Ligninger og uligheder AM 2009
En ligning kan opfattes som en ligevægt Hvis man fjerner noget fra den ene vægtskål bliver der uligevægt – ligningen gælder ikke længere. 3x 17 3x + 5 17
Hvis man fjerner det samme fra begge vægtskåle, bevares ligevægten – ligningen gælder stadig. Regel I: Man må trække samme tal fra (og lægge samme tal til) på begge sider af lighedstegnet. 3x +5 12 17 + 5
Hvis man deler indholdet af de to vægtskåle i samme antal lige store dele, bevares ligevægten – ligningen gælder stadig. De enkelte smådele er lige store og kan fjernes, uden at ligevægten ødelægges. Regel IIa): Man må dividere med samme tal (ikke 0) på begge sider af lighedstegnet. x 3x x x 4 12 4 4
Hvis man flytter indholdet af de to vægtskåle i en ligevægt til de to vægtskåle på en anden ligevægt, bevares ligevægten – ligningen gælder stadig. De enkelte smådele på hver vægtskål kan samles, uden at ligevægten ødelægges. Regel IIb): Man må gange med samme tal (ikke 0) på begge sider af lighedstegnet. x ½x 4 8 ½x 4
Løsning af ligninger At løse en ligning med en ubekendt størrelse x, vil sige at bestemme den talværdi af x, som passer i ligningen - ligevægten skal opretholdes, når x erstattes med den fundne løsning ? x 3 + 5 17 x
Hvad nu, hvis x erstattes med et andet tal, bliver der så ubalance? I det foregående fandt vi, at ligevægten blev bevaret, når x = 4. 4 skal så kunne erstatte x på vægtskålen, uden at balancen forrykkes – ligningen gælder. JEP! 12 + 5 = 17 Der er balance! 3 12 4 x + 5 17
Hvis x fx erstattes med 3, bliver der ubalance. 9 + 5 er 14, som er mindre end 17 og vægtskålene vipper – ligningen gælder ikke. 17 + 5 x 9 3 3 x + 5 17
Metode til løsning af ligninger De tal, der indgår, er ikke brøker Metode til løsning af ligninger 1 Leddene med den ubekendte x samles på den ene vægtskål (lettest hvor der er flest x) og konstanterne på den anden - og tilføjes 23 til på begge Så divideres med 4 på begge sider Der fjernes 3x fra hver vægtskål + 5 7 - 23 x 3 + 5 7 - 23 x 3 4 23 + 5 7 - 23 x 3 7 + 5 7 - 23 x 3 4 28 + 5 7 - 23 x 3 4 3x + 5 = 7x -23 5 = 4x -23 28 = 4x 7 = x
Nogle af de tal, der indgår, er brøker Find et tal (gerne det mindste), som alle nævnerne går op i. Nævnerne her er 3, 4 og 8. De går alle op i 24, så snup det.. Gang med dette tal på begge sider af lighedstegnet – husk at gange hele venstresiden og hele højresiden! 48, 72 osv. kunne også bruges, men jo mindre tallene er, des lettere er de at regne med. Gang ind i og reducer! Alle tallene er nu hele, og metoden fra før anvendes! Forkort
Metode til løsning af 2 ligninger med 2 ubekendte og 2x + 3y = 4 5x + 2y = 3 og -4x - 6y = -8 15x + 6y = 9 11x = 1 Reducer! Gang de to ligninger med hver sit tal, så tallene foran én af de ubekendte bliver modsatte (fx 7 og -7) i de to ligninger. Man kunne jo også have valgt fx at gange den øverste med 5 og den nederste med -2. Der er mange muligheder – humm! Hvis den øverste ligning ganges med -2 og den nederste med 3, bliver tallene foran y hhv. -6 og 6. At gange den øverste ligning med -2 og den nederste med 3 var et godt valg. Det gør jeg! Nu er der en ligning med én ubekendt. Den løses på sædvanlig vis. Hvis de to ligninger lægges sammen, forsvinder leddene med den ene ubekendt. Det svarer til at flytte fra vægtskålene på den ene vægt til skålene på den anden, så ligevægten bevares. 2x+3y 4 5x + 2y 3 -x-6y -8 15x + 6y 9 -4x-6y -8 15x + 6y 9 11x 1
Nu har jeg den ene ubekendt (x), men jeg mangler jo den anden (y). Jeg kunne også gange den første ligning med 5 og den nederste med -2 og så gøre som før. Hvad mon er lettest? Jeg prøver da begge dele! Jeg er ikke så vild med brøker, så jeg prøver først metoden fra før! Og så var det smart at gange med et tal, som alle nævnerne går op i! Jeg ganger med 11 på begge sider. Jeg kan sætte x-værdien ind i en af de oprindelige ligninger og løse den mht. y Det gik jo godt nok! Nu prøver jeg så at indsætte den fundne x-løsning i den første ligning. og 2x + 3y = 4 5x + 2y = 3 og 10x + 15y = 20 -10x - 4y = -6 11y = 14 Den brøk kan forkortes med 3. 3 går op i tværsummen af både 42 og 33.
Mon ikke jeg nu kan klare nogle opgaver? Det var da ikke så svært! Mon ikke jeg nu kan klare nogle opgaver? Opgaver 1 Opgaver 2 > Ligninger og uligheder > Ligninger små træningsopgaver Opgaver 3 (Lidt sværere)