Andengradsfunktioner Disposition Signe og Lea, Hh2øa

Disposition For at kunne arbejde med andengradsfunktioner, er der nogle matematiske begreber og regningsmetoder, som er nødvendige at kende til. Vi vil komme ind på følgende: Den generelle forskrift + parametrenes betydning De 6 placeringer i koordinatsystemet Nulpunkter + nulpunktsformlen Toppunkt Monotoniforhold og ekstrema Omsætning og dækningsbidrag Indtegning af parabel Skæring mellem 2 parabler

Den generelle forskrift + parametrenes betydning f(x)=y=ax2+bx+c Parametrenes betydning (a, b og c samt d) Den generelle forskrift for en grundparabel: f(x)=y=x2

De 6 placeringer i koordinatsystemet 3 af de 6 mulige placeringer af parabler i koordinatsystemet er konvekse med: Ingen nulpunkter Ét nulpunkt To nulpunkter De andre 3 parabler er konkave med:

Nulpunkter + nulpunktsformlen Nulpunktsformel: x = Diskriminanten En parabel skærer ofte x-aksen. Der kan være 2, 1 eller ingen skæringspunkter/nulpunkter. Dette kan ses ud fra diskriminanten d > 0 (to løsninger) d = 0 (en løsning) d < 0 (ingen løsning) Udledning af nulpunktsformel

Toppunkt Maksimum eller minimum Toppunktsformel: tpx= Efter beregning af tpx, beregnes tpy ved at sætte det fundne x ind i funktionen. Tillægsspørgsmål: Redegør for, hvordan man fastlægger toppunktet for en andengradsfunktion, idet du skal gøre brug af differentialregning: Formel for differentialregning: f(x) = axn f’(x) = n*axn-1 f’(x) = 0  toppunkt

Monotoniforhold og ekstrema Monotoniforhold  intervaller hvor funktionen er voksende og aftagende Ekstrema  hvor på parablen der er et globalt maksimum/minimum eller lokalt maksimum/minimum. f(x) er aftagende i intervallet ]-∞;2] f(x) er voksende i intervallet [2; ∞ ]

Omsætning og dækningsbidrag Lineær sammenhæng mellem afsætning og pris  beregne den optimale afsætning og det største dækningsbidrag Eksempel: Prisfunktion  a = = & b= y-ax Afsætning - Pris pr. stk. 1000 150 2000 110

Indtegning af parabel Toppunktet er udgangspunktet - man nøjes med at se på det tal, der står foran x2. Det tal fortæller med hvilken fart funktionen vokser. Det er underordnet hvor toppunktet ligger. Grafen kan altid tegnes ud fra toppunktet. x<1 = Smal x>1 = bred x=1 = grundparabel Eksempel 1: f(x) = 2x2+4x-7 Eksempel 2: f(x) = -0,2x2+4x-7

Skæring mellem 2 parabler Hvis man skal finde skæringspunktet mellem to parabler, skal man sætte dem lig med hinanden. Dette kan også udføres i Nspire. Eksempel: f(x) = -2x2+5x+8 f(x) = x2+2x-7

Irrationelle funktioner Tillægsspørgsmål: Redegør for hvilken sammenhæng der er mellem x2 og - I forlængelse heraf redegør da for, hvordan man differentierer en af de to funktioner Irrationelle funktioner f(x) = x2, f’(x) = 2x f(x) = 𝑥 , f’(x) = 1 2 𝑥 Bevis i noter