1 Effektiv forrentning Kjeld Tyllesen PEØ, CBS Erhvervsøkonomi / Managerial Economics Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

2 Når vi ønsker en økonomisk beregning af et foreliggende projekt (Investering eller Finansiering) har vi følgende 4 modeller: 1. Kapitalværdi 2. Den effektive forrentning 3. Annuitetsmetoden 4. Payback-metoden De 3 første metoder hænger teoretisk og logisk sammen og vil derfor med hver sine beslutningsregler komme frem til det samme resultat

Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS3 Nr. 4. Payback-metoden er en selvstændig ”tommelfinger”-model, som teoretisk set ikke hænger sammen med 1 – 3, og derfor også kan komme til andre resultater som altså ikke er teoretisk korrekte Men nemme – og praktiske at anvende Nr. 1, 3 og 4 er der redegjort for i særskilte film Så her gennemgås # 2, Den effektive forrentning

Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS4 Først ser vi på Fælles betingelser for Investerings-/Finansieringsforslaget - uanset metode

Det er en grundlæggende antagelse i denne fremstilling, at der rent regneteknisk ikke er nogen forskel på Investering og Finansiering I begge tilfælde er der tale om betalingsstrømme med periodisk inddeling Kapitalværdi N = Værdi på et givet tidspunkt, N af alle projektets ind- og udbetalinger ”Projektet” kan være såvel et Investeringsforslag som et forslag til Finansieringsform Så det grundlæggende udgangspunkt er altså en betalingsstrøm 5Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

Tid Hvis der er tale om en Investering, ser likviditetsforløbet således ud: Og hvis der er tale om en Finansieringsform, ser likviditetsforløbet således ud: Tid 6Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Dette er den ”rene” form med én ud-/indbetaling Der kan selvsagt forekomme forløb, hvor den indledende betaling (+/-) deles over flere perioder, ligesom der i de efterfølgende perioder også kan forekomme ”modsatte” (+/-) forløb

Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS7 Nu ser vi på 2. Den effektive forrentning af Investeringsprojektet/Finansieringsforslaget I første omgang ser vi på en Investering

Tid * (1+r) -1 * (1+r) -3 * (1+r) -4 * (1+r) -5 * (1+r) -6 * (1+r) K 0 = U 0 + I 1 *(1 + r) -1 + I 2 *(1 + r) …++ I N-1 *(1 + r) -(N-1) + I N *(1 + r) -N Så idet U 0 = udbetaling på tidspunkt 0 (= det investerede beløb), I t = nettoindbetalingen (+/-) ult. periode t, r = kalkulationsrenten Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS8 K0K0 Indledningsvist ser vi på likviditetsforløbet og udregningen af K 0 : får vi, at

9Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS N K 0 = U 0 + ∑ I t * (1 + r) -t t=1 Her finder man altså K 0 ved en given ”pris på penge”, altså kalkulationsrenten r Er K 0 positiv, får man en effektiv forrentning af de likvide beløb, der er højere end den krævede kalkulationsrente Er K 0 negativ, får man en effektiv forrentning, der er lavere end r Men hvilken forrentning, r*, får man egentlig af sine penge ved dags dato at investere U kr. i dette projekt? Der også kan skrives som:

10Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Ovenstående spørgsmål om projektets reelle effektive forrentning kan derfor reformuleres til: Ved hvilken værdi af r - her kaldes den r* - bliver K 0 = 0? Ved denne – endnu ukendte – værdi af r* vil det gælde, at K 0 = 0! N K 0 = U 0 + ∑ I t * (1 + r) -t = 0 t=1 r* kaldes ”den effektive forrentning”, og den findes ved at løse følgende ligning m.h.t. r: hvor altså U 0 = udbetaling på tidspunkt 0 (= det investerede beløb), I t = nettoindbetalingen (+/-) ult. periode t, r = den effektive forrentning N = investeringens løbetid

11Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS K 0 = U 0 + I 1 *(1 + r) -1 + I 2 *(1 + r) …++ I N-1 *(1 + r) -(N-1) + I N *(1 + r) -N = 0 Tid * (1+r) -1 * (1+r) -3 * (1+r) -4 * (1+r) -5 * (1+r) -6 * (1+r) Den fundne værdi af r* har historisk set flere navne. Her kan vi som fælles betegnelse for såvel Investerings- som Finansieringsprojekter kalde den for Det vil altså betyde, at vi skal løse følgende m.h.t. r Den effektive forrentning Ofte – og i de fleste lærebøger – kaldes dette for ”den interne rente” K0K0

12Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS rK0K0 0%90,00 2%78,58 4%68,21 6%58,79 8%50,19 10%42,33 12%35,12 14%28,50 16%22,40 18%16,77 20%11,57 22%6,75 24%2,27 26%-1,90 28%-5,78 30%-9,40 32%-12,79 34%-15,96 NBetaling Investering: 26%-1,90 28%-5,78 30%-9,40 32%-12,79 34%-15,96 25,07%0,00 Effektiv forrentning Et eksempel:

13Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS rK0K0 0%-90,00 2%-78,58 4%-68,21 6%-58,79 8%-50,19 10%-42,33 12%-35,12 14%-28,50 16%-22,40 18%-16,77 20%-11,57 22%-6,75 24%-2,27 26%1,90 28%5,78 30%9,40 32%12,79 34%15,96 NBetaling Investering: 26%1,90 28%5,78 30%9,40 32%12,79 34%15,96 25,07%0,00 Et eksempel, hvor der nu er tale om et Finansieringsforslag. Her er der – for nemheds skyld – valgt den ”modsatte” betalingsstrøm Effektiv forrentning

14Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS I Excel: Det skal pointeres, at Den effektive forrentning er et relativt tal Den effektive forrentning angiver altså ikke de involverede beløb og angiver dermed heller ikke en absolut værdi/fordelagtighed af projektet Men ”effektiv forrentning” af ”hvad”? ”Den effektive forrentning, ”r” kan altså beskrives som ”den gennemsnitlige forrentning” af de involverede likvide beløb Både ved Investeringer og ved Finansieringsforslag:

Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS15 Måske er det ved en investering bedre at få en relativ lav effektiv forrentning af et stort beløb end en højere effektiv forrentning af et mindre beløb? Det kan vi ikke sige noget om, når vi ikke kender størrelsen af de involverede likvide beløb Og tilsvarende ved vurdering af foreliggende Finansieringsforslag: Måske er det økonomisk set mest fordelagtigt for låntager at betale en højere effektiv forrentning af et mindre beløb end en lavere forrentning af et større beløb?

16Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS Men det kan blive endnu mere kompliceret, for - der kan være en ny Effektiv forrentning, for hver gang den akkumulerede betalingsrække skifter fortegn N Betaling∑ NBetaling∑ ,60% -100,00% 25,07% Effektiv forrentning = Effektiv forrentning; her er der fundet 2 Nu ændres betalingen i år 4

17Kjeld Tyllesen, PEØ, CBS

18 ”Tak for nu!” Så nu mangler jeg blot at sige