Andensgradspolynomier Lavet af Jean Paul Byiringiro fra 3øma

Forskrift og graf En andensgradsfunktion er en funktion, der beskrives med en forskrift af typen: 𝑦=𝑓 𝑥 =𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐, 𝑎≠0, De reelle tal a, b og c kaldes for polynomiets koefficient Grafen for andengradspolynomiet kaldes en parabel Eksempel ℎ 𝑥 =𝑥 2 −6𝑥+5, hvor 1 og 5 er nulpunkter.

Nulpunktformlen Nulpunkter for en andengradsligning: 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0, for at løse, altså at finde x, skal man anvende nulpunktsformlen: 𝒙= −𝒃± 𝒅 𝟐𝒂 ,𝒉𝒗𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒔𝒌𝒓𝒊𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕 𝒅= 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄  Eksempel: 2𝑥 2 +5𝑥+3=0 𝑑= 5 2 −4∗2∗3=1 𝑑=1 −5± 1 2∗2 −1,5 −1 , Heraf −1, 5 og −1 er nulpunkter Bevis

Bevis for nulpunktsformlen Trin i beviset Forklaring ax 2 +bx+c=0 Gang med 4a på begge sider af lighedstegnet 4a∙( ax 2 +bx+c)=4a∙0 Parentesen opløftes og der ganges ind alle led 4a∙ ax 2 +4a∙bx+4a∙c=4a∙0 Man reducerer udtrykkene 4 a 2 x 2 +4abx+4ac=0 Træk 4ac fra på begge sider af lighedstegnet 4 𝑎 2 𝑥 2 +4𝑎𝑏𝑥+4𝑎𝑐−4𝑎𝑐=0−4𝑎𝑐 Man kan sætte fælles eksponenten udenfor parentesen, da de har fælles eksponent. Man bruger potensregnereglen (2ax) 2 +4abx=−4ac Man tilsætter b^2 på begge sider (2ax) 2 +4abx + b 2 = b 2 −4ac 𝟐𝒂𝒙+𝒃 𝟐 = 2𝑎𝑥+𝑏 ∙ 2𝑎𝑥+𝑏 = (2𝑎𝑥) 2 +2𝑎𝑥∙𝑏+𝑏∙2𝑎𝑥+ 𝑏 2 = (𝟐𝒂𝒙) 𝟐 +𝟒𝒂𝒃𝒙+ 𝒃 𝟐 2𝑎𝑥+𝑏 2 =𝑑 Sæt 𝑑= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎𝑥^2+𝑏^2 = 𝑑 Antag at d ikke er negativ. Tag kvadratroden af udtrykket på begge sider af lighedstegnet. 2ax + b = 𝑑 Træk b fra på begge sider af lighedstegnet. 2𝑎𝑥=−𝑏± 𝑑 Så dividerer du med 2a på begge sider 𝑥= −𝑏± 𝑑 2𝑎 SLUT

Toppunktformlen Eksempel på beregning af toppunkt… 𝑥 2 −4𝑥+2=0 Toppunkt for andengradspolynomiumiet 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0, for at løse, altså at finde x, skal man anvende toppunktsformlen: 𝑻=(− 𝒃 𝟐𝒂 ,− 𝒅 𝟒𝒂 );𝒉𝒗𝒐𝒓 𝒅= 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 Formlen kan hjælpe med at finde ud af (x, y) altså hvor det toppunkt rammer i koordinatsystemet. Eksempel på beregning af toppunkt… 𝑥 2 −4𝑥+2=0 𝑑= (−4) 2 −4∗1∗2=8 𝑑=8 så er toppunktet: 𝑻= − −𝟒 𝟐∗𝟏 ,− 𝟖 𝟒∗𝟏 =(𝟐,−𝟐) Toppunktet kan også aflæses på grafen (det røde punkt(2,-2))