Økonometri 1: F71 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september 2006.

Præsentationer af emnet: "Økonometri 1: F71 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september 2006."— Præsentationens transcript:

1 Økonometri 1: F71 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september 2006

2 Økonometri 1: F7 2 Dagens program Opsamling af ”hjemmeopgaven” om Monte Carlo eksperimenter Mere om hypotesetest:  Enkelt lineær restriktion på koefficienter i lineær regressionsmodel  Generel lineær restriktion Asymptotiske resultater for OLS (kap. 5):  Konsistens  Eksempel: Monte Carlo eksperiment (konsistent.sas)  Asymptotisk normalitet og efficiens  Eksempel: Monte Carlo eksperiment med uniformt fordelte fejlled (asynorm_uni.sas).

3 Økonometri 1: F7 3 Generel lineær restriktion Nulhypotese på linearkombination af koefficienter: Involverer flere koefficienter, men stadig kun en restriktion (et lighedstegn). Ex. Produktionsfunktion af Cobb-Douglas typen med arbejdskraft (L), kapital (K) og uobserverbare faktorer (U): I log-transformerede størrelser: Test antagelse om konstant skalaafkast:

4 Økonometri 1: F7 4 Generel lineær restriktion (fortsat) Hypotesen er af formen: ”En linearkombination af koefficienterne er lig med konstant”. Estimere, men hvad med ? Omparameterisere modellen: OLS af Hypotesen udtrykkes direkte som en restriktion på koefficienten til : Kald den fx Test restriktionen vha. t-stat. på Hvis CLM opfyldt så eksakt t-fordelt.

5 Økonometri 1: F7 5 Eksakte versus asymptotiske egenskaber Under antagelserne MLR.1-4 er OLS en middelret estimator.  Ved uafhængige trækninger af datasæt bestående af n observationer vil OLS–estimatoren i gennemsnit ramme den sande parameterværdi,.  Gælder for enhver størrelse n af datasættet Under CLM-antagelserne MLR.1-6 kender vi hele fordelingen eksakt:  t-test følger t-fordelingen  For enhver størrelse n af datasættet MLR.6: Normalitet er restriktivt. Nu: Drop MLR.6 og i stedet se på egenskaber for OLS når vi lader : Asymptotiske egenskaber

6 Økonometri 1: F7 6 Konsistens: Generelt Wooldridge appendix C.3 definerer konsistens af en estimator (se også TSØ kap. 8). Siger at estimatoren konvergerer i sandsynlighed (mod den sande værdi): Egenskab for estimatoren når antallet af observationer øges mod uendeligt. Minimalkrav til en ”fornuftig” estimator.

7 Økonometri 1: F7 7 Konsistens: Generelt (fortsat) Store tals lov: i.i.d. følge med middelværdi. Så gælder Anvendes på en lang række størrelser beregnet ud fra data: Gennemsnit, varianser, kovarianser mv. Egenskaber ved plim: 1. 2.

8 Økonometri 1: F7 8 Konsistens: Generelt (fortsat) Middelret estimator er ikke nødvendigvis konsistent: Præcisionen bliver ikke nødvendigvis bedre når Men: Hvis variansen af en middelret estimator går mod nul når, så gælder at Ex. i.i.d. følge med middelværdi og konstant varians :  Gennemsnittet af n observationer:  Gennemsnit af første og n’te observation:

9 Økonometri 1: F7 9 Konsistens: Generelt (fortsat)

10 Økonometri 1: F7 10 Konsistens: OLS Teorem 5.1: Konsistens af OLS estimatoren: Under antagelserne:  MLR.1: Lineær model:  MLR.2: Tilfældigt udvalg af  MLR.3: Ingen perfekt multikollinearitet: er non-singulær.  MLR.4: Betinget middelværdi nul: Så er OLS-estimatoren konsistent for Bevis: Tavlegennemgang. Konsistens kan vises under svagere betingelse end MLR.4:

11 Økonometri 1: F7 11 Konsistens: OLS Hvis fejlleddet er korreleret med en eller flere regressorer vil OLS være inkonsistent: Inkonsistensen (den ”asymptotiske bias”) i den simple lineære regressionsmodel er givet ved Pr. konstruktion forsvinder problemet ikke ved at få flere data fra samme population. Vil se på metoder til at håndtere inkonsistens i kap. 15.

12 Økonometri 1: F7 12 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt Konsistens af OLS i store datasæt under MLR.1-4: Minimumskrav opfyldt. Inferens: Vi behøver mere end det. Antager nu:  MLR.5: Homoskedasticitet:  Men ikke MLR.6: Normalitet af u i Normalfordelte fejlled er alt for stærk antagelse i en række realistiske problemstillinger:  Diskrete fordelinger: Heltallige udfald, fx antal medlemmer af en bestyrelse.  Skæve fordelinger: Asymmetriske aktieafkast.  Fordelinger med ”tunge” haler: Aktieafkast (outliers).

13 Økonometri 1: F7 13 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Generelt Teorem 5.2: Asymptotisk normalfordeling af OLS estimatoren Antag: Gauss-Markov antagelserne MLR.1-5. 

14 Økonometri 1: F7 14 Asymptotisk normalfordeling for OLS: I praksis Standardiserede OLS estimater er asymptotisk standardnormalfordelte: Hvad er ”asymptotisk”?  Afhænger bl.a. af, hvor meget u’s fordeling afviger fra normalfordelingen: Ikke hårde regler.  N(0,1) >< t n-k-1 : Ikke vigtigt (for rimeligt store n og moderate værdier af k). “Hjemmeopgave”: Illustration af Teorem 5.2 ud fra simulationseksperiment med uniformt fejlled: Kør SAS- programmet asynorm_uni.sas for forskellige værdier af n.

15 Økonometri 1: F7 15 Asymptotisk normalfordeling for OLS: Standardfejl OLS standardfejlen: Asymptotik: Komponenter i formlen: Betyder at går mod nul som 1/n, standardfejlen går mod nul som

16 Økonometri 1: F7 16 Asymptotisk efficiens af OLS estimatoren Under Gauss-Markov antagelserne er OLS asymptotisk efficient. Teorem 5.3: Under Gauss-Markov antagelserne har OLS den mindste asymptotiske varians blandt estimatorer, der løser ligningerne OLS:

17 Økonometri 1: F7 17 Oversigt over OLS estimatorens egenskaber AntagelserEksaktAsymptotisk MLR.1-MLR.4Middelret (Teorem 3.1) Konsistent (Teorem 5.1) MLR.1-MLR.5BLUE (Teorem 3.4) Asymptotisk efficiens (Teorem 5.3) MLR.1-MLR.5+MLR.6 Normal fordelt (Teorem 4.1) Asymptotisk normalfordelt (uden MLR.6) (Teorem 5.2)

18 Økonometri 1: F7 18 NB’er fra denne forelæsning Eksplicit om ingredienser i klassisk teststrategi. Valg af alternativhypotese: Økonomisk teori. Test af generel lineær restriktion: Omskrivning af modellen. Konsistens-begrebet: Asymptotisk (stort antal observationer). Konsistent contra middelret estimator. Normalfordelingsantagelse på fejlleddet contra asymptotisk normalfordeling af OLS estimatorerne.

19 Økonometri 1: F7 19 Hvad bliver det næste? Mandag:  Mere om kapitel 5 om ”asymptotiske” resultater.  Test af flere hypoteser (eksakte og asymptotiske)  Funktionel form Ugeseddel 4+5: Simulationseksperimenter.