Areal og bestemt integral Vi vil bestemme arealet under en kurve:

Arealfunktionen Vi vil se på en kontinuert ikke-negativ funktion f i intervallet [a;b]. Hvis x er et tal mellem a og b indfører vi arealfunktionen A ved: A(x)= arealet af området mellem grafen for f og x-aksen i intervallet [a;x]

A(x): Vi ønsker at bestemme arealet under kurven fra a=2 til x=5. Bemærk at arealet A(2)=0!

Sætning 1: Hvis f er en kontinuert ikke-negativ funktion i intervallet [a;b] er arealfunktionen A differentiabel med den afledede funktion f, dvs A’(x)=f(x) Altså A er en stamfunktion til f

Bevis for Jonathan: Hvis A er en stamfunktion for f, så er A’(x)= f(x): A’(x) er grænseværdien for

Hvis A(x) er arealet fra 0 til x er A(x+h) arealet fra 0 til x+h så er Arealet fra x til x+h Hvis vi lader h gå mod 0, får vi klemt mellem f(x) og f(x+h) Se næste dias Og dermed har vi at A’(x) går mod f(x) når h går imod 0

Eksempler: Her ses funktionen f(x)=½x+1 Arealet begrænset af grafen, x-aksen og linjerne x=2 og x=5 bliver (Arealet af et trapez: ½h*(a+b)) A(5)=½*3*(f(2)+f(5))=1,5*(2+3,5)=8,25 A(7)=½*5*(f(2)+f(7))=½*5*(2+4,5)=16,26 Generelt er: A(x)=½ * (x-2)*(f(2)+f(x)) A(x)=½ * (x-2)*(2 + ½x+1)=½*(x – 2)*(½x +3) A(x)=½*( ½x2+3x– x - 6) A(x)=1/4x2+x – 3 A(x) er altså stamfunktion til ½x+1, da A’(x)=½x+1

Sætning 2 Hvis f er en ikke-negativ funktion i intervallet [a;b] er arealet A af det område, der begrænses af grafen, x-aksen og linjerne x=a og x=b givet ved: A= F(b)-F(a) Hvor F er en vilkårlig stamfunktion til f

Bevis: Hvis A(x) er arealfunktionen for f, er A(x) arealet af området under grafen i [a;b], så vi ønsker at finde A(b) Vi ser på en vilkårlig stamfunktion F til f. Da A er en stamfunktion til f er forskellen mellem A og F en konstant. For alle x i intervallet [a;b] er A(x)-F(x)= k Specielt er A(a)-F(a)=k og A(b)-F(b)=k og dermed: A(a)-F(a)=A(b)-F(b) A(a)=0, så vi får: -F(a)=A(b)-F(b) og dermed: A(b)=F(b)-F(a)

Her ses funktionen f(x)=2x+3 Vi vil bestemme arealet under grafen fra 0 til 5 Geometrisk er det: 3*5 + ½*5*10=40 Det bestemte integral af 2x+3, fra 0 til 5: Giver

Det bestemte integral Definition: Lad f være kontinuert i intervallet [a;b] Med stamfunktionen F. Ved det bestemte integral af f fra a til b forstås tallet: F(b)-F(a) Som skrives: