Semantik, model teori Et (formalt) sprog har ingen mening indtil man interpreterer dets forskellige (korrekte) udtryksformer (vff’s) mhp. en bestemt situation. Det gør man ved at relatere sprogets elementære og sammensatte udtryk til situationens elementer og sammenhænge. Standardmetoden i den logiske semantik er at formalisere begrebet situation og angive regler for hvordan formler i logikken korresponderer til påstande om denne situation. Sådanne situationer kaldes modeller for en logik (et logisk sprog). En semantik der bruger modeller til interpretation af logiske sprog, kaldes model teori.

Semantik for propositionslogik Vi kikker først på en delmængde af FOL bestående af kun propositionsvariabler og konnektiver. Med andre ord findes der i denne delmængde ingen termer, genstands-variabler eller kvantorer. Denne delmængde kalder man propositionslogik (PL). En model for propositionslogikken er en afbildning (jf. glossar) af PL-formler i mængden af sandhedsværdierne bestående af de to elementer S (for sand) og F (for falsk).

Konstruktion af propositionslogiske modeller En PL-model konstrueres på følgende måde: 1. man bestemmer først hvordan alle de atomiske propositioner afbildes (i mængden af sandhedsværdierne S, F). 2. afleder man værdierne for sammensatte formler på grundlag af definitionerne for de logiske operatorer (propositions-konnektiver). Konnektiverne opfattes semantisk som funktioner (se glossar) der afbilder en kombination af sandhedsværdier i en enkelt sandheds-værdi.

Sandhedsfunktionalitet, ekstensionalitetsprincip Denne metode beror på antagelsen at de logiske operatorers mening alene kan defineres på grundlag af sandhedsværdierne (se glossar) for deres argumenter (dvs. atomiske propositioner) og er uafhængig af disses indhold/mening/intension. Denne antagelse hænger sammen med propositions-operatorernes sandhedsfunktionalitet og det såkaldte ekstensionalitetsprincip (jf. glossar). Antag fx propositionerne P og Q er begge sande (dvs. de afbildes i sandhedsværdien S). Viser det sig at P  R er sand for en eller anden proposition R, så må også Q  R være sand.

PL-semantik Konstruktionen af en PL-model for de enkelte propositions-operatorer ser nu sådan ud: man definerer en funktion V som afbilder PL-formler i værdierne S eller F. Denne funktion kan defineres rekursiv (jf. glossar) vha. følgende regler: V.1 V(p  q) = S hvis V (p) = S og V (q) = S, og ellers er V (p  q) = F V.2 V( p) = S hvis V(p) = F; ellers er V( p) = F V.3 V(p  q) = S hvis V(p) = S eller V(q) = S; ellers er V(p  q) = F V.4 V(p  q) = S hvis V(p) = F eller V(q) = S; ellers er V(p  q) = F V.5 V(p  q) = S hvis V(p) = V(q); ellers er V(p  q) = F

PL-model Vha. af disse regler kan man konstruere et fuldstændigt sæt af modeller for en propositions-logik med kun to propositioner – P og Q. Der findes eksakt fire mulige modeller hvor hver enkelt model repræsenterer en af de mulige måder at forbinde S eller F med hver af de to propositioner. Disse modeller er opsummeret i Figur L.7 hvor hver række af sandhedsværdier repræsenterer én af de mulige modeller.

Figur L.7 Model P Q P P  Q P  Q P Q P  Q P  Q (P  Q)  (P  Q) 1. S S F S S S S S S 2. S F F F S F F F S 3. F S S F S S F S S 4. F F S F F S S S S

Semantisk bevismetode Undersøger man Figur L.7 nærmere så viser den en ny (semantisk) måde at bevise ækvivalensen af logiske formler på. I stedet for vha. slutningsregler at konstruere et (syntaktisk) bevis for (P  Q)  (P  Q) kan man demonstrere at alle mulige modeller for denne formel har sandhedsværdien S. For at kunne se det tag fx bestemmelsen af sandhedsværdien for denne formel i Figur L.7, model 2. Ifølge regel V.4 er her værdien for P  Q lige F. Ifølge V.2 er værdien for P også lige F og ifølge V.3 gælder derfor det samme for P  Q. På den måde får de to delformler i denne model samme sandhedsværdi og er derfor ækvivalente. Det samme resultat får man i alle de andre modeller.

Slutningsregler og bevis vha. sandhedstavler På den måde har vi nu to forskellige definitioner af de logiske (propositions-)operatorer – den ene vha. de syntaktiske slutningsregler og den anden vha. den semantiske funktion V (sandhedstavle, se glossar). Det er et interessant spørgsmål for logikere om de to metoder stemmer overens mhp. alle formler.

