Optimering af konstruktionsudformning Optimering af konstruktionsudformning. - Elastiske og Idealplastiske materialer Lars Damkilde Esbjerg Tekniske Institut, Aalborg University

Optimeringsprincip Objektfunktion: Hvad er målet? - Minimum vægt for given last og maximal spænding - Minimum pris for givne funktionskriterier. - Største last for given konstruktionsudformning - Maksimere den mindste egenfrekvens Vanskelighed: Formulere målet matematisk og at kunne kvantificere det.

Optimeringsmetode Iterativ metode - Vælger et udgangsdesign, der opfylder restriktionerne - Beregner for hver mulig ændring i designparametrene ændringen i objektfunktionen. - Bestemmer den bedste inkrementale ændring i designparametrene - Foretager en endelig ændring i designet, der opfylder alle restriktioner, f.eks. given materialemængde. - Gentager processen indtil, der ikke sker fremskridt.

Optimeringsproblem: Matematisk formulering Variable: -Designparametre som f.eks. densitet, givne krumningsradier eller tværsnitskonstanter - Spændinger, tøjninger, flytninger i konstruktionen. Min/max af en objektfunktion under givne restriktioner. - Ligevægt - Randbetingelser (statiske/geometriske) - Given materialemængde

Optimeringsalgoritmer Udregner gradienter (sensitiviteter) for alle designvariable. Optimum: Når alle sensitiviteter er ens. Økonomi: Marginalindtægter/marginaludgifter. Lokalt/globalt optimum: Ingen garanti. Man bevæger sig fra et designpunkt til et bedre, og der kan godt være andre designs, som er bedre. Klassiske algoritme: Linear Programmering (LP). Lineær objektfunktion, lineære restriktioner. Ofte grundlaget for mere sofistikerede metoder

Optimering af konstruktionsudformning Problemtype: Sizing Finde tværsnitsdimensioner i en gitterkonstruktion med kendte knudepunkter og elementer Finde armeringsmængder i en bjælke/plade, hvor man kender/har valgt bøjningsmomenter og forskydningskræfter.

Beregningsmetode Objektfunktionen: Minimum materialemængde Opstillet restriktioner, f.eks. styrke eller stivhedskrav Vælger et udgangsdesign, der opfylder alle krav Bestemmer sensitiviterne for alle designparametre. D.v.s. hvad får en ændring af designvariable i på styrkekravet j. Sammensætter en ændring i designparametrene, så alle restriktioner er opfyldt og så materialeforbruget. Hvis det ikke kan lade sig gøre er udgangspunktet optimalt. LP-bruges ofte som matematisk metode. Vanskelighed: Designændringer medfører ændringer i spændinger. Stive elementer tiltrækker kræfter.

Topology optimering Bestem den optimale fordeling af materiale Givet design domain, randbetingelser, last, mængde af materiale Algoritmen finder den optimale fordeling af materiale med hensyn til stivhed. Der kan tilføjes yderligere bindinger (constraints) Her ses kun på lineære statiske problemer med et lasttilfælde. Kan også bruges på ikke-lineære problemer

Problemtype: Shape optimization Givet udgangsdesign, som ønskes modificeret. Problemtype minder om Sizing, men kompliceres af at geometrien ændres, sådan at analysen (FEM) kompliceres. Algoritmen er grundlæggende den samme, idet man bevæger sig mod optimum af en række step, der hver for sig forbedrer designet. Designændringer skal laves, så de opfylder både fysiske krav (ligevægt mm.) og designmæssige krav.

Optimering af lay-out – Topologi optimering Givet et designområde, hvor der kan placeres materiale Givne belastningstilfælde og understøtningsbetingelser Given materialemængde Objektfunktion: Maximum stivhed, minimum spænding, maksimum af mindste egenfrekvens …. Produktionsbegrænsninger. Min/max dimensioner på huller, tykkelser mm. Trækretning, ingen indre huller.

