Principperne ved trigonometrisk nivellement

Præsentationer af emnet: "Principperne ved trigonometrisk nivellement"— Præsentationens transcript:

1 Principperne ved trigonometrisk nivellement
1. juni 2018 Principperne ved trigonometrisk nivellement d ∆H z Ss B i HB A HA 0-niveau En totalstation kan bruges til at nivellere med. Ofte bruger man totalstationen, hvis man skal foretage et fladenivellement, da man med totalstationen samtidigt kan bestemme et punkts koordinater i planen samt punktets kote, hvorimod man med et nivelleringsinstrument kun kan bestemme et punkts kote, men ikke dets placering i planen. I denne animation gennemgås kun, hvordan man bestemmer koter med totalstationen. En bestemmelse af et punkts koordinater i planen foregår ved, at man samtidigt med, at man måler koten, måler en retning og en afstand til prismet, hvorefter man bruger principperne for beregning af koordinater i planen til bestemmelse af punktet koordinater. Når man udføre et nivellement med en totalstation, kaldes det for et trigonometrisk nivellement. Under tiden hører man også udtrykket trachymetri. Totalstationen opstilles over et punkt, som man kender koten til. I dette tilfælde punkt A. Og man ønsker at bestemme koten til punkt B, hvor prismet er opstillet. # Koten til punkt A kan tegnes som den lodrette afstand fra nulniveauet til overkanten af punkt A - f.eks. overkant af en markeringspæl eller jernrør. Afstanden kaldes her for Ha. Koten til punkt B ønskes bestemt. Dvs. afstanden fra nulniveauet til overkanten af punkt B - her kaldes Hb. For at bestemme koten til punkt B måles instrumenthøjden med et målebånd. Instrumenthøjden måles fra overkanten af punkt A til kikkertens rotationsakse. Dette punkt er ofte afmærket på siden af totalstationen. Derefter måler totalstationen højden mellem denne og prismet. Derefter fratrækkes prismehøjden. Prismehøjden kan aflæses på skalaen på prismet. Formlen for beregning af koten til punkt B bliver dermed koten til punkt A plus instrumenthøjden plus højdeforskellen mellem totalstationen og prismet minus prismehøjden. Instrumentet bestemmer højdeforskellen mellem denne og prismet ved at måle vertikalvinklen og den skrå afstand. Delta H beregnes ved gange den skrå afstand med cosinus til vertikalvinklen. I formlen erstattes delta H med den skrå afstand gange cosinus til vertikalvinklen. Lad os se på et eksempel. Totalstationen er opstillet i punkt A, der har en kote på 47,465 m. Instrumenthøjden er målt til 1,67 m. Med totalstationen er den skrå afstand er målt til 46,861 m og vertikalvinklen er målt til 99,476 gon. Endeligt er prismehøjden aflæst til 1,32 m på prismets skala. Tallene indsættes i formlen. Hvorefter koten til punkt B bestemmes til 48,20 m. Et eksempel, hvor HA = 47,465m, i = 1,67m, SS = 46,861m, Z = 99,476 gon og d = 1,32m 10. oktober 2008 Landinspektør Robert Jakobsen Landinspektør Robert Jakobsen

2 Principperne ved trigonometrisk nivellement
1. juni 2018 Jordkrumning A Målt højdeforskel Jordkrumning B Hvis man har sigtelængder på mere end ca. 250 m, skal man tage højde for jordkrumningen. På skærmen er et fortegnet eksempel på jordkrumningen. Koten til punkt B skal bestemmes fra totalstationen i punkt A. Lad os for nemheds skyld forestille os, at når man sigter vandret med kikkerten, ser man prismet. # Højdeforskellen mellem punkt A og B beregnes som instrumenthøjden minus prismehøjden, da der ikke er nogen højdeforskel mellem totalstationen og prismet. Men på grund af jordkrumningen ser punkt B ud til at ligge markant lavere end punkt A, hvorfor den målte højdeforskel skal korrigeres for jordkrumningen. Dvs. at den reelle højdeforskel bliver den målte højdeforskel, der i dette tilfælde vil være negativ, da punkt B ser ud til at ligge lavere end punkt A, plus jordkrumningen. Formlen for at beregne jordkrumningen er afstanden mellem totalstationen og prismet i anden delt med 2 gange jordens radius. Formlen fra før suppleres med dette led. Hvor stor er egentligt jordens krumning? Er den i det hele taget målbar? Jordens krumning afhænger naturligvis af sigtelængen. Med sigtelænger på 250 m er jordkrumningen 5 mm. Derefter stiger den eksponentielt med afstanden sådan, at den er over 31 cm ved sigtelænger på 2000 m. Reel højdeforskel = Målt højdeforskel + jordkrumning Reel højdeforskel hvor R= m Sigtelængde 250m 500m 750m 1000m 1500m 2000m Jordkrumning 0,005m 0,020m 0,044m 0,078m 0,176m 0,313m 10. oktober 2008 Landinspektør Robert Jakobsen Landinspektør Robert Jakobsen

