Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Euklids Geometri geometri uden tal

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Lidt historie  Vi befinder os i Grækenland fra ca. 500 til ca. 300 år f.Kr.  Meget matematik er i oprindelse langt ældre

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Platon og matematikken  Hulelignelsen  De matematiske ideer  Et eksempel på opfattelsen er Sokrates samtale med Menon fra Platons ”Staten”

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Grækernes tal  Hele positive tal (ikke 0)  Positive rationale tal  Tallenes idé ~ større talområde  Tallenes mangfoldighed

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004

Beviset

Konsekvenser NNNNogen liniestykker har ingen længde LLLLængde er derfor ikke et idéobjekt AAAAltså en geometri uden tal

Euklid  Omkring 300 år f.Kr. ~ Alexandria  ”Redaktør” af Euklids Elementer  På dansk ved Thyra Eibe i 1897

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Euklids Elementer  13 bøger  Plangeometri, proportionslære, talteori og rumgeometri  Deduktiv metode  Definitioner  Forudsætninger  Sætninger  Vha. logiske beviser  Værket er ikke modsigelsesfrit !!

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Definitioner  I første bog 23 definitioner 1.Et punkt er det som ikke kan deles 2.En linie er en længde uden bredde 3.En linies grænser er punkter 4.En ret linie er en linie, som ligger lige mellem punkterne på den 8.En plan vinkel er hældningen mellem to linier som ligger i samme plan, har et fælles punkt og ikke ligger på ret linie

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Definitioner 10.Når en ret linie er oprejst på en anden, så at de ved siden af ninanden liggende vinkler er ækvivalente, er enhver af de ækvivalente vinkler ret; og den linie, der er oprejst på den anden, kaldes vinkelret på den anden 11.En stump vinkel er en, som er større end en ret 12.En spids vinkel er en, som er mindre end en ret

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Problemet med def. Man mangler begreber at starte med, der mangler startbegreber ! F.eks :  I def. 2 mangler def. af længde og bredde  Hvad betyder ”lige stor”, > og og <

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Nutidig løsning  Udefinerede begreber Fastlagt gennem :  Aksiomer/postulater

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Euklids løsning  10 aktiomer  5 forudsætninger  5 almindelige begreber

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 forudsætningerne Lad det være forudsat 1.At man kan trække en ret linie fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst punkt. 2.At man kan forlænge en begrænset ret linie i ret linie ud i et. 3.At man kan tegne en cirkel med et hvilken som helst centrum og med en hvilken som helst radius. 4.At alle rette vinkler er ækvivalente. 5.At, når en ret linie skærer to rette linier og de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette. At, når en ret linie skærer to rette linier og de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to retteAt, når en ret linie skærer to rette linier og de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 almindelige begreber 1.Størrelser der er ligestore med den samme, er indbyrdes ligestore. 2.Når ligestore størrelser lægges til ligestore størrelser, er resultaterne ligestore. 3.Når ligestore størrelser trækkes fra ligestore størrelser, er resterne ligestore. 4.Kongruente størrelser er ligestore. 5.Det hele er større end en del af det.

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 eller 1.Størrelser der er ækvivalente med den samme, er indbyrdes ækvivalente. 2.Når ækvivalente størrelser lægges til ækvivalente størrelser, er resultaterne ækvivalente. 3.Når ækvivalente størrelser trækkes fra ækvivalente størrelser, er resterne ækvivalente. 4.Kongruente størrelser er ækvivalente. 5.Det hele er større end en del af det.

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Euklids Pythagoras

Mette Vedelsby & Leif Vejbæk Haslev Seminarium 2004 Parallelaksiomet  Gennem et punkt uden for en linie går højst en linie parallel med den givne linie  Sfærisk  Hyperbolsk