Eksempel: Dækplade til en pumpe Optimized structure Design Domain

Produktion – CAD-modeller CAD-model lavet på basis af den optimerede struktur Skarpe konturer er fordelagtige Små ændringer har betydning

Metode i Topologi Optimering Diskretiser design domainet og giv hvert element en densitet, som kan variere mellem 1 (Material) og 0 (Void). Definer en objektfunktion, f.eks. maximum stivhed. Straf (eller tilskynd) systemet til at finde såkaldte 0 -1 løsninger SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) Stivhedsmatrix for element i

Ændringer i materiale fordelingen under iteration Rød: Material Blå: Void Materiale densitet Material Flow

Kriterium for optimum Ideen er at minimere den elastiske energi, d.v.s. lave den stiveste konstruktion. Hvert element bidrager til den elastiske energi og i den optimale løsninger er marginalbidraget fra hvert element ens (for matematikere er det Kuhn-Tucker kriteriet). Marginalbidraget – eller følsomheden – er ændringen med hensyntagen til en ændring af elementets densitet. Optimeringsrutinen beregner følsomheden and omfordeler derefter materialet. Omfordelingsalgoritmen er baseret på følsomhederne.

- Men Elementer er smarte 0-1 designet lægger en restriktion på løsningen, og hvis man ikke straffer mellemliggende design vil der kunne opstå regioner med en densitet på f.eks. 0.5 Elementerne omfordeler internt og ”snyder” SIMP algoritmen, og giver såkaldte skakterns-løsninger.

Filtrering I filtrerings processen udjævnes følsomhederne og forhindrer skakterns.løsninger. Designet bliver enklere når filter radius øges. I det nye filter anvendes kun det marginale stivhedsbidrag, medens det oprindelige filter foreslået af Sigmund, også inkludere densiteten. Det foreslåede filter giver meget skarpe konturer Filteret udjævner over et areal defineret af R

Forskel i resultater Nyt filter, AAUE Oprindeligt filter, Sigmund, DTU.

Forklaring I Sigmunds filter kan skarpe konturer per definition ikke eksistere

Mindre indflydelse af R

Skak-tern eller for groft element net Groft net Fint net

Konklusion Opstillet en metode til bestemmelse af optimalt lay-out Anvendt en filter teknik som giver skarpe konturer Vigtigt ved overførsel af geometriske data fra optimerings programmet til CAD-systemet Det anvendte filter giver mere robuste løsninger i forhold til filtreringsradius d.v.s. stivheden er relativt uafhængig af filtreringsradius.

Ansys – og topologioptimering Mulighed for i nær fremtid at benytte en pakke udviklet på Grundfos og forbedret på AAUE. Arbejdes med egensvingninger. Nye områder: Varmeledning (enten max eller min) Stabilitet Designkrav Kompositkonstruktioner

Ideal - Plastiske analyser Eksempler Brudlinieberegning af plader Brudlinieberegninger i jord Svigtanalyse i stålsamlinger

Eksempel: Praktisk design Designeren skal finde den farligste kollapsform.

Ide i brudstadieberegning - Limit analysis Kun interesseret i kollapslasten og kollapsformen. Last-flytningskurven beregnes ikke.

Limit analysis Forudsætter ubegrænsede plastiske tøjninger Alle flytningsrelaterede effekter negligeres Revnedannelse Stabilitet (anden ordens effekter) Fordelen er forenklede analyser Pioner inden for plastiske design metoder: K.W. Johansen Danske normer har brugt det i mange år, og de nye EuroCodes har også accepteret princippet

Øvre- og Nedreværdimetoder Kollapslasten af konstruktioner af ideal-plastiske materialer kan bestemmes med Øvreværdimetoden Find den mest kritiske kollapse form Nedreværdimetoden Find den optimale måde at bære belastningen på I begge tilfælde indgår optimering

Øvreværdimetoden Kollapse formen skal være geometrisk mulig Kollapse lasten findes ved at beregne det ydre arbejde fra belastningen og det det indre arbejde i f.eks. brudlinier Alle mulige kollaps former skal undersøges men optimum er i praksis ret fladt Egnet til håndberegninger Passer ikke optimalt med en Elementmetodebaseret løsningsmetode, da f.eks. flydelinier ikke følger element grænser.

