1 Kap. 13.Tyngdefelts-modellering samt Jordens overflade, Torge 6.5. Indtil 1990 kunne man ikke betragte Jordens overflade som kendt – nu kendt fra radaraltimetri, InSAR og GPS Før 1990: Randværdi-problem for elliptisk partiel differential-ligning, rand S, for volumen v. Løsning, hvis tyngdevektorens komponent vinkelret på Jordoverfladen, S, er kendt.

2 Kap. 13.Tyngdefelts-modellering, Torge 6.5. Kan konverteres til integral-ligning, l= afstand:

3 Kap. 13.Tyngdefelts-modellering, linearisering, Torge 6.5. Bedre at arbejde med anomalipotentialet T=W-U og tilnærmet Jord-overflade, Telluroide bestemt ved punkterne Q på ellipse-normalen Fælles Centrifugal potential for U og W + 0’ og 1’ ordens led.

4 Kap. 13.Tyngdefelts-modellering, Torge 6.5. Anomale tyngdefelt: T=W-U, U =0’te ordens led i Taylor-udvikling i Hilbert- rum. U kan erstattes of kugle-funktions-udvikling. Observationer er lineære funktionaler i Hilbert- rummet:

5 Kap. 13.Tyngdefelts-modellering, kugle, Torge 6.5. Hvis Jorden kugleformig, så kan Laplace-ligningen løses ved forskellige metoder. Data må flyttes fra Jordens overflade til kuglen og Masserne mellem overfladen og kuglen må fjernes eller data svarende til harmonisk funktion udenfor kuglen må beregnes. P P0P0

6 Kap. 13.Koefficient-sammenligning, Torge 6.5. Sammenlign med polynomium: Hvis vi ved at a 0 =0, kan p(t) findes ! For anomalipotentialet er 4 første koefficienter = 0, da vi kender GM og Jord-centret.

7 Kap. 13.Tyngdefelts-modellering, Torge 6.5. a sættes lig med R (middelradius), så

8 Kap. 13.Tyngdefelts-modellering, Torge 6.5. Sfærisk-harmonisk analyse giver H ij og dermed Normaliserede Legendre-funktioner benyttes, så vi får orthonormal-system Y ij i Hilbertrum med L 2 (S)

9 Kap. 13.Tyngdefelts-modellering, Torge 6.5. Vi benytter at koefficienterne i rækkeudviklingen i Hilbertrummet fås ved at beregne det indre produkt (integralet over kuglen) af basis-funktionerne med funktionen:

10 Kap. 13.Tyngdefelts-modellering, Torge 6.5. Vi indsætter i rækkeudviklingen for T:

11 Kap. 13.Tyngdefelts-modellering, Torge 6.5. Vi udnytter rækkeudvikling for Legendre-polynomier

12 Kap. 13. Stokes formel, Torge 6.5. Vi indsætter og får:

13 Kap. 13. Stokes formel, 1849, Pizetti, 1911, Torge 6.5. Vi kan få lukket udtryk, da:

14 Kap. 13. Stokes formel, Torge 6.5. Vi har løst randværdi-opgave for elliptisk partiel differentialligning, men Bemærk singularitet: Integration må udføres med særlig metode.

15 Kap. 13. Brug af Stokes formel, Torge 6.5. Højdeanomali/geoide højde: Lodafvigelser, Vening-Meinez, 1928:

16 Kap. 13. Vening-Meinez formel, Torge 6.5. Lodafvigelse i azimuth :

17 Kap. 13. Stokes formel, Torge 6.5. På grund af singulariteten kommer det meste af bidraget til resultatet fra data med kort afstand fra beregnings- punktet. Fratrækkes først kuglefunktions-udvikling (EGM) til N=360, så behøver man kun lille integrations-område S 0 Bemærk EGM skal lægges til igen !

