Datahistorisk Forening 30/8 2007 Analogregnemaskinen Datahistorisk Forening 30/8 2007

ÆKVIVALENSRELATION: Analogregnemaskiner bygger på Ækvivalensen mellem en fysisk størrelse og en skalaaflæsning Eksempel: Fysisk længder ~ talværdier Regnestokken blev opfundet omkring 1620-1630

Løsning af dynamiske problemer med ækvivalensprincippet Effekten ændres i et spring Spændingen V ændres i et spring

Differential analysator. Princippet opfundet i 1876 af James Thompson (broder til Lord Kelvin) Meccano-udgave fra 1934

Bombesigte fra 2. verdenskrig

Elektronisk analogregnemaskine Første udgave på DTU (DTH) Udviklet ved Servolaboratoriet 1956-1957 I

_ + Operationsforstærkerens karakteristika: V+ (+forsyningsspænding) Vi _ Vout Vni + V- (-forsyningsspænding) Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni – Vi )

_ + Operationsforstærkerens karakteristika: V+ (+forsyningsspænding) Vi _ Vout Vni + V- (-forsyningsspænding) Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni – Vi ) - Udstyringsområde (typisk) Rørforstærkere: +/- 100V Halvlederstærkere: +/- 10V

_ + Operationsforstærkerens karakteristika: V+ (+forsyningsspænding) Vi _ Vout Vni + V- (-forsyningsspænding) Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni – Vi ) - Udstyringsområde (typisk) Rørforstærkere: +/- 100V Halvlederstærkere: +/- 10V - Forstærkning f = 0 Hz (DC) A > 100dB ( > 100.000 x ) f > 100 kHz A < 0 dB ( < 1 x )

_ + Operationsforstærkerens karakteristika: V+ (+forsyningsspænding) Vi _ Vout Vni + V- (-forsyningsspænding) Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni – Vi ) - Udstyringsområde (typisk) Rørforstærkere: +/- 100V Halvlederstærkere: +/- 10V - Forstærkning f = 0 Hz (DC) A > 100dB ( > 100.000 x ) f > 100 kHz A < 0 dB ( < 1 x ) DC-drift (korttids) Rørforstærkere < 3 mV/time Halvledere < 1 uV

_ + Operationsforstærkerens karakteristika: V+ (+forsyningsspænding) Vi _ Vout Vni + V- (-forsyningsspænding) Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni – Vi ) - Udstyringsområde (typisk) Rørforstærkere: +/- 100V Halvlederstærkere: +/- 10V - Forstærkning f = 0 Hz (DC) A > 100dB ( > 100.000 x ) f > 100 kHz A < 0 dB ( < 1 x ) Dc-drift (korttids) Rørforstærkere < 3 mV / time Halvledere < 1 uV / Kelvin Indgangsimpedanser: >> 100 megohm

_ + Operationsforstærkerens karakteristika: V+ (+forsyningsspænding) Vi _ Vout Vni + V- (-forsyningsspænding) Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni – Vi ) - Udstyringsområde (typisk) Rørforstærkere: +/- 100V Halvlederstærkere: +/- 10V - Forstærkning f = 0 Hz (DC) A > 100dB ( > 100.000 x ) f > 100 kHz A < 0 dB ( < 1 x ) Dc-drift (korttids) Rørforstærkere < 3 mV/time Halvledere < 1 uV/ grad C Indgangsimpedanser: >> 100 megohm - Udgangsimpedans: << 100 ohm

Passive komponenter Indgangs- Feedback- netværk netværk Vout . Spændingskilde Vout _ + Vin Høj-impedanset voltmeter Spændingskilde

Anvendelse af operationsforstærkere i analogregnemaskiner Simpel forstærkning

Anvendelse af operationsforstærkere i analogregnemaskiner Simpel forstærkning Vout = - Vin * ( Rf / R1)

