Differentiering og funktioner generelt Sonny Singh & Julie Meldgaard

Disposition Udledning af f’(x) Kontinuert Tangentligningen Vendetangent Monotoniforhold og ekstremaer Nulpunkter Værdimængde Sammensatte funktioner Irrationelle funktioner

Udledning af f’(x) defineret som hældningskoefficienten for en tangent i et bestemt punkt på grafen for en funktion f(x)=axn & f’(x)=naxn-1 Eksempel: f(x)=2x2+4x+5 f’(x)=2*2x2-1+1*4x1-1+0*5 f’(x)=4x+4

Kontinuert Sammenhængende funktion x Ikke kontinuert x Kontinuert

Tangentligningen a = Udledning af tangentligningen Eksempel Ligningen for en ret linje er y=ax+b a = Eksempel Tx0 : y=f’(x0)(x-x0)+f(xo) f(x)= x3 - 6x2 + 5x f’(x)= 3x2 - 12x + 5 f’(1) = 3*12 – 12*1 + 5 = 3 – 12 + 5 = -4 f(1)= 13 -6*12 +5*1=0 T1:y = f’(1)(x-1)+f(1)  y = -4(x-1) + 0 -4x + 4 Hermed har man: y= -4x + 4

Vendetangent Der hvor en funktion er ens på begge sider af tangenten (ekstrema) Skifter fra konkav til konveks og omvendt. Differentieres to gange – det vil altså sige F’’(x) findes. EKSEMPEL: Bestemmelse af punktet med vendetangent for funktionen: f(x)=x3+12x2-5x-12   f’’’(x)=0  vendetangent 3x2+24x-5 6x+24 6x+24=0  6x=-24x=-4  x-værdien (-4)3+12*(-4)2-5*(-4)-12 = -64+192+20-12=200  y-værdien Punktet hedder: (-4,200)

Monotoniforhold og ekstremer Hvornår er funktionen voksende og aftagende? Ekstrema f’(x)=0 (vandret tangent) EKSEMPEL f(x)= 13x3-3x2+8x+2 f’(x)= x2-6x+8 f’(x)=0 x2-6x+8=0 Sættes ind i nulpunktsformlen. Resultat: x=2 v x=4 3’grads funktion, og den har en positiv a værdi. Derfor er den voksende til at starte med. Derfor er det første ekstrema et max og det næste et minimum. For at finde y-værdiener sætter vi x-værdierne ind i den oprindelige funktion F(2)= 13(2)3-3(2)2+8(2)+2= 8,66 F(4)= 13(4)3-3(4)2+8(4)+2= 7,33 Lokalt maksimum i (2,86) Lokalt minimum i (4,73) grafen starter med at vokse, frem til første ekstrema, og så aftager den, og så vokser den igen. Monotoniforholdene kan derfor nu let findes. Funktionen er voksende i intervallet ]-∞;2] Funktionen er aftagende i intervallet [2;4] Funktionen er voksende i intervallet [4;∞[

Nulpunkter Der hvor F(x) rammer x aksen Nulpunktsformel: 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 (Nulregel kan benyttes) Eksempel F(x)=x2+2x. x= −2± 2 2 −4∗1∗0 2∗1 x= −2± 4 2 4 =2 x= −2±2 2 x= -2 V x=0 Parablen rammer altså x-aksen ved -2 og 0 L = {-2;0}

Værdimængde Dm(f)= alle de x-værdier, som kan benyttes Vm(f)= alle de y-værdier, som kan benyttes Løsning skrives i intervaller Eksempel: F(x)=x: Dm(f)=[-8;7[ & Vm(f)=[8;7[ Når klammen er lukket indgår tallet i intervallet (Omvendt hvis åben) I dette tilfælde er 8 altså med og 7 er ikke Koordinatsystem: Lukket bolle = punktet inkluderes Åben bolle = punktet inkluderes ikke

Sammensatte funktioner To funktioner ”regnes” ind i hinanden g(f(x)) Den indre funktion (den der virker først) kaldes f Den ydre funktion (den der virker sidst) kaldes g EKSEMPEL: f(x) = 3x - 6 g(x) = -2x + 4   g(f(x)) = g(3x-6) = -2(3x-6) + 4 = -6x + 12 + 4 = -6x + 16 g(f(x))= -6x + 16

Irrationelle funktioner Nulreglen benyttes

Tillægsspørgsmål 1. Redegør for hvordan man bestemmer vendetangentpunktet på en funktion 2. Redegør for begrebet omvendt funktion – og hvilken sammenhæng der er mellem en funktion og dens omvendte funktion. Du må gerne tage udgangspunkt i en eller flere konkrete funktioner  

Tillægsspørgsmål 1 F’’(x) (Funktionen differentieres 2 gange) For at finde røringspunkt: F‘‘(x)=0 Sætter punktets x koordinat ind i den oprindelige funktion Eksempel f(x) = x3 – 6x2 + 5x f'(x) = 3x2 -12 x + 5 f ''(x) = 6x -12 f''(x) = 0 6x -12 = 0 6x = 12 x = 2 X værdi sættes ind i f(x) f(2) = 23 – 6*22 + 5*2 = 8 – 24 + 10 = -6 røringspunkt = (2,-6)

Tillægsspørgsmål 2 F-1(x): Formel: f-1(x)= 𝑥−𝑏 𝑎 (Modsat lineær) ”Én - til - én” funktion (Invertibel) F-1(x) kan spejles i y=x, Punkt (x,y) på f(x) vil hedde (y,x) på f-1(x). Eksempel: F(x)=2x+12 F-1(x)= 𝑥−12 2 = ½x-6 F(x) = blå F-1(x) = rød