18 Kap. 13. Stokes formel, plan Jord, Torge 6.5. Hvis vi skal beregne integralet lokalt, kan Jorden betragtes som plan. Integralet kan beregnes ved Fourier-transformation (foldning) i planet, hvor man udnytter den spektrale relation (i-1)/r Udviklet af R.Forsberg og M.Sideris i R.Forsberg/CCT: fratræk (og adder) også lokal topografi

19 Kap. 13. Stokes på kuglen, Torge 6.7. Fjern masser T M over højde 0 (adder effekten senere) Tyngdeanomali skal så beregnes i højde 0 (”nedad fortsættelse”) Simpel metode til at fjerne masser: Bouger-plade fjernes i hvert punkt: Ikke godt, da T-T M ikke harmonisk mere H

20 Kap. 13. Korrektion for topografi, Torge 6.5. Rektangulære prismer bedre: Kan forfines med skrå kanter Isostatisk kompensation også mulig.

21 Kap. 13. Randværdiopgave for T, Torge 6.5. For Harmonisk funktion gælder, at funktionen kan bestemmes udfra sine værdier på randen Chaucys randværdi-opgave eller udfra den normal-afledede på randen Neumanns-randværdi-opgave Bibetingelse:

22 Kap. 13. Pizettis formel, Torge 6.5. Vi bruger:

23 Kap. 13. Poissons Integral, Torge 6.5. Vi benytter Legendre-polynomierne udtrykt ved Legendre- funktionerne, samt sumformlen for 1/(afstand): Løser Cauchys randværdi-opgave for kugle for harmonisk funktion, regulær i uendelig. Tilsvarende er harmonisk og kan “opad fortsættes” eller giver integral-ligning så man kan finde tyngden på kuglen

24 Kap. 13. Udregning af integralerne, Torge 6.5. (1) T eller kendt eller “skønnet”=“estimeret”= “Predikteret” overalt på kuglen. Kollokation velegnet metode ! (2) Man kan udnytte den funktionelle sammenhæng mellem data og T til en direkte estimation af T ved kollokation

25 Kap. 13.Løsning i Hilbertrum. Hilbertrum af harmoniske funktioner har reproducerende kerne (identitets-afbildning):

26 Kap. 13.Løsning i Hilbertrum. Ækvivalent med statistisk Kollokation findes funktional- analytisk formulering, COV(T(P),T(Q))=K(P,Q). Vi ønsker at finde approximation, der stemmer med data: Så løsningen er mindst mulig norm i Hilbertrummet:

27 Kap. 13. Isotropt indre produkt R - rotation af hele rummet. Indre produkt isotropt hvis (F,G)=(F(R),G(R)). Reproducerende kerne så ligesom kovariansfunktion:

28 Kap. 13. Isotropt indre produkt, L 2 på kuglen Basis-funktioner: Normaliserede kuglefunktioner. Ikke brugbar, da uendelig på kuglen for afstand 0 = variansen af potentialet er uendelig på kuglen

29 Kap. 13. Lukket udtryk for kernen muligt ! Grad-varianser der giver endelige værdier af potentialets og tyngdens varians på kuglen: R B < R, radius for Bjerhammar-kuglen

30 Kap. 13. Kollokation med parametre. Data kan være “biased” - dvs. en konstant eller lineær funktion er lagt til data på grund af “fejl” i data- indsamlingen eller fordi forkert Jord-center er benyttet.

31 Kap. 13.Kollokation med parametre. Kovarianser eller funktionaler anvendt på Kerne: Fejlskøn kan også beregnes !

32 Kap. 13. Integreret geodæsi. Man kan blande tyngde-data med geometriske data.

33 Kap. 13. Geodætiske Jord-modeller. Hvis man antager kun endelig (N) mange led i kuglefunktions-udviklingen for T og M andre data, så får vi traditionel mindste-kvadraters løsning med N+M ubekendte. Typisk N=73*73 eller 361*361. M=300*3+100 tide-parametre+GM, a, f +datum-skift. WGS84: NIMA (US DoD), GEM: Goddard (NASA) Earth Model serie GRIM: fransk/tysk model serie Kun Tyngde: OSU91, EGM96

34 Kap. 13. Datum-skift fra geodætisk Jord-model.. Stationer i ikke-geocentrisk system (fx ED1950) har kendt så hvis geoidehøjde N kendt, kan r’=(X,Y,Z) findes i gammelt system. Geodætiske koordinater+geoide Kartesiske koordinater, r’, i gammelt system Kartesiske koordinater, r i nyt system.