos KMS Valdemar: System 34 (Jylland, Sjælland, Bornholm) UTM Zone 32 eller 34 + Grønland Længde og bredde i ED1950 eller WGS84 (ETRS89) Man kan søge på punktnumre: Herred + Sogn + Lønenummer = 101 -07 -32 Eller Trigonometrisk station: GI no. 3002. C.C.Tscherning, University of Copenhagen, 2004-07-25 52