Parabler, 2. gradspolynomier og 2.gradsligninger NB! Diasshowet skal afspilles! Anne Grethe Mølgaard Sct. Knuds Gymnasium 2014

Toppunktsformlen Sætn. Toppunktet for parablen med ligningen y = ax2 + bx + c er , d := b2 – 4ac T( , ) -b 2a -d 4a Bevis xT er toppunktets 1.koordinat og parablen er symmetrisk om linjen x = xT c er værdien i 0, og linjen y = c skærer dermed parablen i (0,c). Hvis toppunktet ikke ligger i (0,c), må der være et andet skæringspunkt P(x,c) mellem parablen og linjen y = c. (x,c) indsættes i parablens ligning, som løses mht. x. Symmetriaksen ligger midt mellem C og P, så xT må ligge midt mellem 0 og x, dvs.

Toppunktsformlen (fortsat) Sætn. Toppunktet for parablen med ligningen y = ax2 + bx + c er , d := b2 – 4ac T( , ) -b 2a -d 4a indsættes i parablens ligning for at bestemme 2. koordinaten yT til toppunktet.

eller Eksempler -2 5 -3 Toppunkt T

2.gradsligningen ax2 + bx +c = 0, a  0 d:= b2 - 4ac d > 0: 2 løsninger! d = 0: netop 1 løsning! d<0: Ingen løsninger! Øvelse Tegn grafen for h(x):= ax2 + bx + c i TII Bestem nulpunkterne for h, såvel ved beregning ud fra løsningsformlen, som ved grafisk aflæsning og brug af solve. Prøv med forskellige a, b og c-værdier. Stemmer det?

2.gradsligningen ax2 + bx +c = 0, a  0 ax2 + bx +c = 0 d<0: Ingen løsninger! da (.....)2  0 d0: 2 løsninger! for d > 0 Overvej at der heraf fås netop 1 løsning! for d = 0

Øvelse Løs nogle af de 2.gradsligninger, der optræder her – kontroller med grafværktøjet og solve.

Faktorisering af 2.gradspolynomium Def. r er rod i 2. gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c  p(r) = 0, altså når r er løsning til 2.gradsligningen p(x) = ax2 + bx + c =0 Sætn. 3 r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c  p(x) = a(x –r1)(x-r2)

Bevis for sætn.3 Faktorisering af 2.gradspolynomium   Vides r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c Skal vises: p(x) = a(x –r1)(x-r2) Benyt definition af rødder og løsningsformlen til 2.gradsligningen og Kvadratsætning (x – q)(x + q) = x2 – q2 Indsæt d = b2 – 4ac Kvadratsætning (x + q)2 = x2 + q2 + 2xq Indsæt i højresiden af p(x) = a(x –r1)(x-r2) Sæt på fælles brøkstreg Gang a ind i parentesen

Bevis for sætn.3 Faktorisering af 2.gradspolynomium   Vides p(x) = a(x –r1)(x-r2) Skal vises: r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c , dvs. at p(r1) = p(r2) = 0 Bestem hhv. p(r1) og p(r2) ved indsættelse i forskriften for p(x) p(r1) = a(r1-r1)(r1-r2) = a0(r1-r2) = 0 p(r2) = a(r2 -r1)(r2-r2) = a(r2-r1)0 = 0 r1 og r2 er altså rødder i p(x)

”Gætning” af rødder i en normeret 2.gradsligning Def. En normeret 2.gradsligning er en 2.gradsligning, hvor a = 1 Sætn. 4 r1 og r2 er rødder i en normeret 2.gradspolynomiet p(x) = x2 + bx + c  r1 + r2 = -b og r1r2 = c Bevis: Iflg. Sætn. 3 gælder at p(x) = (x –r1)(x-r2), da a = 1 p(x) = (x –r1)(x-r2)  x2 + bx + c = (x –r1)(x-r2)  x2 + bx + c = x2 – r2x – r1x + r1r2  x2 + bx + c = x2 – (r1+ r2)x + r1r2  x2 + bx + c = x2 – (r1+ r2)x + r1r2  b = – (r1+ r2) og c = r1r2

Tegning af parabler Fortsættes Sætn. 2 For en parabel gælder, at hvis man går 1 til højre fra toppunktet, skal man gå a op, derfra 1 til højre og 3a op, derfra 1 til højre og 5a op osv. Bevis: Da en parabel med ligningen y = ax2 + bx + c er en parallelforskydning af grundparablen y = ax2, er det nok at vise, at tegneanvisningen gælder for denne, idet punktet (0,0) i grundparablen forskydes over i toppunktet for den almene parabel. Fortsættes

O De ulige tal 1, 3, 5 osv. Vi skal vise, at y = (2n +1)a y = ax2 Vi skal vise, at y = (2n +1)a 2 4 6 8 10 -4 -2 O a(n+1)2 y = a(n+1)2 – an2 = y an2 a(n2 + 2n+1) – an2 = n n + 1 a(2n+1) n 1 2 3 4 y a 3a 5a 7a 9a