3 Jordkrumning og refraktion
Principperne ved trigonometrisk nivellement 1. juni 2018 Jordkrumning og refraktion Refraktion A Målt højdeforskel Jordkrumning B Har man sigtelænger på over 750 m skal man også tage højde for refraktionen. Når man ser prismet i kikkerten, tror man, at man sigter lige mod prismet. # Men faktisk sigter man i en bue. Denne sigtebue skyldes luftens turbulens som følge af tryk, temperatur og relativ luftfugtighed. Er jorden varmere end luften, bliver den luft, der er tæt på jorden, varmet op, hvorefter den stiger til vejr, da varm luft er lettere end kold luft. Dermed bliver den varme opadstigende luft blandet med den kolde nedadgående luft, hvilket giver refraktion. Refraktionen er størst de 2 første meter over jordoverfladen, hvilket desværre også er det område, hvor man som oftest måler. Da sigtelinjen krummer, vil kikkerten ikke pege mod prismet, når dette ses i kikkerten. Kikkerten vil typisk pege lidt for meget opad i forhold til den rette linje mellem kikkerten og prismet. Derfor vil man måle en for lille vertikalvinkel, da prismet ses som værende i en højere position, end det faktisk er. Derfor må man fratrække refraktionen, for at få bestemt den rigtige position til prismet. Refraktionen beregnes ved at gange sigtelængden i 2. med refraktionskoefficienten delt med 2 gange jordens radius. Refraktionskoefficienten fastsættes som forholdet mellem jordens og sigtebuens radius. Dertil lægges jordkrumningen. Den reelle højdeforskel mellem totalstationen og prismet bliver dermed den målte højdeforskel plus jordkrumningen minus refraktionen. Refraktionsleddet tilføjes formlen fra før. Da de sidste to led består af en brøk med samme nævner, kan de skrives på samme brøk og reduceret. Dermed har man den fuldstændige formel for beregning af højdeforskellen mellem punkt A og B. Refraktionskonstanten er svær at bestemme, da den kræver, at man kender temperaturen, trykket og den relative luftfugtighed langs hele sigtelængden. Derfor bruges ofte standardværdier. I Danmark sættes refraktionskoefficienten oftest til 0,12, hvilket betyder, at sigtebuen har en radius, der er ca. 8 gange større end jordens radius. I praksis varierer refraktionskoefficienten en del, hvorfor der ofte ikke korrigeres med den faktiske refraktion. Derfor indvirker refraktionen på nøjagtigheden af de målte punkter. Ved sigtelængder på 750 m er refraktionen 5 mm, hvis refraktionskoefficienten sættes til 0,12. Derefter stiger refraktionskoefficienten eksponentielt med afstanden således, at den udgør 94 cm ved sigtelængder på 10 km. Reel højdeforskel = Målt højdeforskel + jordkrumning - refraktion Reel højdeforskel Reel højdeforskel hvor R= m og k=0,12 Sigtelængde 750m 1000m 1500m 2000m 5000m 10000m Refraktion 0,005m 0,009m 0,021m 0,038m 0,235m 0,939m 10. oktober 2008 Landinspektør Robert Jakobsen Landinspektør Robert Jakobsen

4 Principperne ved trigono-metrisk nivellement - fortsat
1. juni 2018 Principperne ved trigono-metrisk nivellement - fortsat dB ∆HB B ∆HA dA HB A HA 0-niveau Når man skal udføre et trigonometrisk nivellement - f.eks. hvis man skal foretage et fladenivellement af en mark, vælger man ofte at opstille totalstationen i en fri opstilling, og derefter bestemme koten til totalstationen ved at måle til et hovedpunkt eller fikspunkt, der har en kote. I dette eksempel kendes koten til punkt A, og koten til punkt B skal bestemmes. # Koten til punkt A kan tegnes som den lodrette afstand fra nulniveauet til overkanten af punkt A. Koten til punkt B kan vises som den lodrette afstand fra nulniveauet til overkanten af punkt B. Til punkt A's kote lægges prismehøjden i punkt A. Højdeforskellen mellem prismet i punkt A og totalstationen. Og højdeforskellen mellem totalstationen og prismet i punkt B, Hvorfra prismehøjden i punkt B fratrækkes. Herefter har man koten til punkt B. Formlen for at beregne koten til punkt B bliver altså koten til punkt A plus prismehøjden i punkt A plus højdeforskellen mellem prismet i punkt A og totalstationen plus højdeforskellen mellem totalstationen og prismet i punkt B minus prismehøjden i punkt B. Bemærk, at instrumenthøjden ikke indgår i formlen. Det vil altså sige, at man ikke behøver at måle instrumenthøjden, hvis man laver en fri opstilling. At måle instrumenthøjden kræver en del omhyggelighed, da man bruger et målebånd, som skal holdes ind under instrumentet. Ofte ønsker man også at bruge samme prismehøjde ved måling af alle punkterne, hvis det er muligt. Dermed udgår prismehøjden af formlen, da prismehøjden først skal lægges til og derefter trækkes fra. Dermed undgår man at skulle notere prismehøjden, hvorved man også undgår at lave grove fejl i aflæsningen af denne, som ville medføre, at punktets kote bliver forkert bestemt. Hvis dA=dB, bliver formlen 10. oktober 2008 Landinspektør Robert Jakobsen Landinspektør Robert Jakobsen