Fortegnsvending uden forstærkning R1 = Rf Vout = -Vin

Kontinuert variabel forstærkning

Vægtet summation

Integrator

Integrator

+ + + 0,57 DIAGRAM SYMBOLER Blokdiagram Koblingsskema Vægtet addition Forstærker nummer x 1 x 1 + y 2 # - (X + 2y + 10z) y 2 + X + 2y + 10z z 10 + z 10 Integration 2 x 2 x # s Potentiometer nummer Multiplikation med konstant < 1 0,57 x 0,57 x x # 0,57 x 0,57

Eksempel: Svingende masse (x og y betegner positionsændringer ud fra den stationære tilstand) x Lodret styret ophæng Fjeder k y m Masse c Dæmper

Eksempel: Svingende masse (x og y betegner positionsændringer ud fra den stationære tilstand) x Lodret styret ophæng Kraftændringer virkende på massen, regnet positiv opad : Fjeder k Fjeder: Kf = k (x –y) Dæmper: Kd = - c * dy / dt = - c * y Masse: Km = - m * d2y / dt2 = - m * y . y m .. Masse c Dæmper

Eksempel: Svingende masse (x og y betegner positionsændringer ud fra den stationære tilstand) x Lodret styret ophæng Kraftændringer virkende på massen, regnet positiv opad : Fjeder k Fjeder: Kf = k (x –y) Dæmper: Kd = - c * dy / dt = - c * y Masse: Km = - m * d2y / dt2 = - m * y Kræfternes sum = 0, dvs. k (x –y) - c y - m y = 0 Ordnet: y = * ( x - y - y ) . y m .. Masse . .. c Dæmper .. .. k c . m k

Eksempel: Svingende masse (x og y betegner positionsændringer ud fra den stationære tilstand) x Lodret styret ophæng Kraftændringer virkende på massen, regnet positiv opad : Fjeder k Fjeder: Kf = k (x –y) Dæmper: Kd = - c * dy / dt = - c * y Masse: Km = - m * d2y / dt2 = - m * y Kræfternes sum = 0, dvs. k (x –y) - c y - m y = 0 Ordnet: y = * ( x - y - y ) . y m .. Masse . .. c Dæmper .. .. k c . m k

. .. . Blokdiagram .. . y y y ∫ ∫ Koblingsskema .. . - y 1 y 1 - y

x - y - y y - y -0,2 y -y 0,2 y .. k c . Differentialligning y = * ( x - y - y ) m k For m = 10 kg, c = 2 N sek / m, k = 10 N / m fås .. . y = x - y - 0,2 y Koblingsskema x 1 .. . - y - y 1 y 1 - y 1 1 1 . . -0,2 y -y 1 0,2 y Signalgenerator Oscilloskop

Simulering af den svingende masse med Mathlab Simulink Blokkene -1/s simulerer analogregnemaskinens integratorer x(t) y(t)

Anvendelse af Laplace-operatoren s Tidsdomænet Laplace-domænet .. . . a2y(t) + a1y(t) + a0y(t) = b0x(t) a2s2Y(s) + a1sY(s) + a0Y(s) = b0X(s) Heraf (a2s2 + a1s + a0 ) Y(s) = b0 X(s) Y(s) bo Overføringsfunktion = X(s) a2s2+ a1s + a0

En noget enklere simulering med Mathlab Simulink .. . Differentialligningen for den svingende masse: y = x - y - 0,2 y Laplace-transformation: s2 Y(s) = X(s) - Y(s) - 0,2 sY(s) Ordnet: (s2 + 0,2 s + 1) Y(s) = X(s) Y 1 Overføringsfunktion: (s) = X s2 + 0,2 s + 1 Simulering med Mathlab Simulink:

Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is-barrer

Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is. Styring af hejseværker i portalkran (for B&W)

Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is. Styring af hejseværker i portalkran (for B&W) Styring af et missil (for norsk forsvarsindustri)

Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is. Styring af hejseværker i portalkran (for B&W) Styring af et missil (for norsk forsvarsindustri) Beregning af trykstød i en pipeline af plast (for Dansk Salt) Styring af pumperne til omtalte pipeline

Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is. Styring af hejseværker i portalkran (for B&W) Styring af et missil (for norsk forsvarsindustri) Beregning af trykstød i en pipeline af plast (for Dansk Salt) Styring af pumperne til omtalte pipeline Synkronisering af skibsdieselmotorer

Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is. Styring af hejseværker i portalkran (for B&W) Styring af et missil (for norsk forsvarsindustri) Beregning af trykstød i en pipeline af plast (for Dansk Salt) Styring af pumperne til omtalte pipeline Synkronisering af skibsdieselmotorer Beregning af temperatursvingningerne i Ørsted-satellitten

Det omvendte pendul Det omvendte pendul

Matematikken i det omvendte pendul y Masse m Tyngdepunkt F L m G ~ Masseløs stang bevægelse x L = 0,5 m, G = 9,8 m/sek2

Matematikken i det omvendte pendul Pendulets vinkel v i forhold til lodret fås af: sin(v) = (y – x) / L y Vandret kraft i tyngdepunktet for små vinkler : F = m G tg(v) ~ m G (y – x) / L Masse m Tyngdepunkt F L m G ~ Masseløs stang bevægelse x L = 0,5 m, G = 9,8 m/sek2

Matematikken i det omvendte pendul Pendulets vinkel v i forhold til lodret fås af: sin(v) = (y – x) / L y Vandret kraft i tyngdepunktet for små vinkler : F = m G tg(v) ~ m G (y – x) / L Masse m Tyngdepunkt F .. Newtons 2. lov: F = m y .. Heraf fås: m y = m G (y – x) / L y = (G/L) (y – x) .. L m G ~ Masseløs stang bevægelse x L = 0,5 m, G = 9,8 m/sek2

Matematikken i det omvendte pendul Pendulets vinkel v i forhold til lodret fås af: sin(v) = (y – x) / L y Vandret kraft i tyngdepunktet for små vinkler : F = m G tg(v) ~ m G (y – x) / L Masse m Tyngdepunkt F .. Newtons 2. lov: F = m y .. Heraf fås: m y = m G (y – x) / L y = (G/L) (y – x) .. L m G Laplacetransformeret: s2 Y(s) = (G/L) (Y(s) – X(s)) [s2 – (G/L)] Y(s) = – (G/L) X(s) ~ Masseløs stang bevægelse x L = 0,5 m, G = 9,8 m/sek2

Matematikken i det omvendte pendul Pendulets vinkel v i forhold til lodret fås af: sin(v) = (y – x) / L y Vandret kraft i tyngdepunktet for små vinkler : F = m G tg(v) ~ m G (y – x) / L Masse m Tyngdepunkt F .. Newtons 2. lov: F = m y .. Heraf fås: m y = m G (y – x) / L y = (G/L) (y – x) .. L m G Laplacetransformeret: s2 Y(s) = (G/L) (Y(s) – X(s)) [s2 – (G/L)] Y(s) = – (G/L) X(s) ~ Masseløs stang bevægelse Overføringsfunktion: – (G/L) – 20 – 20 x Y(s) = = = X(s) s2 – (G/L) s2 – 20 (s – 4,5)(s + 4,5) L = 0,5 m, G = 9,8 m/sek2

Pendulet uden regulering x(t) y(t) Pendulets bund x(t) Pendulets top y(t)

Detaljeret simulering

Pendulets bevægelser Indgangssignal Pendulbund Pendultop

Analogregnemaskinen kontra datamaten Ulemper ved analogregnemaskinen Pladskrav Mange ledninger Begrænset talområde Begrænset regnenøjagtighed Fordele ved analognemaskinen Fremragende interaktivitet med brugeren Fremragende programmering af simuleringsopgaver, med såvel lineære og ulineære elementer Simulering af dynamiske systemer uden sampling-fejl Umiddelbar respons Konklusion Analogregneteknikken overlever som form, men emuleret på datamater