ANDENGRADSFUNKTIONER Victor Hansen & Mathias Bagge Sanne Elkjær& Julie Jensen & Astrid Vendelbo

Indledning FORSKRIFT f(x) = ax2+bx+c TOPPUNKTSFORMEL DISKRIMINANTEN ULIGHEDER SKÆRING MED 2 PARABLER GRAFEN

FORSKRIFT F(x) ax2+bx+c A = HÆLDNINGSKOFICIENTEN (Smal, Bred, Konkav, Konveks) B = PLACERING I KOORDINATSYSTEM C = SKÆRING MED Y-AKSEN

TOPPUNKTSFORMEL 𝒕 𝒙 = −𝒃 𝟐𝒂 𝒕 𝒚 = −𝒅 𝟒𝒂 Ved at finde parablens toppunkt, starter man eksempelvis med at finde x-værdien og dernæst finder man y-værdi. For at finde toppunktets x- og y-værdier tager man udgangspunkt i toppunktsformlerne:

DISKRIMINANT 𝒅= 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 Hvis parameteren d er positiv: har vi 2 nulpunkter. Hvis parameteren d er 0: har vi 1 nulpunkt (også kaldet en dobbeltrod). Hvis parameteren d er negativ: har vi ingen nulpunkter.

ULIGHEDER Når vi løser en ulighed bruger vi nulpunktsformlen: 𝑥= −𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 Når uligheden er løst, skal der sættes klammer omkring, så vi kan se hvordan uligheden har været. Har uligheden været ≤ eller ≥, skal klammerne vende indad. Fx: L = [-3; 2] Har uligheden været < eller >, skal klammerne vende udad. Fx L =]-3; 2[

Skæring med to parabler Når man skal udregne skæringspunktet mellem to andengradsfunktioner, skal man sætte ligningerne op ved siden af hinanden, ligesom det er vist i eksemplet herunder: fx=4x2-3x+4 ∧ gx=-2x2+3x+4 4x2-3x+4=-2x2+3x+4 6x2-6x=0

GRAFEN Parabels graf tegnes ved at man skal starte i toppunktet, dernæst skal man stige i x- aksen. Det gør man ved at lave en beregning ud fra formlen: skridt i antal på x-aksen2/a. I en funktion med en a-værdi på -2 skal man så tegne den ud fra toppunktet. I dette tilfælde skal man gå ud fra toppunktet, derfor hedder det første skridt på x-aksen, hedde 12/-2, på y-aksen skal den formindskes med -12. Det betyder så at for hvis vi står i 3 skridt på x-aksen, skal vi lave en beregning der hedder 32 / - 2.

TILLÆGSSPØRGSMÅL Redegør for, hvordan man kan anvende andengradsfunktioner i forbindelse med omsætningskurver i virksomhedsøkonomi. Du må gerne tage udgangspunkt i et konkret eksempel

Afsætning (x) Pris (y) 50 5000 100 4000 150 3000 a= ∆𝑦 ∆𝑥 a= 4000−5000 100−50 =-20 b=y-ax b=5000-(-20)*50=6000 P(x)=ax+b P(x)= -20x+6000 O=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥 O(x)=−20 𝑥 2 +6000𝑥

Dækningsbidragskurve Omsætningskurve Ve=309 db(x)=𝑎 𝑥 2 + 𝑏−𝑣𝑒 𝑥 db(x)=−20 𝑥 2 + 6000−309 𝑥 = −20 𝑥 2 +5691𝑥 Tpx= −𝑏 2𝑎 tpx= −5691 2∗(−20) =142,28 P(x)=−20∗142,28+6000=3156 Konklusion: Den optimale pris er 3156 ved afsætningen af 142,28 Dækningsbidragskurve