Semantik for prædikatslogik domæne En semantik for den prædikats-logiske del af FOL kræver en udvidelse af sandhedstavle-metoden og bliver sædvanligvis formuleret mængdeteoretisk. Udvidelsen er nødvendig fordi der findes andre udtryk end propositioner der semantisk skal defineres. Termerne i prædikatslogikken repræsenterer ikke sandhedsværdier, men nærmere fysiske objekter, hændelser, tidslige og rumlige lokaliseringer osv. Alle disse objekter opfattes som elementer af en mængde objekter der kaldes domæne (genstandsområde).

Semantik for termer (genstandsbetegnelser), sorteret og ikke-sorteret logik Opdeler man et genstandsområde i delklasser der adskilt omfatter fysiske genstande, hændelser, tider osv., så er der tale om en semantik for en sorteret logik. Her er termerne sorterede efter den delklasse de beskriver. I vores tilfælde kan vi dog nøjes med en enkelt elementmængde i et domæne, kaldet . Valideringsfunktionen for termer definerer derefter for hver term ét element af  som termen refererer til (tit kaldet det element termen betegner). Hvordan en sådan afbildning af termer i genstande af et domæne som vores modelsituation1 kan se ud viser Figur L.8

Figur L.8 STOL2 BRÆNDEOVN LAMPE3 LAMPE2 VÆG2 PERSON2 PERSON3 BILLEDE2     VÆG2 PERSON2 PERSON3 BILLEDE2 VÆG1 BILLEDE3 LAMPE1 LAMPE4 BILLEDE1 VÆG3 PERSON1 PERSON4 STOL1 VINDUESKARM TERMOKANDE1 BORDDUG MÆLKEKARTON1 TERMOKANDE2 Figur L.8

Semantik for prædikatsudtryk I FOL skelnes også mellem prædikatsnavne og de propositioner der er opbygget af et prædikatsnavn og (en liste) af argumenter. Valideringsfunktionen afbilder monadiske prædikatsnavne (= betegnelse for et prædikat med kun ét argument, fx KLOG(PERSON2)) i en af domænets delmængder. Fx ville prædikatsnavnet RØD afbildes i mængden af alle elementer i  der kan opfattes som røde. (se Figur L.9)

Figur L.9 semantik for prædikatsnavn RØD x3 x1 x2 Mængde af røde genstande: V(RØD) = {x1, x2, x3}

Semantik for atomiske propositionsudtryk Semantikken for en atomisk proposition opbygget af et monadisk prædikatsnavn (P) og en eller anden term (t) kan nu defineres på følgende måde: V(P(t)) = S hvis V(t) er et element af V(P), ellers F. Fx er V(RØD(bluse(PERSON1))) = S i modelsituation1 (se Figur L.9)

Semantik for n-adiske prædikatsnavne Prædikatsnavne med mere end ét argument bliver behandlet på en lignende måde. Valideringsfunktionen afbilder et prædikatsnavn P med n argumenter i en mængde af element-lister med længde n (også kaldet n-tupler). Semantikken for atomiske propositioner med P som n-adisk prædikatsnavn og a1, …, an som termer: V(P(a1, …, an)) = S hvis (V(a1), …, V(an)) er et element af V(P), ellers F Fx er V(VENDER(PERSON1, HOVED1, PERSON2)) = S i modelsituation1.

Semantik for kvantorer Semantikken for kvantorerne ser ud som følger. Alt det vi har brug for er en metode hvordan vi kan substituere variabler i formler. Lad Px være en formel der indeholder termen x, så ser semantikken for kvantorerne således ud: V(x Px) = S hvis for hvert element a i  gælder V(Pa) = S V(x Px) = S hvis der findes mindst ét element a i  så at V(Pa) = S

Eksempler Fx er V(x (PERSON(x)  BESLÆGTET(x)) = S og V(x (PERSON(x)  HUNKØN(x)) = S i modelsituation1.

Øvelse 3.2 Undersøg vha. sandhedstavler hvilken af de to propositioner der er logisk sand: ((p  q)   p)   q eller ((p  q)   q)   p. Undersøg om de efterfølgende propositioner er sande eller falske mhp. modelsituation2: x((MENNESKE(x)  HUNKØN(x))  BARFODET(x))  x(MAND(x)   HAR_PÅ(x, SANDALER)) x ((HANKØN(x)  BARFODET(x))  ( SIDDER_PÅ(x, GED)   FAR(x, PALOMA))