Funktioners parametre Beviser Ib Michelsen Pause Øvelsen her går ud på at vise, at formlen til beregning af parameteren a for en lineær funktion er rigtig. I første omgang vises rigtigheden for eet bestemt eksempel; i anden omgang vises det på helt samme måde generelt

Sætning For en lineær funktion f(x) = ax + b, hvor grafen går gennem punkterne A(1;3) og B(5;1) kan parmeteren a beregnes ved hjælp af formlen: Her kan du se den formel, vi skal vise – ved hjælp af forudsætningerne At funktionen er lineær At vi kender to punkter på grafen – eller 2 funktionsværdier På de følgende dias vil du kunne høre en forklaring – også flere gange – ved at klikke på rammen med et udråbstegn Ved at klikke på spørgsmålstegnet, kan du få en grundigere forklaring / hjælp

Grafen går gennem A og B ! ? ! ? Når grafen går gennem A med koordinaterne (1,3) , er funktionsværdien i 1 lig med 3 ****************************************************************************************** Når grafen går gennem B med koordinaterne (5,1) , er funktionsværdien i 5 lig med 1

Og da f forudsættes at være lineær, kan y-værdierne beregnes: ! ? ! ? Du så på forrige dias, at funktionsværdien af 1 var lig med 3. Da funktionen er lineær med de (ganske vist ) ukendte parametre a og b, kan vi formelt beregne den samme funktionsværdi ved at indsætte 1 i forskriften. Således får vi ligningen. ********************************************************* På samme måde fås den næste ligning

I hver af ligningerne findes b … ! ? ! ? I den første ligning fra det forrige dias har vi trukket a*1 eller 1 a fra på begge sider ************************************************************************************* I den anden ligning fra det forrige dias har vi trukket a*5 eller 5 a fra på begge sider

Da b er det samme tal i begge ligninger fås … ! ? ! ? ! ? ! ? Da højresiderne begge var lig med b på forrige dias fås ligningen i den øverste linje. I den ligning vil vi gerne finde a. Nu skal du – før du hører mere - skrive ned: hvad sker der i den anden linje? Hvad sker der i den tredje? Og hvad sker der i den 4.? Hvis du ikke er helt sikker, kan du høre svarene ved at klikke på udråbstegnene – men vent, indtil du har svaret! Overvej også, om det er tilladte operationer!? ****************************************************************************************** Der er lagt a*5 til på begge sider ******************************************************************************************på højre side er summen af de to sidste led 0: først trækkes a*5 fra – så lægges nøjagtig det samme til ***************************************************************************************** I sidste linje byttes der om få rækkefølgen af 2 led på venstre side, men det ændrer ikke værdien af venstre side

… og ligningen løses fortsat … ! ? ! ? ! ? ! ? Første linje er en gentagelse fra forrige dias. Du fortsætter nu med at skrive forklaringer på – for hver linje - hvilke ændringer der gennemføres ********************************************************************************** I anden linje er der trukket 3 fra på begge sider ************************************************************************************ I tredje linje reduceres venstresiden, dvs skrives på en enklere måde. +3 -3 er 0 ****************************************************************************************** I 4. linje sættes a udenfor en parentes på venstre side. Man kunne sige, at venstre side først divideres med a, så findes et foreløbigt mellemfacit, som så må ganges med a for at ophæve divisionen. Venstre side er altså blot skrevet på en ny måde, men er det samme tal som før Endelig når vi i sidste linje resultatet ved at dividere på begge sidder med parentesen 5-1. Det er kun vist på højre side. På venstre side forsvinder parentesen fordi før operationen ganges a med 5-1, nu diverer vi med det samme. De to operationer ophæver hinanden Og nu er vi ved målet: vi har uden at bruge formlen for a fået det samme resultat som formlen ville give. Dvs. vi har bevist forlens rigtighed i dette ene tilfælde. ! ?

Konklusion I et eksempel har vi vist, at den velkendte sætning om beregning af a passer! Det er umuligt at gennemregne alle eksempler… Derfor bevises sætningen ved at gennemføre beregningen med koordinater, der kunne være alle mulige tal

Sætning om a i den lineære funktion f(x) = ax + b ! Sætning om a i den lineære funktion f(x) = ax + b Er f en lineær funktion, hvis graf går gennem punkterne A(x1 ; y1) og B(x2 ; y2), kan parameteren a (hældningskoefficienten) beregnes som: ! !

Bevis Da funktionen er lineær, har den en forskrift af typen: !

Grafen går gennem A og B ! ?

… men y-værdierne kan også beregnes ! ?

I hver af ligningerne findes b … ! ? ! ?

Da b er det samme tal i begge ligninger fås … ? ! !

… og ligningen løses fortsat … QED ? !