Nedreværdimetoden Find en spændingsfordeling I ligevægt Ikke overskrider flydebetingelsen Ikke egnet til håndberegning Passer direkte ind i en FEM-baseret metode En effektiv optimeringsrutine er nødvendig

Finite Element formulering Spændingsbaserede elementer Lokale ligevægtsmatricer for bjælker, skiver, plader, stringere Eksempel 2-D bjælke element 3 spændingsparametre. Normalkraft og 2 bøjningsmomenter h er en 6 x 3 matrix

Global ligevægt Assemblering af H er som i standard Finite Element Ligevægtsmatrice er ikke kvadratisk matrix Flere ubekendte end ligninger Graden af statisk ubestemthed giver antallet af ekstra ubekendte Lasten består af en fast og en variabel del Factorisering reducerer optimeringsproblemet

Flydekriterier For alle elementer og i alle extremumspunkter Generelt ikke-lineært men kan lineariseres Formuleres i styrkeparametre eller design parametre (f.eks. arealet af armeringen)

Lastoptimering Find den spændingsfordeling, der giver den største bæreevne og overholder flydekriterierne

Materialeoptimering Find det optimale armeringsarrangement for given belastning. Vægtene er defineret i a. Kan udvides til flere lasttilfælde

Optimeringsalgoritmer Linear Programming Enkel, mange iterationer, numerisk unøjagtig ved mange iterationer. Interior Point Method med lineære begrænsninger Enkel, få iterationer, numerisk stabil Interior Point Method med ikke-lineære begrænsninger Kompliceret, få iterationer, meget effektiv, algoritmer er endnu ikke robuste

Primal/dual formulering

Bjælker og rammer Primal/dual conceptet er ens, d.v.s. et øvreværdiproblem vil føre til et nedreværdiproblem For andre elementtyper bliver det duale nedreværdiproblem kun en tilnærmet øvreværdiløsning. Kollapse formen for plader og skiver er tilnærmet.

Ramme eksempel Test eksempel fra Tam & Jennings

Optimalt design Design afhænger af den relative styrke mellem søjler og bjælker.

Armerede betonplader Bestem den ulltimative bæreevne Find et passende armeringsarrangement (optimal material layout) En elastisk løsning giver høje spændinger i små områder, medens en ideal-plastisk løsning omfordeler spændingerne så belastningen bæres på en optimal måde.

Flyde kriterium for plader M.P. Nielsen (1964) og R. Wolfensberger (1964)

Teoretisk eksempel: Simpelt understøttet plade med jævnt fordelt last

Numerisk løsning Fejl (på den sikre side) er for N=8 mindre end 1%

Praktisk design eksempel Bæreevnen overvurderet med 12-13 % i håndberegningen

Ulemper Den ideal-plastiske analyse giver ingen information om flytninger Revnevidder og deformationer kan kun bestemmes med en fuldt ikke-lineær analyse

Betonskiver Stringer system anvendes i armerede betonkonstruktioner

Strut & Tie models Fordel at have en systematisk måde at finde optimale måder at bære en belastning på

Armerings arrangement Flydekriterium svarende til plader (fordelt armering)

Finite Element model Muliggør optimering af placeringen af armeringen

Geoteknik Opførsel af jord Mohr-Coulomb flydekriterium Spunsvægge og ankre Kombination af moment kapacitet og normalkraft kapacitet 2-D plan tøjning eller 3-D

Bæreevnen af et fundament Numeriske løsning svarer til Prandtl’s teoretiske

Design af spunsvæg Design problem Dybden af spunsvæggen Dimensioner af væg og anker

Finite Element resultater Kollapsformen kan laves med håndregningsmetoder Forskellige brudzoner. Brinch Hansen.

Spunsvæg med jordanker Fremgangsmåden med FEM er den samme Håndberegninger kræver en ny analyse.

Lagdelt jord Kompliceret geometri er meget vanskelig i håndberegningsmetoder.

Finite Element – Kollapse form Dual formulering sikrer en visuel kontrol

Jordtryk og momenter Spændinger kan også bruges til kontrol

Konklusion Numerisk formulering af en klassisk håndregningsmetode Finite Element concept Simple standard elementer bjælker, plader etc. Effektive numeriske værktøjer. Factorisering og optimering Kræver mange beregninger Visualisering af resultater Praktisk design værktøj